北师大版九年级数学上册同步教案全册

第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

‘涓教与目标

【知识与技能】

理解菱形的概念，掌握菱形的性质.

【过程与方法】

经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学

生思维意识，体会几何说理的基本方法.

【情感态度】

培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.

【教学重点】

理解并掌握菱形的性质.

【教学难点】

形成推理的能力.

打与a联

一、情境导入，初步认识

四人为一小组先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等，然后进行

全班性交流.

引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.

二、思考探究，获取新知

教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平

移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱

形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.

【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.

如图：将一张矩形的纸疝折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.

思考：1.这是一个什么样的图形呢？

2.有几条对称轴？

3.对称轴之间有什么位置关系？

4.菱形中有哪些相等的线段？

【教学说明】充分地利用学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学

习的热情.

【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、

对角线互相垂直.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P3第1题.

2.见教材P3例1.

3.如图,菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°,则B、D两点之间的距离

为（A）

A.15B.—>/3

2

C.7.5D.15G

R

【教学说明】本题考查有一个角是60。的菱形的一条对角线等于菱形的边

长.

4.如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC且交BC的延长线

于点E.

求证：DE=-BE.

2

AD

G

BCE

分析：由四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,易得BDJ_AC,ZDBC=30°,

又由DE〃AC,即可证得DE1BD,由30°所对的直角边等于斜边的一半，即

可证得DE=-BE.

2

证明：

方法一：如图，连接BD,

•・•四边形ABCD是菱形，NABC=60°,

ABDIAC,ZDBC=30°,//V\

BCE

VDE/7AC,

ADE1BD,即NBDE=90°,

.\DE=-BE.

2

方法二：

•・•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

・・・AD〃BC,AC=AD,

VAC//DE,

・・・四边形ACED是菱形，

.,.DE=CE=AC=AD,

又四边形ABCD是菱形，

.,.AD=AB=BC=CD,

・•・BC=EC=DE,即C为BE的中点，

.*.DE=BC=-BE.

2

【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度

不大，注意数形结合思想的应用.

5.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过

。点作OE_LAB,垂足为E.

(1)求NABD的度数；

(2)求线段BE的长.

DC

分析：(1)根据菱形的四条边都相等，又NA=6()。，得到4ABD是等边三

角形，NABD是60°；

(2)先求出OB的长和NBOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜

边的一半即可求出.

解：(1)在菱形ABCD口，AB=AD,ZA=60°,

•二△ABD为等边三角形，

AZABD=60°；

(2)由(1)可知BD=AB=4,

又丁。为BD的中点，

・・・OB=2,

XVOE1AB,ZABD=60°,

AZBOE=30°,

/.BE=1.

【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角

边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.

学生自主完成，如有一定难度可相互交流，最后由教师总结.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作补充.

;课后作业

1.布置作业:教材“习题1.1"中第1、2题.

2.完成练习册中相应练习.

；敦与反思

本节课中，重在探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学

生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用.

第2课时菱形的判定

教与目标

【知识与技能】

1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；

2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.

【过程与方法】

经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应月方法，发展学生主

动探究的思想和说理的基本方法.

【情感态度】

培养良好的思维意识以及推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能

力、动手能力及逻辑思维能力.

【教学重点】

菱形的两个判定方法.

【教学难点】

判定方法的证明及运用.

空驰与伺程

一、情境导入，初步认识

回顾：

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形.

（2）菱形的性质：

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角.

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条

件）

【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.用以

温故而知新.

二、思考探究，获取新知

活动1

按下列步骤画出一个平行四边形：

（1）画一条线段长AC=6cm；

（2）取AC的中点0,再以点0为中点画另一条线段BD=8cm,且使BD_LAC；

（3）顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.

猜猜你画的是什么四边形？

【归纳结论】菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂

直.

［教学说明】首先教师活动让学生观察，然后让学生自己动手亲自体验活动

从而猜想出结论来.

已知：在口ABCD中，ACXBD.

求证：ZZ7ABCD是菱形.

证明：

・・•四边形ABCD是平行四边形，AC±BD,

・•・0ABCD是菱形.

活动2

画一画：作一条线段AC,分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径

画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.

思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？

【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形.

