北师大版数学九年级下册全册教案（2021年春修订）

北师大版数学一年级下册

全册教案设计

2021-1-24

第一章直角三角形的边角关系

1锐角三角函数

第1课时正切

「谢而要求

【知识与技能】

让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角

形中说出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增

大.

【过程与方法】

让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数

学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决

实际问题的能力.

【情感态度】

能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交

流，培养学生的创新意识.

【教学重点】

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联

系.

【教学难点】

理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

?教学耳睚

一、情景导入，初步认知

你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法?

【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激

发学生学习的兴趣和探究的欲望。.

二、思考探究，获取新知

(1)RtZ\ABC和RtZ\AB2c2有什么关系？

姐

(2)AC1有什么关系

(3)如果改变Bz的位置(如B3c3)呢?

(4)由此你得出什么结论？

【教学说明】通过相似沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变

换角度继续探讨，符合学生的认知规律此时学生的思维豁然开朗，同

时培养了学生思维的深刻性.此环节的设计正是数学思维的开阔性，

多角度、多方位性的展现师生的共同努力，淋漓尽致地演绎了数学体

现在思维艺术上的美，从而解决了本节课的第一个难点.

【归纳结论】在RtZXABC中，如果锐角A确定，那么NA的对边与邻

边的比便随之确定.这个比叫做NA的正切,记作：tanA二第鬻

NA的邻边

当锐角A变化时，tanA也随之变化。

⑸梯子的倾斜度与tanA有关系吗？

【教学说明】借助几何画板，从运动的角度来实施动态化、形象化、

直观化教学.

【归纳结论】在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直

角三角形的大小怎样变化，ZA的对边与NA的邻边的比值总是唯一

确定的.所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程

度.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P3上第1题.

2.如图，在RtAABC中，ZC=90o,AC=12,C=5,求tanA和

tanB.

3.若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的

位置升高一米.

解析：坡度i=3:4,也就是说tanB=言二；，.•.设AC=3X,BC=4X.

根据勾股定理可求出x=2m,/.AC=6m

答案：6

4.若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值。

解：在三角形中，根据大边对大角，可知7所对的角最小.又由

勾股定理，可知该三角形为直角三角形。

最小角的正切值二］

【教学说明】巩固正切的概念，进一步落实课标要求.习题1、2是对

基础知识的训练.习题3、4在对基础知识巩固的同时，发展了学生

的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化.

四、师生互动、课堂小结

师生一起小结在研究怎样描述坡面的倾斜程度的过程中.我们首

先从实际问题中抽象出数学模型，构建直角三角形.这里体现出从实

际问题中抽象出数学模型的建模思想.这样一来问题就转化为对直角

三角形的边、角这些基本元素的探讨上.经过大家的探讨，单一元素

中：可以用锐角来描述坡面的倾斜程度，而只用一条边却不可以.

大家主动变换思考问题的角度去探究，从而得到可以用倾斜角的对边

与邻边的比来描述坡面的倾斜程度.同时还找到了倾斜角和倾斜角的

对边与邻边的比之间的关系.

通课后作业

L布置作业：教材“习题1.1“中第1、2、4题.

2.完成练习册中本课时的练习.

攀瓠与反思

本课的学习，以实际问题为背景并从学生已有的直角三角形和相

似三角形的有关知识出发，引入正切函数概念.学生在知识的形成中，

进一步感受数形结合的数学思想方法.通过实际问题的思考、探索，

提高解决实际问题的能力和应用数学的意识.为后面的学习打下基础,

作好铺垫.

第2课时正弦、余弦

格课标要浜

【知识与技能】

L使学生理解锐角正弦、余弦的定义。

2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值。

【过程与方法】

通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括

等逻辑思维能力.

【情感态度】

通过探索、发现，培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的

学习习惯.

【教学重点】

理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余

弦值.

【教学难点】

求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.

“承教与耳程

一、情景导入，初步认知

操场里有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆高度.（演示学校操

场上的国旗图片）

小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平

线的夹角为34°,并且已知眼睛距离地面的高度为1米.然后他很快就

算出旗杆的高度了.你想知道小明是怎样算出的吗?

