北师大版八年级数学(上)教案

北师大版八年级第一学期教学方案

一、学情分析

八年级是皿阶段最为关键的一年，如果学生在八年级学习抓得比拟紧，到九年

级时相对就会变得轻松，反之，到了九年级后就会完全放弃，数学尤其如此。事实上

在七年级时，学生对学习数学的兴趣深厚，也会很努力，但如果效果不是很好时，相

当局部学生就会放弃。因此在制定八年级数学教学方案时要充分考虑到这一点。

二、教材分析

本册是八年级上册，全书共分为七章。本学期教学内容包括第一章《勾股定理》、

第二章《实数》，第三章《位置与坐标》，第四章《一次函数》，第五章《二元一次方

程组》，第六章《数据的分析》，第七章《平行线的证明》。

第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。

第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。

本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位C

第三章《位置与坐标》主要讲述平面直角坐标系中点确实定，会找出一些点的

坐标。

第四章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图象和表

达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

第五章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组

来解一些实际的问题。

第六章《数据的分析》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能

找出中位数及众数。

第七章《平行线的证明》0主要讲述证明的根本要求和方法，学会推理论证；探

索证明的思路和方法，提倡证明的多样性以及平行线的性质却判定等。

本章的难点是：

1、引导学生探索、猜测、证明，体会证明的必要性；

2、在教学中渗透如归纳、类比、转化等数学思想。

三、教学目标与任务

掌握勾股定理、平方根与立方根、实数、平面坐标系、一次函数、平行线性质、

判定、数据的平均数、众数等知识并形成相应数学技能。在情感与价值观上认识图形

中的数量关系，培养学生的实事求是认真严肃的学习态度，在民主和谐合作的学习过

程中养成独立探究勤与思考大胆创新，开展学生的非智力因素提高学生的数学素质与

素养。

具体教学目标如下：

1.培养正确的观察事物分析事物能力，理解并掌握勾股定理及其证明。在学生经

历“观察一猜测一归纳一验证”勾股定理的过程中，开展合情推理能力，体会数形结合

和从特殊到一般的思想。

2.正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的根本运算，并能熟练地进行二次根

式的化简。

3.掌握二次根式加、减、乘、除的运算法那么，能够进行二次根式的运算。掌握

二次根式的化简，进一步提高学生的运算能力。

4.理解一次函数的概念，掌握一次函数的图象和表达式，学会用一次函数解决一

些实际问题。

5.理解消元的思想，知道消元是一种重要的思想方法会用代入消元法、加减消元

法解二元一次方程组并能说已代入消元法、加减消元法解二元一次方程组的根本步

骤。

四、措施与方法

1、认真做好教学工作。把认真教学作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程

标准，钻研新教材，根据新课程标准，力、充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅

导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。

2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家,

数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。

3、引导学生积极参加知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探索、交流、

分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写小

论文，写复习提纲，使知识来源于学生的创造。

4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过

现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学

生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。同时，引导和帮助学生建立“错题

集”，以起到“前事不忘，后事之师”的效果。

5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不

同的教育理念将带来不同的教育效果。

6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步

提高学习成绩，开展学生的非智力因素，弥补智力上的缺乏C

7、开展分层教学，布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、

好三类学生，课堂上的提问照顾好好、中、差三类学生，让每个学生尽可能获得最大

开展。

附：本期教学进度安排

八年级（上）学期教学进度表

周

日期教学内容节次备注

次

1.1探索勾股定理（2课时）1.2一定是直角三角形吗？

15

1.3勾定理的应用第一章回忆与思考

第一章测试及讲解2.1认识无理数（2课时）

25

2.2平方根（2课时）

2.3立方根2.4估算2.5用计算器开方

35

2.6实数2.7二次根式（1课时）

2.7二次根式（2课时）第二章回忆与思考（2课时）

45

第二章测试与讲解

5国庆放假

3.1位置确定3.2平面直角坐标系（3课时）

65

3.3轴对称与坐标变化

第三章回忆与思考第三章测试与讲解（2课时）

75

4.1一次函数4.2一次函数与正比例函数

84.3一次函数的图象（2课时）4.4一次函数的应用（3课时）5

第四章回忆与思考第四章测试与讲解

95

5.1认识二元一次方程组5.2求解二元一次方程组（2课时〕

5.3鸡兔同笼5.4增收节支

105

期中质量监测

5.5里程碑上的数5.6二元一次方程与一次函数

115.7用二元一次方程组确定一次函数表达式5

5.8三元一次方程组5.9第五章回忆与思考

第五章测试与讲解（2课时）6.1平均数（2课时）

125

6.2中位数与众数

6.3从统计图分析数据的集中趋势6.4数据的离散程度（2课时）

135

第六章回忆与思考第六章测试与讲解

7.1为什么要证明7.2定义与命题（2课时）

145

7.3平行线的判定7.4平行线的性质

7.5三角形内角和定理（2课时）

155

第七章回忆与思考第七章测试与讲解（2课时）

16期末复习5

17期末复习5

-1.518期末复习5

19期末复习5

205

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理（一）

教学目标：

经历用数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步开展学生的合情推力意识，主动探

究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步开展学生的说理和简单的推理

的意识及能力。

重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

难点：勾股定理的发现

教学方法：实验一猜测一归纳一论证

教学过程

一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题

出示投影1（章前的图文）