【教学说明】让学生亲自动手体验活动，猜想出结论来并进行证明.从而加

深印象

三、运用新知，深化理解

1.见教材教例2.

2.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG

与FH交点于0,则图中的菱形共有（B）

A.4个B.5个

C.6个D.7个

A

E,H

c

3.下列说法正确的是（B）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形

D.对角线相等的四边形是菱形

4.如图，ZXABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点0,

CE〃AB交MN于E,连结AE、CD.

求证：AD=CE；

证明：:MN是AC的垂直平分线.

A0A=0C,ZAOD=ZEOC=90°,

VCE/7AB,

/.ZDAO=ZECO,

.•.△ADO^ACEO,

AAD=CE.

5.如图，在AABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,CE平分NACB,交

AD于G,交AB于E,EF_LBC于F,求证：四边形AEFG是菱形；

证明：・.・CE平分NACB,EA±CA,EF_LBC,

AAE=FE,

,/ZACE=ZECF,

AAAEC^AFEC,

；・AC=FC,

VCG=CG,

.,.△ACG^AFCG,

.\ZCAG=ZCFG=ZB,

・・・GF〃AE,

VADIBC,EF1BC,

・・・AG〃EF,故四边形AGFE是平行四边形

XVAG=GF（或AE=EF）,

，平行四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

【教学说明】让学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结

果.让学生从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.

四、师生互动、课堂小结

1.师生共同回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边

形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

：课后作业

1.布置作业:教材“习题1.2”中第2、3题.

2.完成练习册中相应练习.

［弱与反思

本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性,而且通过动手做一做,

然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习

中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.

第3课时菱形的性质与判定的运用

73教与目标

【知识与技能】

能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积

的求法.

【过程与方法】

经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化的思想.

【情感态度】

培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值;培养学生的观察能力、

动手能力及逻辑思维能力.

【教学重点】

利用菱形性质定理与判定定理解决一些相关问题.

【教学难点】

菱形性质的探究.

二低与另程

一、情境导入，初步认识

活动：

如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使NA成为菱形的

一个内角吗？

【教学说明】通过折纸活动激发学生的兴趣，同时对于菱形的相关判定方法

也进行了巩固.

二、思考探究，获取新知

如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什

么？

拓展：若纸条的宽度是4cm,ZABC=60°,你会求菱形的面积吗？你有几

种不同的方法？与同学交流.

【归纳结论】菱形面积的计算公式：①如图，S受形ABCD=AB-DE,即菱形的

面积等于底乘高;

②S箜形ABCD-’AC-BD,即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.

2

【教学说明】对菱形性质的归纳是学生对菱形特征的认识、是知识的一次升

华，有助于培养学生的概括能力，突出教学重点.

三、运用新知，深化理解

如图，在AABC中，AB=BC,D、E、F分别是BC、

AC、AB的重点.

(1)求证：四边形BDEF是菱形；

(2)若AB=10cm,求菱形BDEF的周长.

解：(1)证明：YE、F分别是AC、AB的中点，

.*.EF=-BC,EF〃CB.

2

又・・・D、E分别是BC、AC的中点，

/.DE=yAB,DE〃AB,

・•・四边形BDEF是平行四边形.

XVAB=BC,AEF=DE,

・•・四边形BDEF是菱形.

(2)YF是AB的中点，ABF=-AB.

2

又.“8=10cm,

•*.BF=5cm.

・・•四边形BDEF是菱形，

ABD=DE=EF=BF,

・•・四边形BDEF的周长为4X5=20(cm).

【教学说明】菱形的性质与判定的综合应用，一般先证明四边形是菱形，再

利用菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的区别与联系.

四、师生互动、课堂小结

通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

空课后作业

1.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4题.

2.完成练习册中相应练习.

空弱与反思

通过复习回顾菱形的性质和判定，唤醒学生的记忆，然后给学生设置好一个

个有梯度的问题，调动学生的求知欲，树立勇于战胜自我的信念.

2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

73教与目标

【知识与技能】

了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.

【过程与方法】

经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维

方法.

【情感态度】

培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.

【教学重点】

掌握矩形的性质，并学会应用.

【教学难点】

理解矩形的特殊性.

:敦字国程

一、情境导入，初步认识

将收集来的有关长方形的图片给学生观察，让学生进行感性认识，引入新课

一一矩形.