【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点,

激发学生学习的兴趣和探究的欲望.

二、思考探究，获取新知

1,想一想：如图

⑴直角三角形ABE1和直角三角形AB2c2有什么关系？

⑵任L和军1有什么关系？屿和呢？

BA,B2AB|A

⑶如果改变B2在梯子AB1上的位置呢?你由此可得出什么结论？

⑷如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论？

请讨论后回答.

【教学说明】通过学生的观察、探索，加上教师的引导，使学生

探究一步一步走向深入，并从中体会到探究的乐趣、知识的魅力，应

用价值，开拓学生视野，锻炼学生思维，提高学生能力.

【归纳结论】在RtAABC中，如果锐角A确定，那么NA的对

边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.

ZA的对边与斜边的比叫做NA的正弦(sine),记作sinA,即：sinA二

NA的对边

斜边

NA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦(cosine),记作cosA,即:

8sA二S管边

斜边

锐角A的正切、正弦、余弦都是NA的三角函数，当NA变化时,

相应的的正切、正弦、余弦值也随之变化.

【教学说明】让学生借助正切的概念，自己试着归纳正弦、余弦的概

念。

2.议一议：如图

由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系.

【教学说明】可以让学生通过计算，明白它们之间的关系.

【归纳结论】sinA的值越大，梯子越陡;cosA的值越小，梯子越

陡.

三、运用新知，深化理解

L见教材P5例2.

2.在RtZXABC中，ZC=90°,BC=6,sinA=|,求cosA和tanB的值。

_BC

解：VsinA

~AB

BC

：.AB==6义合10.

sinAo

又VAC=VAB2-BC2=X/102-62=8，

・・・cosA=W=”,tanB=AC_4

BC=T,

3.如图，在RtAABC中，ZC=90°,cosA=j|,AC=10,AB等于多少?

sinB呢？

AC1012565

解：,/cos4——————AD——

ABAB136

八4c612

sinB=—=lOx—=

AB6513

4.在RtAABC中，ZC=90D,sinA和cosB

有什么关系？你能得到什么结论?

解：VsinA=—,

AB

BC

cosDB=——.

AB

/.sinA=cosBo

结论：在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余

弦值。

5.已知：如图,CD是RSABC的斜边AB上的高，求证:BC?二AB•BD.（用

正弦、余弦函数的定义证明）

解：在RtZXABC中,

.八BC

smA=——

AB

在RtABCD中

BD

cosBn=——

BC

根据第4题中的结论，可知：

在RtaABC中，

sinA=cosB.

・BCBD

•・----=-----

ABBC

即BC2=AB•BD.

【教学说明】对于前三题，比较简单，可以放手让学生独立完成.

而后面两题，可以适当的加以提示、补充.

四、师生互动，课堂小结

通过学习，你对正弦、余弦在知识应用方面有什么认识，对指导

解决现实问题有什么意义？你发现的规律或公式在解决问题中起到

了什么作用？

受训后作业

1•布置作业：教材“习题1.2”中第1、4题.

2.完成练习册中本课时的练习.

J教学反思

本节课，通过探究，将学生知识引向深入，在整个过程中体现了

教师的主导作用，学生的主体地位,在教学过程中，如何保证每位学

生都得到发展，如何给予每个学生以发展平台，这是每位教师在课堂

教学中必须做到的.

230°,45°,60°角的三角函数值

格课标要浜

【知识与技能】

L经历探索30°、45。、60°角的三角函数值的过程，能够进行

有关的推理，进一步体会三角函数的意义。

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

【过程与方法】

经历探索30。、45。、60°角的三角函数值的过程，培养学生

观察、分析、发现问题的能力.

【情感态度】

让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思

考问题的习惯.

【教学重点】

能够进行含30°、45。、60°角的三角函数值的计算

【教学难点】

进一步体会三角函数的意义.

篁教孚国程

一、情景导入，初步认知

如图所示，在Rt△ABC中，ZC=90°,NA、ZB>NC的对边

分别为a、b、c

B

(1)a、b、c三者之间的关系是,ZA+ZB=.