教师：介绍我国古代在勾股定理研究方面的奉献，并结合课本谈一谈，讲述我国是最

早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期的数学家）在勾股定理方面的

奉献。

出示投影2（书中的图1—2）并答复：

观察图1-2,正方形A中有个小方格，即A的面积为个单位。

正方形B中有个小方格，即A的面积为个单位。

正方形C中有个小方格，即A的面积为个单位。

你是怎样得出上面的结果的？在学生交流答复的根底上教师直接发问：

图1一2中，A,B,C之间的面积之间有什么关系？

学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C,接着提出图1—1中的A.B,C的关系呢？

二、探索发现勾股定理

做一做：出示投影3（书中图1一）提问：

1、图1—3中，A,B,C之间有什么关系？

2、图1—4中，A,B,C之间有什么关系？

从图1一1,1—2,1—3,1—4中你发现什么？

学生讨论、交流形成共识后，教师总结：

以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。

议一议：

图1一1、1一2、1—3、1一中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？

你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

在同学的交流根底上，老师板书：

直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c

那么/+。2=,.2

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定

理的由来。

分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测

量后答复斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（答

复是肯定的：成立）

三、勾股定理的简单应用

1、如下图，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根

24m处.大树在折断之前高多少？

（教师板演解题过程）

2、这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是

屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么

呢？

3、错例辨析：

△ABC的两边为3和4,求第三边

解：由于三角形的两边为3、4

所以它的第三边的c应满足c?=32+42=25

即：c=5

辨析：

（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可此题

ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。

（2）假设告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足/+82=。2,题目中

并为交待C是斜边

综上所述这个题目条件缺乏，第三边无法求得。

四、课堂练习

五、小结：教师提问：

1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流.

在学生自由发言的根底上，师生共同总结：

1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c

分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么/+/=/.

2.方法：（1）观察—探索—猜测—验证—归纳—应用；

⑵、'割、补、拼、接”法.

3.思想：（1）特殊—一般—特殊；

（2）数形结合思想.

六、课后作业

习题1.1

§1.1探索勾股定理（二）

教学目标：

经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中开展学生的探窕意识

和合作交流的习惯。

掌握勾股定理和他的简单应用

重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理

难点：用面积证勾股定理

教学方法：实验一猜测一归纳一论证

教学过程

一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具

有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全

等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否

得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师

展示投影1（书中图1—7）

接着提问：大正方形的面积可表示为什么？

（同学们答复有这几种可能：（1）（合+从）（2）-^.4+c2）

2

在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

二!外・4+。2请同学们对上面的式子进行化简，得到：

2

a~-4-2ab+b~=2a。+c2即/+Z?2=c2

这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。

二、例题讲解初步应用

1、一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3：4,求两直角边的长。

2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，

过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？

分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中4ABC的

Nc=9（）o,AC=4000米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机

在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB二5000

米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（千米）

即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：

答：飞机每个小时飞行540千米。

三、延伸拓展能力提升

展示投影2（书中的图1—9）

观察卜图，应用数格子的方法判断图中的二角形的二边长是否满足〃2+方2=，

同学在议论交流形成共识之后，老师总结。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。

四、回忆反思提炼升华

教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.

五、课后作业

习题1.2

§1.2一定是直角三角形吗

教学目标：

知识与技能

1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；

2.进一步开展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能

力，建立数学模型.

3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论.

情感态度与价值观

敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进

一步体会数学的应用价值，开展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动

的意识.