【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值.

二、思考探究，获取新知

1.拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行

四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）

2.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生

观察这是什么图形？

力兰角时

♦♦z'llII

平行四边形

【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫

长方形）.让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边

形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质.

思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？

【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点.

【归纳结论】

矩形性质1矩形的四个角都是直角.

矩形性质2矩形的对角线相等.

3.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

4.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点0,求A0与BD的数量关系.

【归纳结论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【教学说明】引导学生尽可能多地发现结论，养成善于观察的好习惯.

三、运用新知，深化理解

1.已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,ZAOB=60°,AB=4cm,

求矩形对角线的长.

D

n

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，它具有对角线相等且互相平分的特殊

性质，根据矩形的这个特性和己知条件，可得4OAB是等边三角形，因此对角

线的长度可求.

解：•・•四边形ABCD是矩形，

.'AC与BD相等且互相平分.

.'.OA=OB.

又NAOB=60°,

AAOAB是等边三角形.

・••矩形的对角线长AC=BD=2OA=2X4=8(cm).

2.已知：如图，矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD长4cm.求AD的

长及点A到BD的距离AE的长.

分析：因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形

的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中

常用的方法.

解：(1)设AD二xcm,则对角线长(x+4)cm,在RtZ\ABD中，由勾股定

理：x2+82=(x+4)2,解得x=6.则AD=6cm.

(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两

直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE・DB=AD-AB,解得AE

=4.8cm.

3.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF_LAE于F,若AE=BC.

求证：CE=EF.

分析：CE、EF分别是BC,AE线段上的一部分，若AF=BE,则问题解决,

而证明AF=BE,只要证明AABE空ZXDFA即可，在矩形中容易构造全等的直角

三角形.

证明：・・•四边形ABCD是矩形,

・・・NB=90°，且AD〃BC.

AZ1=Z2.

VDF1AE,

AZAFD=90°.

AZB=ZAFD.

又AD=AE,

/.△ABE^ADFA(AAS).

・・・AF=BE.

・・・EF二EC.

此题还可以连接DE,证明△DEF^^DEC,得至ljEF=EC.

【教学说明】给予学生足够的时间，让学生独立思考，小组合作，由不同学

生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中

的基本图形.

4.若矩形的一个角的平分线分一边为4cm利3cm的两部分，则矩形的周长

为为或20cm.

解：本题需分两种情况解答.

即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm,或者矩形的角平分线分一

边为3cm和4cm.

当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2X(3+4)

+2X4=22cm；

当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2X(3+4)+2X

3=20cm.

【教学说明】本题考查的是矩形的基本性质，学生需要注意的是分两种情况

作答即可.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾矩形的性质.

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

・J谭后作业

1.布置作业：教材“习题1.4”中第2、3题.

2.完成练习册中相应练习.

:弱与反思

本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生的视线

集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生

更容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强

了学生对知识之间的理解和把握.

第2课时矩形的判定

’3教与目标

【知识与技能】

1.理解并掌握矩形的判定方法.

2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一

步培养学生的分析能力.

【过程与方法】

经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和

方法.

【情感态度】

培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.

【教学重点】

理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.

【教学难点】

定理的证明方法及运用.

;敦亨国程

一、情境导入，初步认识

事例引入：小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度

相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩

形相框吗？看看谁的方法可行？

【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.

二、思考探究，获取新知

动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.

a

思考：1.随着Na的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

2.当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？

【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做准备.

【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.

证明：（见教材Pi4例题）

矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个

四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.

【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.

【教学说明】培养学生的归纳总结能力，同时也训练了学生的语言表达能力

和分析问题的能力.

三、运用新知，深化理解

1.对角线相等的平行四边形是矩形.

有三个角是直角的四边形是矩形.

解析：矩形的判定定理有：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形.

2.下列说法正确的是（D）

A.一组对边平行且相等的四边形是矩形

B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形

D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

解析：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；B、一

组对边平行且相等并有一个角是直角的四边形是矩形，故B缙误；C、对角线相

等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形"），故C

错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确.

【教学说明】让学生口答第1、2道题，训练学生的语言表达能力.

3.如图所示，OABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,试说

明四边形EFGH是矩形.