(2)sinA=,cosA=,tanA=.

sinB=,cosB=,tanB=.

(3)若ZA=30°,贝当

c

【教学说明】复习巩固上一节课的内容,为本课学习做准备.

二、思考探究，获取新知

问题1观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少

度？

问题2sin30等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流.

问题3cos30°等于多少？tan30°呢？

问题4我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角

一一45°、60。，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？

【教学说明】利用三角板，进行计算.从而推导特殊角三角函数值.

【归纳结论】

三所7角函数

sinacosatana

角a

173

30°

~2~2~3

旦

45°旦1

~2~2

1

60°包

万~2百

【教学说明】通过表格的形式进行归纳，可使学生熟记三角函数值.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P8例1.

2.见教材P9例2.

3.求下列各式的值：

(1)cos260°+cos245°十&sin300sin45°

/、cos600+sin45°cos600-cos45°

(2)-------------+-------------

cos60°-sin45°sin300+cos45°

解:(1)原式=(；＞+(曰)?+您

1115

=—I—I—=一

4224

172172

(2)原式

172172

------——+——

2222

1+721-72

=-----1-----

1-y21+%^2

=-(1+72)2-(1-72)2

二-3-24-3+24=-6

【教学说明】本题主要考查特殊角的正弦、余弦值，解题关键是熟悉

并牢记特殊角的正弦、余弦值.易错点是因没有记准特殊角的正弦、

余弦值造成计算错误.

4.在4ABC中，ZC=90°,若2AO0AB,则NA的度数是,cosB

的值为o.

角翠析：=AC=90°,2AC=/2AB,

AC42

AC72

*/cos4=—,cos4=l,/.Z-A-45°,

AB'2

・•・Z-B=45°cos8==.

2

答案：45。彳

5.已知：在AABC中，ZB=45°，ZC=75°,AC=2,求BC的长.

分析：作aABC的一条高，把原三角形转化成直角三角形，并注

意保留原三角形中的特殊角

解:作CD，AB于D点.

VB=45°,ZACB=75°AZA=60°

CD

・・・AC=2,sinA=£,

/.CD=2sin60°=V3^.

在RtABCD中，/CDB=90°，NB=45°.

・•_CD_V2

・・sinnP—7777——，

L5LL

BC=B

【教学说明】不论是特殊角，还是特殊角的三角函数值，都要在

直角三角形中才可以发挥作用，所以合理构造直角三角形，并通过转

化得到特殊角是解决此类问题的关键。

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结,

教师作以补充。

季课后作观

L布置作业：教材“习题1.3”中第1、4、5题.

2.完成练习册中本课时的练习.

?教学反思

三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应

大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的

边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角

函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力。另外通过小组合作

交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生

独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困

难的意志，建立自信心.给学生留充分的时间，采取多种形式让学生

记住特殊角的三角函数值。

3三角函数的计算

第一课时已知一个角求三角函数值

产课标要浜

【知识与技能】

1.会用计算器求一些锐角的三角函数值.

2.运用锐角三角函数解直角三角形.

【过程与方法】

通过学生动手操作，提高学生动手能力.

【情感态度】

让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生动手操

作能力.

【教学重点】

会用计算器求一些锐角的三角函数值。

【教学难点】

会用计算器求一些锐角的三角函数值。

皆敢与耳程

一、情景导入，初步认知

问题上节课我们学会了求一些特殊锐角（30°、45°、60。）的

三角函数值.那你知道15°、55°等一些锐角的三角函数值吗？这节

课我们就来学习求这样的角的三角函数值.

【教学说明】通过问题，给学生创造困难，从而激发学生强烈的

求知欲.

二、思考探究，获取新知

观察手中计算器的各种按键，了解它们的功能

【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器求

锐角三角函数值打下基础.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P12的图表.

2.sin63°52，41”的值.（精确到0.0001）

解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：

MODE||MODE||1|显示F1T1

再按下列顺序依次按键:

sin可…印41…

显示结果为0.897859012.