教学重点

运用身苏熟悉的事物，从多种角度开展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角

三角形.

教学难点

会辨析哪些问题应用哪个结论.

课前准备

标有单位长度的细绳、三角板、量角器

教学方法：实验一猜测一归纳一论证

教学过程：

.复习引入：

请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？

△人8（2的两边人8=5,AC=12,那么BC=13对吗？

创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材：古埃及造直角的方

法.

这样做得到的是一个直角三角形吗？

提出课题：能得到直角三角形吗

二.合作探究

1、用直角三角板检验，这个三角形的三边分别是多少？（一份视为1）它们之间存在

着怎样的关系？

就是说，如果三角形的三边为a,b,c,请猜测在什么条件下，以这三边组成的三

角形是直角三角形？（当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时）

2、继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

（1）这二组数都满足a2+b2=c2吗？

(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形

是直角三角形.

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

三.反思总结

提问：

1.同学们还能找出哪些勾股数呢？

2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？

3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三隹形呢？

4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？

四.稳固提高

例1一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中NA和NDBC都应为直角.工

人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？

五.随堂练习：

1.以下几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；(3)12,35,36；⑷12,18,22.

2.AABC中BC=41,AC=40,AB=9,那么此三角形为三角形，

是最大角.

3.四边形ABCD中AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且NABC=90°,求这个四边形的

面积.

六.交流小结：

师生相互交流总结出：

1.今天所学内容

①会利用三角形三边数量关系"+从=。2判断一个三角形是直角三角形；

②满足/+/=/的三个正整数，称为勾股数；

2.从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：

①数学是源于生活又效劳于生活的；

②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜测和验证的过程，同时遵循由“特殊一

一般一特殊的开展规律；

③利用三角形三边数量关系"+力2判断一个三角形是直角三角形时;当遇见数据较

大时，要懂得将作适当变形，/"'a?便于计算。

七.作业

习题1.3

§1.3勾股定理的应用

教学目标

教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简

单的实际问题.

能力训练要求：

1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.

2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学

建模的思想.

情感与价值观要求：

1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.

2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，表达人人都学有用的数学.

重点：

探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.

难点：

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.

教学力法：引导一探究一归纳

教学过程

一、创设问题情境，引入新课：

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为平安需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多

长的梯子？

根据题意，(如图)AC是建筑物，那么AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在

R3ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.

所以至少需13米长的梯子.

二、合作探究：

①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆行柱的底

面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的

最短路程是多少？(兀的值取3).

(1)同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你

觉得哪条路线最短呢？［小组讨论)

(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?

你画对了吗？

(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

(学生分组讨论，公布结果)

我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA，将圆柱

的侧面展开(如以下图).

我们不难发现，刚刚几位同学的走法：

(1)A-A，-B；(2)A—B，-B；(3)A-D-B；(4)A―>B.

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

②、做一做:李叔叔随身只带卷尺检测AD,BC是否与底边AB垂直，也就是要检测

NDAB=90。，NCBA=90。.连结BD或AC,也就是要检测△DAB和^CBA是否为直

角三角形.很显然，这是个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.

三、随堂练习

出示投影片

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/

时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10:00,

甲、乙两人相距多远？

2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，

从孔中插入一铁棒，铁棒在油桶外的局部是0.5米，问这根铁棒应有多长？

1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.

解：根据题意,可知A是甲、乙的出发点,10：00时甲到达B点，那么AB=2x6=12(千

米)；乙到达C点，那么AC=lx5=5(千米).

在RtAABC中,BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙两人相

距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范

围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直

于底面时.

解：设伸入油桶中的长度为X米，那么应求最长时和最短时的值.

（1）X2=1.52+22,X2=6.25>X=2.5

所以最长是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2侏）.

答：这根铁棒的长应在2〜3米之间（包含2米、3米）.

3.试一试

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有

一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高

出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个

水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

我们可以将这个实际问题转化成数学模型.产7

解：如图，设水深为X尺，那么芦苇长为（X+D尺，「/

由勾股定理可求得A/

（X+1）2=X2+52,X2+2X+1=X2+25

解得x=12/

那么水池的深度为12尺，芦苇长13尺.Y

四、交流小结

这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的儿个实际问题.

1.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数

学模型.

2.在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际

问题.

五、课后作业

习题1.4第1,2,3题.

第一章《勾股定理》回忆与思考

教学目标是：

①让学生回忆本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，

体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.