DC

H

AB

解:VZHAB+ZHBA=90°.

/.ZH=90°.

同理可求得

ZHEF=ZF=ZFGH=90°

・•・四边形EFGH是矩形.

【教学说明】在黑板上展示第3题，有多种证明方法的题目学生口答展示，

教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析

问题的能力.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

谭尼作业

1.布置作业：教材“习题1.5”中第2、3题.

2.完成练习册中相应练习.

本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说明得到的矩形判定进

行的重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提

供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的数学认识，激发学

生的数学情感，促进学生数学水平的提高.

第3课时矩形的性质与判定的运用

’3教与目标

【知识与技能】

熟练运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.

【过程与方法】

经历从性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、证

明，体会数学知识之间的联系和区别.

【情感态度】

通过严谨的推理，强化学生的规范意识.

【教学重点】

灵活运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.

【教学难点】

利用矩形的相关性质构造新的图形，进而对知识进行转化.

一、情境导入，初步认识

如图，在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与BD相交于点O,AE1BD,

垂足为E,ED=3BE.求AE的长.

【教学说明】通过例题感受知识的应用的同时体会知识之间的联系及转化,

并通过规范的步骤强调教学推理的严谨性.

二、思考探究，获取新知

己知：如图，在aABC中，AB=AC,AD是aABC的一条

角平分线，AN为4ABC的外角NCAM的平分线，CE1AN,

垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.

【思考】在上例中，连接DE,交AC于点F.

（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；

（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.

【教学说明】让学生感受矩形与等腰三角形之间的联系，感受知识转化在解

决问题中的作用.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P16〜P17例3.

2.如图，0是矩形ABCD的对角线的交点，过点0的直线EF分别交AB、

CD于点E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（B）

AD

A—C.-D—

*54310

3.（一题多解）如图所示，AABC为等腰三角形，AB二AC,CD±AB于D,

P为BC上的一点，过P点分别作PE_LAB,PF1CA,垂足分别为E,F,则有

PE+PF二CD,你能说明为什么吗？

解：解法一：能.如图所示，过P点作PHJ_DC,垂足为H.

可得四边形PHDE是矩形，

APE=DH,PH//BD

.\ZHPC=ZB又

VAB=AC

/.ZB=ZACB

:.ZHPC=ZFCP.

又,.・PC=CP,ZPHC=ZCFP=90°

/.△PHC^ACFP

・・・PF=HC

JDH+HC=PE+PF

即：DOPE+PF.

解法二：能.如图，延长EP,过C点作CH_LEP,垂足为点H,如图所示,

可得四边形HEDC是矩形，

.*.EH=PE+PH=DC,CH//AB

/.ZHCP=ZB.

/.△PHC^APFC

.e.PH=PF

・・・PE+PF=DC.

【教学说明】通过应用性的练习，巩固基础知识的同时，感受知识的综合运

用在解题过程中的重要性，使所学知识进行深化.

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

;需后作业

1.布置作业：教材“习题1.6”中第1、2、3题.

2.完成练习册中相应练习.

:狗I与反思

本节课在复习前一节课内容的基础上利用矩形的性质和判定解决具体问题，

在例题的选择和设计上，追寻知识向能力的转化，让学生主动尝试从数学的角度

运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时训练学生清晰、有条理地表达自

己的思考过程，从而培养学生的推理能力和分析问题的能力.

3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

‘涓教与目标

【知识与技能】

使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用

它们进行有关的论证和计算.

【过程与方法】

学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力，促进其

逐步掌握说理的基本方法.

【情感态度】

通过分析正方形的概念、性质与矩形、菱形的概念、性质的联系和区别，

对学生进行辩证唯物主义教育.

【教学重点】

正方形的性质.

【教学难点】

正方形的性质.

二低与另程

一、情境导入，初步认识

1.在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四

边形呢？

2.展示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？

【教学说明】学生回答后，再展示图片，使学生感受到生活中到处存在数学,

激发学习热情.

【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方

形.

二、思考探究，获取新知

1.做一做：用一张长方形的纸片折出一个止方形.

2.观察：这个正方形具有哪些性质？

【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识.

【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等

且互相垂直平分.

3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个

图直观地说明吗？

【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感

受变化过程，更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P21例1.