所以sin63°52/41"^0.8979

3.求co求0°45’的值.（精确到0.0001）

解:在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出21）,按下

列顺序依次按键：

显示结果为0.349215633.

所以cot70°45,^0.3492.

4.如图，RtAABC中，ZC=90°，ZA=35°,AC=6,求BC,

AB的长（精确至I10.001）.

B

C1-------------------------1/I

解：因为些=tanA=tan35°

AC

由计算器求得tan35°^0.7002,

所以BC=AC•tanA^6X0.7002^4.201

X—=cosA=cos35°,

AB

由计算器求得cos35°^0.8192,

所以AB=^^=—^7,324

csA0.8192

【教学说明】不同计算器操作不同，按键定义也不一样.

四、师生互动，课堂小结

不同计算器操作不同，按键定义也不一样.同一锐角的正切值与

余切值互为倒数.在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的

保管与使用.

【方法归纳】在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器

帮助我们处理比较复杂的计算.

学课后作业

1.布置作业：教材“习题1.4”中第1、2题.

2.完成练习册中本课时的练习.

产教学反思

本节课的内容比较简单，学生能够用计算器进行计算，不需要

学生动笔，所以学生积极性较高，教学效果较好.

第2课时已知三角函数值求角

格课标要浜

【知识与技能】

能根据锐角的三角函数值用计算器求出相应的锐角.

【过程与方法】

经历使用计算器的过程，通过计算锐角三角函数值，加深对三角

函数之“函数”意义的感受.

【情感态度】

体会现代工具的快捷、准确，培养用数学的意识并养成认真、细

心、严谨的学习习惯.

【教学重点】

用计算器由锐角三角函数值求锐角.

【教学难点】

用计算器由锐角三角函数值求锐角.

教学耳睚

一、情景导入，初步认知

上节课我们学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，同学们计

算sin63°52’41〃和cos2°的值

这节课我们来一起研究如何利用计算器由锐角三角函数值求锐

角.

【教学说明】自然引入，使学生理解知识的连贯性.

二、思考探究，获取新知

阅读教材P13中“想一想”的内容，和同桌一起讨论、交流。如

何能根据锐角的三角函数值用计算器求出相应的锐角.

【教学说明】提高学生团队合作意识.

三、运用新知，深化理解

L已知tanx=0.7410,求锐角x（精确到1,）

解:在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕

显示出口），按下列顺序依次按键：

SHIFTtan-110=

显示结果为36.53844577.

再按键：

SHIFT||o,,,

显示结果为363518.4.

所以,xg36°32'.

2.已知cotx=0.1950,求锐角x（精确到lr）

分析：根据tanx二一匚，可以求出tanx的cotx值，然后根据第1

cotx

题的方法就可以求出锐角X的值

3.己知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角（精确到1。）

sina=0.2476；

cosa=0.4174;

tana=0.1890.

解：⑴14°（2）65°（3）11°

【教学说明】教师要强调，让每位学生必须动手操作，达到熟练.

从而提高学生动手操作能力，巩固所学知识.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结,

教师作以补充.

季课后作观

L布置作业：教材“习题1.4”中第3、5题.

2.完成练习册中本课时的练习.

」教学反思

学生在操作过程中可能存在以下问题:按键顺序不对；没按要求

取近似值或干脆不取近似值.所以应该在这几个方面要进行强调.

4解直角三角形

格课标要浜

【知识与技能】

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直

角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

【过程与方法】

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角

函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.

【教学重点】

直角三角形的解法.

【教学难点】

三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

教学耳睚

一、情景导入，初步认知

L在三角形中共有几个元素？

2.直角三角形48c中，ZC90°,a.b、c、NA、N8这五个元素

间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

..a/rc、人a

smA=—V3cAosA=—tanA=—

cab

（2）三边之间关系

a2+b2=c2（勾股定理）

（3）锐角之间关系

ZA+ZB=90°

【教学说明】以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使

学生便于应用.

二、思考探究，获取新知

1.做一做：在直角三角形A8C中，已知两边，你能求出这个直角

三角形中其它的元素吗？

2.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个

直角三角形中其它的元素吗？

3.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角

三角形中其它的元素吗？

【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、二边关系、角角关

系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后,

就可求出其余的元素•这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角

形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？

激发了学生的学习热情.