②在回忆与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力.

③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认

识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量.

教学重点：让学生经历数学知识的形成与应用过程，强化应用意识。

教学难点：培养学生多方面的能力.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程：

一、知识结构梳理

本章知识要点及结构：

（教师引导，小组讨论、总结）

从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，日于直角三角形中有一个

特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形作为一个特殊的三角形.如果又有一个锐角是30。，那么30。的角所对的

直角边时斜边的一半.

通过回忆与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图.

三边的关系-勾股定理―历史、应用

直角三角形］

直角三角形需判别一应用

二、合作探究

内容：

探究一：利用勾股定理求边长

直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长的平方.

解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；

（2）当斜边为4,一直角边为3时，第三边长的平方为7.

探究二：利用勾股定理求图形面积：

1.求出以下各图中阴影局部的面积.

图（1）阴影局部的面积为；（答案：1）

图（2）阴影局部的面积为;（答案：81）

图（3）阴影局部的面积为；（答案：5）

2.RtZiABC中，ZC=90°,假设a+b=14c机，c=10o??,求RsABC的面积.

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度

1.在△ABC中，ZA,NBNC的对边分别为ab,c,且（〃+/?）（〃-份=/,那么（）.

（A）NA为直角（B）NC为直角（C）4为直角（D）不是直角三角形

解：va2-b2=c2,Aa2=b2-^-c2.应选（A）.

探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：

B港有甲、乙两艘渔船，假设甲船沿北偏东60。方向以每小时8nmile的速度前进，乙

船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到

P岛，两岛相距34nmile,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

解：甲船航行的距离为BM=8x2=16（nmile）,

乙船航行的距离为BP=15x2=30（nmile）.

V162+302=1156,342=1156,BM2+BP2=MP2,

•••△MBP为直角三角形，，乙WBP=90。，，乙船是沿着南偏东30。方向航行的.

三、拓展提升

内容：

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”

（如图1）.图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中

正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为SI,S2,S3,假设

Sl+S2+S3=10,那么S2的值是.

（答案为W）

3

四、交流小结

师生相互交流总结：

1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？

2.你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？

五、布置作业

《复习题》

第二章实数

§2.1认识无理数（一）

教学目标

知识目标：

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.

能力训练目标：

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手

能力和合作精神.

2.通过回忆有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数,

训练他们的思维判断能力.

情感与价值观目标：

1.鼓励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.

教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教学方法：引导—探究—归纳

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

【想一想】

⑴一个整数的平方一定是整数吗？

⑵一个分数的平方一定是分数吗？

【算一算】

一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长上的平方，并提出问题:

*是整数（或分数）吗？

【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？

目的：选取客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数不够用了

二、获取新知

【议一议】/=2,请问：①。可能是整数吗？②。可能是分数吗？

【释一释】释1.满足。2=2的。为什么不是整数?

释2.满足。2=2的。为什么不是分数？

【忆一忆】让学生回忆“有理数”概念，既然。不是整数也不是分数，那么〃一定不是

有理数，这说明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了根底

【找一找】在以下正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理

（无理数）的存在，从

1.长度是有理数的线段2.长度不是有理数的线段

【画一画2】在右2的正方形网格中画出四个三角形（右1）

1.三边长都是有理数2.只有两边长是有理数

3.只有一边长是有理数4.三边长都不是有理数

【仿一仿】例：在数轴上表示满足亡=2（工＞0）的x

解：（右2）CB

仿：在数轴上百OAP

【赛一赛】右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把

它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！（右3）

目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上，加深了对“新知”的

理解，稳固了本课所学知识.

四、课堂小结

1.通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2.客观世界

中，确实存在不是有理数的数，你能列举几个吗？

3.除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？

五、布置作业

习题2.1

§2.1认识无理数（二）

教学目标

知识目标：

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.

2.会判断一个数是有理数还是无理数.

能力训练目标：

1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，开展学生的抽象概括能力，并在活动

中进一步开展学生独立思考、合作交流的意识和能力.

2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能区分出一个数是无理数还是

有理数，训练学生的思维判断能力.

情感与价值观目标：

1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，开展学生的数感和估算能力.

2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.

教学重点

1.无理数概念的探索过程.

2.用计算器进行无理数的估算.

3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.

教学难点

1.无理数概念的建立及估算.