【归纳结论】由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素过程,

叫做解直角三角形。

在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.

【教学说明】让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师

请学生概括什么是解直角三角形？

三、运用新知，深化理解

L见教材P16例1、例2,

2.已知：c=86,ZA=60°,ZC=90°,求N8、。、b.

fa

解:〃=因由60。=8乃X三=12

乙

〃=ccos60°=8伍义^~=49，

ZB=30°.

3.已知：a=3>/6,ZA=30°ZC=90°,求NB、b、c。

解：/3=90°—30°=60°,

6=atanB=3展乂6=9后，

c=ya2+62=y(3^)2+(972)2

=/54+162=X/H6=6瓜

(另解：由于9=sinA，所以=

csinA1

~2

=6A/6).

4.已知：c=>/6-&,O=G-1,NC=90°,求NA、N8、b.

一人aA-1(73-1)(76+72)

解：sin4=——=-----=----------------

C底-姓(76-72)(76+72)

_3笈-乃+乃一&_笈

=T)

由此可知，44二45。，43=90。-450=45。，

且有6=a=73-l.

5.已知：。=6,〃=2•,/。=90°,求NA、NB、c.

解:由于lan4=；=Tz=yj,

b273

.・.乙4=60。，48=90。-60。=30。，

jaWc=26=2x2；/3=4/3.

6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°,锐角B的平分线BD的长

为8cm,求这个三角形的三条边的长.

解：由已知可得4BCD是30°的直角三角形，所以CD=-BD=i

22

X8=4(cm),

△ADB是等腰三角形，

所以AD=BD=8(cm),

贝I」有AC=8+4=12(cm),

BC=ACcot60°=12Xy=4>/3(cm),

AB=7(4^)2+122="8+144=V192=86(cm)

【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生

熟练掌握。为此，教材配备了针对各种条件的练习，使学生熟练解直

角三角形，并培养学生运算能力.

四、师生互动，课堂小结

请学生小结：

L在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至

少有一个是边)，就可以求出另三个元素

2.解决问题要结合图形.

学课后作观

1.布置作业：教材“习题1.5”中第2、3题.

2,完成练习册中本课时的练习.

“承教与反思

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决,

但例题具有示范作用,因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完

成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想.

其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演.

第1课时三角函数的应用（1）

【知识与技能】

使学生会把实际问题转化为解直角三角形的问题，从而把实际问

题转化为数学问题来解决.

【过程与方法】

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数

学的意识.

【教学重点】

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形

元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解戾.

【教学难点】

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形

元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决.

一、情景导入，初步认知

海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向

东航行，开始在A岛南偏西55。的B处，往东行驶20海里后，到达

该岛的南偏西25。的C处，之后，货轮继续往东航行,你认为货轮

继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行

交流.

【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三

角函数在解决实际问题中的应用.

二、思考探究，获取新知

如图，一艘海轮位于灯塔户的北偏东65°方向，距离灯塔80海

里的4处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔户的南偏东

34°方向上的B处.这时，海轮所在的8处距离灯塔P有多远（精确到

0.01海里）？

解:如图，在Rt中,

PC=PA-cos(90°-65°)=80xCos25°«72.8

在Rt△3PC中，45=34。.

PC

,/sinB=—,

PB'

PC72.872.8

PB=--130.23(海

sinBsin340~0.559

里）

因此，当海轮到达位于灯塔〃的南偏东34。方向时，它距离灯

塔/大约130.23海里.

三、运用新知，深化理解

如图所示，一条自西向东的观光大道/上有A,B两个景点，A,B

相距2km,在A处测得另一景点C位于景点A的北偏东60°方向，在

B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道

1的距离.（结果精确到0.1km）

分析：过点C作CD_L/于点D,设CD为xkm,用含x的代数式表

示出AD和BD,然后根据AD-BD=AB,列方程即可求解

解:如图所示，过点C作CO，/于点D,设

CD=xkm.

CD

在RtZUCO中，•・,tan4C40=F，

AD

.「IO二CD二CD

tanZ.CADtan3O0'

AD-/3CD-%/3xkm.

在RtABCD中,vLBDC=90°,Z.CBD=

45°,・・.BD=CD=xkm.

vAD-BD=AB,

有人-X=2,解得：%="+1=2.7(km).

故景点C到观光大道1的距离约为2.7km.

【教学说明】结合图形信息解直角三角形问题时，注意转化思想

的运用，即构造直角三角形，将方位角、方向角问题转化为解直角三

角形问题，灵活运用锐角三角函数构造相关的三角函数式，进行有关

线段以及角度计算.

四、师生互动，课堂小结

通过学习以上例题，让学生经历将实际问题转化为数学问题，通

过解直角三角形来解决有关方向角问题.

学课后作业

1.布置作业：教材“习题1・6”中第4题.

2.完成练习册中本课时的练习

产教学反思

本节课应首先认识方向角及其代表的实际意义，然后结合解直角

三角形的有关知识，层层展开，逐步深入.

第2课时三角函数的应用（2）

【知识与技能】

进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会仰

角、俯角、坡度的含义及其代表的实际意义，并进行相关的计算.

【过程与方法】

通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问

题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力.

【情感态度】

渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.

【教学重点】

用三角函数知识解决仰角、俯角、坡度问题.

【教学难点】

学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型.

一、情景导入，初步认知

1.仰角、俯角的概念.

2.坡度的含义

【教学说明】教师提出问题，师生共同理解，为后继学习作好准备

二、思考探究，获取新知

想一想：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测

得仰角为30°,再往塔的方向前进50nl至B处.测得仰角为60°.

那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）

D

分析：要求塔CD的高度，必须利用锐角三角函数.则要求出直角

三角形ACD或直角三角形BCD的一边.可以根据等腰三角形的有关知

识求出BD=50m,NDBC=60°,用正弦就可求出塔CD的高度.

做一做：由题意易知CDVAC.ACAD=30°,

4。8。=60。，4〃=50111,・・・/.ACD=90°,/-ADB=

LCBD-乙CAD=30°,/.AB=BD=50m.在Rt

△BCD中，CD=BD-sinZCBD=50xsin60°=25

有（m）.即该塔高2573m.

【教学说明】利用实际问题，提高学生学习兴趣.教师要帮助学生学

会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.

三、运用新知，深化理解

1.热气球的探测器显示，从热气球上看

一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底sags

999S

部的俯角为,热气球与高楼的水平距离

60°B3BS

@S9S

为这栋高楼有多高（结果取整数）？

120m,国国国民

@SSS

sass

故景点C到观光大道1的距离约为

Bma

2.7km.c

解：根据仰角和俯角定义知，图中a=

30°,p=60°,AD=120m.在RtAABD中，由

BD

tana=tan30°=—，故BD=AD-tan30°=120x

AD

/¥CD

—=4073,4Rt/SACD中，由tan^S=-=

3AD

lan60。,所以CD=AD-tan60°=120x73=120

有，故这栋高楼的高为BC=BD+CD=4043+

12073=16073^277m.

【教学说明】上述题目可让学生自主探索，也可相互交流，最后

师生共同获得解答过程，学生自查，增强解题技能.

2.建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D

处观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测底部B的

仰角为45°,求旗杆的高度(结果保留一位小数)

解：BC=DC•tan45°=40(m),AC=DC•tan50°%

47.67(m),AB=AC-BO7.67弋7.7(m)

3.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一”前新

增设的一台滑梯，设滑梯高度AC=2m,滑梯着地点B与梯架之间的距

离BC—4m.

(1)求滑梯AB的长(精确到0.1m);

(2)若规定滑梯倾斜角(NABC)不超过45°属于安全范围，请通

过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？

解：(1)48=VAC2+BC2=/4H6=26=4.5

4c21

(m)；(2)tanZ4BC=—=—=LABC^

BC42

26.6°<45°,/.符合要求.