2.用所学定义正确判断所给数的属性.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程

第一环节：创设问题情境，引入新课

内容：想一想：

1.有理数是如何分类的？

整数（叫0,2,3,…）

有理数＜

分数（如一|,0.5,...）

2.除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数?如圆周率兀，0.020020002…上节课又

了解到一些数，如〃2=2,从=5中的a,b不是整数，能穴能转化成分数呢？那么

它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.

意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数,

激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数

不够用了⑵

第二个环节：活动与探究

1.探索无理数的小数表示

内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方

形的边长b进行估计.

请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致

是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.

边长〃面积s

l<a<2l<s<4

1.431.51.96<s<2.25

1.41<々<1.421.9881Vs<2.0164

1.41431.4151.999396<s<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<s<2.00024449

归纳总结：a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也大是分数，那么a一定不

是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.

请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.

目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出

a=1.41421356...,42.2360679...,是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.

效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下根底.

2.探索有理数的小数表示，明确无理数的概念

内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数

表示成小数，并总结此小数的形式.

议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？

探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.

即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

强调：像0.585885888588885...,1.41421356...,一2.2360679…等这些数的小数位数

都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.（圆周率兀=3.14159265…也是一个无限不循环小

数，故兀是无理数）.

目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.

第三个环节：知识分类整理

内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？（按小数的形式来分）.

「整数

r有理数：有限小数或无限循环小数＜

数」一

I分数

I无理数：无限不循环小数

强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分

类？

目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入己有的知识体系，进一步开展学生

的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.

第四个环节：知识运用与稳固

随堂练习.

第五个环节：课堂小结

内容：本节课你有哪些收获？

1.无理数的定义.

2.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？

3.请把已学过的数怎样分类？

第六个环节：布置作业

习题2.2

附：板书设计

2・1数不够用了⑵

一、导入§2.2

二、新课平方

1.有理数的定义：有限小数或无限循环小数.

根

2.无理数的定义：无限不循环小数.

(一)

3.数的分类：

教学目

r整数

标：

有理数：有限小数或无限循环小数i

1、了解

算术平

I分数

方根的

无理数：无限不循环小数概念，

三、例题讲述会用根

号表示

四、小结

一个数

的算术

平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关

系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质.

2、在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与开展，提高学生的思维能力；在合作

交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识.

3、让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.

教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。

教学难点：算术平方根的概念、性质。

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程:

一、创设问题情境，导入新课

1.教师活动：回忆上节课的拼组活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13的正

方形的边长究竟是多少？

学生活动：

(1)完成课本填空：

a2=,b2=,

c2=,d2=

e2=,f2=

(2)a,b,c,d,e,f中哪些是有理数，哪些是无理数？

你能表示它们吗？

2.师生互动

集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。

二、初步探究

内容1：情境引出新概念

V=2,/=3,Z2=4,步=5,幕和指数，求底数3你能求出来吗?

目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性.

内容2：在上面思考的根底上，明晰概念：

一般地，如果一个正数X的平方等于。，即k=a,那么这个正数X就叫做。的算术平

方根，记为“八”，读作“根号特别地，我们规定0的算大平方根是0,即而二°.

内容3：简单运用，稳固概念

例1求以下各数的算术平方根：

49

（1）900；（2）1；（3）64；（4）14.

解：（1）因为302=900,所以900的算术平方根是30,即标'=30；

⑵因为〃=1,所以1的算术平方根是1,即加=1；

72_49497但「

（3）因为G-64,所以歹的算术平方根是即丫64一W；

（4）14的算术平方根是

内容4：回解课堂引入问题

2

%=2,）/=3,卬2=5,那么彳=拒，丫=旧,W=下.

三、深入探究

内容1：例2自由下落物体的高度利米）与下落时间，（秒）的关

系为人=4.9『.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到

达地面需要多长时间？

目的：用算术平方根的知识解决实际问题.

效果：学生多能利用等式的性质将%=4.9产进行变形，再用求

算术平方根的方法求得题目的解.

解：将力=19.6代入公式/?=4.9/，得产=4,所以正数

f="=2（秒）.

即铁球到达地面需要2秒.

内容2：观察我们刚刚求出的算术平方根有什么特点.

目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：人中的。是一个非负数，。的算

术平方根〃■也是一个非负数，负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质一

双重非负性.

四、反响练习：随堂练习

五、课堂小结：

1、这节课学习的算术平方根是本章的根本概念，是为以后的学习做铺垫的.通过这

节课的学习，我们要掌握以下的内容：

⑴算术平方根的概念，式子标中的双重非负性：一是心0,二是〃^0.