4.如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒地,

B为折断点，树顶A落在离树根C的12m处，测得NBAC=48°,则此

棵大树原长为多少米？(精确到0.1m).

AQ

M：BC=AC-tan48°«13.33(m),4B=-----

cos48°

«17.94(m),.\大树原长为BC+AB=13.33+

17.94=31.27^31.3(m).

【教学说明】在学生自主探究过程中，教师巡视，与学生一道分

析解题思路，探讨构建直角三角形来解决实际问题的方法，并对有困

难的学生予以指导，树立他们的学习信心.

5.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AC、BD

和CD的长度（精确到0.1米）.

解：如图，作BEC

垂直直线CD于E,

在直角三角形BED

中，有£，D=5tan30°=

U73u1.732

5x—«5x----=

33

2.89(米),

如图，作AF垂直直线CD于F,在直角三角形AFC中，

NACF=NCAF=45°,所以有CF二AF=BE=5

则有CD=(CF+FE)-ED=(CF+AB)-ED-(5+1.3)-2.89-3.4(米)

又有4。=笈*4/=5左=5乂1.414=7.1,

BD=2ED=2X2.89^5.8

所以CD,AC,BD的长分别约为3.4米，7.1米和5.8米.

【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数

学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题

已知什么，求什么？

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？不妨说说看.

【教学说明】让学生在相互交流过程中总结解题思路，解题方法,

进一步积累解题经验，并听取学生的疑问，及时查漏补缺.

季课后作观

1.布置作业：教材“习题1.6”中第1、2题.

2.完成练习册中本课时的练习

」教学反思

本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学

情境，引导学生将实际问题转化为简单的数学模型，培养学生的转化

能力，增强学生分析实际问题和解决实际问题的能力.

教学时应注意从实际生活出发，努力体现数学与生活的联系.此

外，还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能力,

注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变.

6利用三角函数测高

格课标要浜

【知识与技能】

能够利用三角函数测一些实际物体的高度.

【过程与方法】

经历探索测高的过程，让学生体会数学知识的发生、发展、应用

过程.并发展了学生的动手能力.

【情感态度】

体会数学来源于生活又服务于生活.

【教学重点】

能够利用三角函数测一些实际物体的高度.

【教学难点】

能够利用三角函数测一些实际物体的高度.

德教与15睚

一、情景导入，初步认知

请同学们欣赏下列图片，你们能测量出它们的高度吗？

埃及金字塔法国巴黎上海东方明珠马来西•亚

铁塔电视塔双子塔

【教学说明】用多媒体放映图片并让学生说明图片的名称和有关

图片的一些历史.可以提高学生的学习兴趣.

二、思考探究，获取新知

活动一：测量倾斜角.

测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅垂和支杆组

成（如图）.

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：

1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°

刻线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.

2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的

度数.

根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理

由

活动二：测量底部可以到达的物体的高度

所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测

点与被测物体底部之间的距离

如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：

1.在测点A处安置测倾器，测得乂的仰角/1\/^£二00.

2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=I

3.量出测倾器的高度AC二a（即顶线PQ成水平位置时它与地面的

距离），根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理

由。

M

£卜--------二

NA

活动三：测量底部不可以到达的物体的高度

所谓“底部不可以到达”就是在地面上不能直接测得测点与被测

物体底部之间的距离.

如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：

L在测点A处安置测倾器，测得M的仰角NMCE二a

2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A,B与N在一条直线

上，且A,B之间的距离可以直接测得），测得M的仰角NMCE=。

3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB二b.

根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由.

【教学说明】通过这三个活动的学习，可以掌握利用三角函数测

物体高度时，必须要测出哪些数据才能解决问题。

三、运用新知，深化理解

.在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形

量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度如图，

CDO

已知小明距假山的水平距离BD为12m,他的眼睛距地面的高度为1.6

m,李明的视线经过量角器零刻度线0A和假山的最高点C,此时,

铅垂线0E经过量角器的60。刻度线，则假山的高度为多少？

解：如图，作AKJLCD于点K,

VBD=12,李明的眼睛高1.6米，即AB=L6,ZAOE=60°,

・・・tan/ACK=季，

CK

.AK1212.nr

••CK=-----/A=TTO=—=4V3.

lan/ACKtan6C展

・・・CD=CK+DK=4痣+L6.

答：小山的高度为（4百'+1.6）米.

2.兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D处

用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30。，然后向楼前进

30m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60。，楼AB的高度是多少？

•rAGv3八「

..CFG=---------=——AG

tan6003

在RtZ^ACG中，tanNACG=殷，ZACG=30°

CG

所以CG=-^-=V3AG

tan30°

又・・・CF=CG-FG=30,

即J3AG—§AG=30,

解得AG=15V3.

・・・AB=AG+GB=15畲+2.

J这幢教学楼的高度AB为（15g+2）m.

3.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan=3,在与山脚C距离200米

4

的D处，测得山顶A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB（结果取整数,

参考数据：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0,50）

4

・•.BC=—AB.

3

48

•・・在Rl△408中，lan26.6°=丽=0.5,

・・.BD=2AB.

・・・BD-BC=CD=200,

4

・•・2ABAB=200,

3

解得：45=30Q

答:小山岗的高度为300米.

【教学说明】教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学

生都掌握.

四、师生互动，课堂小结

师生归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程

是：

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角

三角形的问题)；

(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;

(3得到数学问题的答案；

(4得到实际问题的答案.

J课后作业

1.布置作业：教材“习题L7”中第2、3题.

2.完成练习册中本课时的练习.

徐敦与反思

通过本节课的学习巩固了锐角三角函数的有关知识，大大培养了

学生的动手能力、合作能力、思维能力和总结汇总能力.

章末复习

P-

，课标要正

【知识与技能】

1.了解锐角三角函数的概念，熟记30。、45°、60°的正弦、

余弦和正切的函数值.

2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数

值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.

3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与

对应的思想.

【情感态度】

通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.

【教学重点】

会用解直角三的有关知识解决简单的实际问题.

【教学难点】

会用点直角三的有关知识解决简单的实际问题.

二藩教学过睚

一、知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章

知识及它们之间的关系.

二、释疑解惑，加深理解

1.锐角三角函数

①正弦、余弦、正切的定义

②锐角三角函数的定义

2.三角函数的计算

3.解直角三角形

4.解直角三角形的应用

【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学

生印象.

三、运用新知，深化理解

1.已知，如图，D是4ABC中BC边的中

点，ZBAD=90°,tanB=|,求sinNDAC.

解：过D作DE〃AB交AC于E,则NADE二NBAD=90°,

由tanB=1-,得当二：，

3AB3

设AD=2k,AB=3k；

・・・D是AABC中BC边的中点,

ADE=-k,

在RtZkADE中,AE=-k,

2

sinZDAC=—

AE|k5

2.计算：tan23O°+cos230°-sin245°tan45°

解：原式原约+（争2_（争2X1

--+--―--

3.如图所示，菱形ABCD的周长为20cm,DE±AB,垂足为E,sinA=

（则下列结论正确的个数有（）.

①DE=3cm;

②BE=lcm;/

③菱形的面积为15cm2;/

④BD=2V1Ocm.2_---

A.1个B.2个C.3个D.4个A

解析：由菱形的周长为20cm知菱形边长是5cm.

在RtZ^ADE中，

3

VAD=5cm,sinA二一，

ADE=AD•sinA=5X|=3(cm).

AE=JAE2-DE2=4(cm).

ABE=AB-AE=5-4=l(cm).

菱形的面积为AB•DE=5X3=15(cm2).在RtADEB中,

BD=7DF2+BE2=V324-12=V10(cm).

答案：C.

4.如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°

方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿

正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的

南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B

处与灯塔P的距离（结

分析：由题意知△/IB尸中Z.4=60°,乙B二

45°,乙APB=75。联想到两个三角板拼成的三角

形.因此很^自然作交48于。

解:过点。作PC，48垂足为C,则4APC=

30。，乙5PC=45°,4P:80,

PC

在RtZUPC中，cos乙4PC=—.

PA

・•.PC=PA-cosZAPC=40V3,