(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0;负

数没有算术平方根.

(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系

求非负数的算术平方根.

2、方法归纳：转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。

六、布置作业：

习题2.3

§2.2平方根(二)

教学目标：

1.了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系.

2.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.

3.经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和稳固所学知识的应

用能力.

教学重点：了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根

和平方根。

教学难点：平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运

算。

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程：

一、复习提问，导入新课

1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。

2、9的算术平方根是，3的平方是，

还有其他的数的平方是9吗？

二、探究新知：

1.想一想

4

平方等于3的数有几个？平方等于0.64的数呢？

25

学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。

2.教师活动：形成概念

一般地，如果一个数x的平方等于a,BPx2=a,那么，这个数x就叫做a的平方根。

也叫做二次方根。而把正的平方根叫做a的算术平方根.

表达式为：假设x2=a,那么x叫做a的平方根.记作土石.

3和一3的平方都是9,即9的平方根有两个3和一3；9的算术平方根只有一个，是3。

3.学生活动：

求出以下各数的平方根。

4

16,0,—25,

9

4.概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系

1.包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

2.只有非负数才有平方根和算术平方根.

3.0的平方根是0,算术平方根也是0.

区别

1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.

2.表示法不同：平方根表示为士4，而算术平方根表示为右.

三、议一议：

(1)一个正数的有几个平方根？

(2)0有几个平方根？

(3)负数呢?

★教师活动：

一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

☆学生活动：

正数的两个平方根有什么关系吗？

讨论，交流得出：

一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，“右”，另一个是“-5”，它们

互为相反数。这两个平方根合起来，可以记做“土O"，读作“正、负根号葭。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。其中a叫做被开方数。(指数和

暴，求底数的运算是开方运算)

★教师活动

开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。

四、例题和新知稳固：

例1求以下各数的平方根：

49

(1)64,(2)——,(3)0.0004,(4)(-25)2,(5)11

五、随堂练习：

★教师活动：

耍学生进步明白平方根与算术平方根在应用上的区别。

等于多少f［等于多少9

(2)(N/7.2)2等于多少p

(3)无I一于正数等于多少?

师生互动，讨论交流得出：=a(a>0)

六、课堂小结：

引导学生总结本课时的知识、方法.让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，

既稳固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯.如：

1.平方根的定义、表示方法、求法、性质。及平方根和算术平方根的区别和联系。

2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。

七、课后作业：习题2.4

§2.3立方根

教学目标

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立力运算求一个数的立方

根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同；

2.经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些根本方法和策略，培养

逆向思维能力和分类讨论的意识.学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过

程中，领会类比思想；

3.立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇

于探索和勤于思考的精神；

重点：立方根的概念及求法.

难点：立方根与平方根的区别.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程设计

第一环节：创设问题情境

内容：某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果

它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原

来的4倍呢？

v=_TIRJ

(球的体积公式为3,R为球的半径)

提问：怎样求出半径R?学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案.有关体积的

运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识.

目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望，从

而顺利引入新课.

第二环节：复习引入、类比学习

提问：

(1)什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a(a>0)的平方根？

(2)正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根

是什么？

(3)平方和开平方运算有何关系？

(4)算术平方根和平方根有何区别与联系？

强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根

是0.

(5)为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运

算？

1.一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也

叫做二次方根).

2.一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根

(cuberoot,也叫做三次方根］.如：2是8的立方根，一3是一27的立方根，0是0

的立方根.

目的：学生通过回忆上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，

同时突出平方根与立方根的比照，以利于弄清两者的区别和联系.

第三环节：初步探究

1、做一做：怎样求以下括号内的数？各题中什么数？求什么数？

(1)()3:0.001；(2)03=-—；(3)()3=0.

64

目的：通过计算练习，使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互

为逆运算，感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、

0,这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法.

2、议一议：

(1)正数有几个立方根？

(2)0有几个立方根

(3)负数呢？

意图：提问，是为了指出平方根与立方根的比照，以利于弄清两者的区别和联系.

3、在上面的根底上明晰以下内容，对知识进行梳理

(1)每个数a都只有一个立方根，记为“我”，读作“三次根号a”.例如x3=7时，x

是7的立方根，即5=乂；与数的平方根的表示比拟，数的立方根中根号前没有“土”符

号，但根指数3不能省略.

(2)正数的立方根是正数；0