2.如图，aABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方

形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对

数为()

A.I2B.13C.26D.30

解析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三

角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.设AB=3,

图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成

10对全等三角形；斜边长为拉的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长

为2的有2个，它们组成1定全等三角形；共计26对.故选C.

3.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A(0,1),点B(0,0),则点C,

D坐标分别为(1,0)和(1,1).(只写一组)

解析：首先根据正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),在坐标系内

找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C,D的坐标.・・,正方形ABCD

的点A(0,1),点B(0,0),・・・AD〃x轴，CD〃y轴，这样画出正方形，即

可得出C与D的坐标，分别为：C(1,0),D(1,1).

4.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG1EF,垂足为

G,且AG=AB,求NEAF度数.

分析：根据角平分线的判定，可得出△ABFgAAGF,故有NBAF二NGAF,

再证明△AGEgZ\ADE,有NGAE=NDAE,所以可得NEAF=45°.

解：在Rt4ABF与RtZ^AGF中,

VAB=AG,AF=AF,ZB=ZG=90°，

AAABF^AAGF（HL）,

AZBAF=ZGAF,

同理易得：△AGEgAADE,

有NGAE=NDAE；

即NEAF=NEAG+NFAG

=-（ZDAG+ZBAG）

2

=-ZDAB=45°，

2

故NEAF=45°

【教学说明】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.

5.如图，正方形ABCD中，AB=3,点E、F分别在BC、CD上，且NBAE=30。,

ZDAF=15°.

（1）求证：DF+BE=EF；

（2）求NEFC的度数.

分析：（1）延长EB至G，使BG=DF,连接AG利用正方形的性质，证明△

AGE^AAFE,AFAE^AGAE,得由DFIBE=EF；

（2）根据△AGE0ZXAFE及角之间的关系从而求得NEFC的度数；

解：（1）延长EB至G,使BG=DF,连接AG,

•・•四边形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=90°，

VBG=DF,

.•.△ABG^AADF,

AAG=AF,

VZBAE=30°,ZDAF=15°,

AZFAE=ZGAE=45°,

VAE=AE,

AAFAE^AGAE,

・•・EF二EG=GB+BE=DF+BE；

(2)VAAGE^AAFE,

AZAFE=ZAGE=ZDFA=90°-ZDAF=75°,

AZEFC=180°-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°,

/.ZEFC=30°.

【教学说明】学生独立完成以培养学生的独立意识.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾正方形有哪些性质？

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

:谭后作业

1.布置作业:教材“习题1.7”中第2、3题.

2.完成练习册中相应练习.

二打与反思

本课虽然是学习正方形的性质，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性

质的复习、归纳和总结的作用，培养学生的发散思维能力.

第2课时正方形的判定

’3教与目标

【知识与技能】

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.

【过程与方法】

经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探

索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.

【情感态度】

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主

义教育，提高学生的逻辑思维能力.

【教学重点】

正方形的判定方法.

【教学难点】

正方形的判定方法.

一、情境导入，初步认识

宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉

起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只

见另一组对角也能完全重合，认为是正方形，把纱巾给了宁宁.你认为手上的纱

巾一定是正方形吗？

【教学说明】采用情境弓入，使学生主动的联想、想象、积极地发散思维，

也体现了数学建模思想.

二、思考探究，获取新知

1.引导学生把实际问题转化为数学问题.“对折两次，能够完全重合”实际上

告诉了我们什么？小组讨论说一说.

2.汇报讨论结果，统一结果.对折两次可以得出四边相等，也可以得出对角线

垂直平分，即纱巾的两条对角线是对称轴，即只能保证纱巾是菱形.

【教学说明】学生自己动手用纸代替纱巾折一折，鼓励学生说出自己的结论

和想法.

思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？由菱形变为正方形还需要哪些

条件？

【教学说明】引导学生独立思考，得到正方形所需要的条件.

【归纳结论】对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有

一个角是直角的菱形叫做正方形.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P23例2.

2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(D)

/口

区

BC

A.当AB=BC时，它是菱形

B.当AC_LBD时，它是菱形

C.当NABC=90°时，它是矩形

D.当AC=BD时，它是正方形

解析：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互

相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；

D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形.故选D.

3.用两个全等的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形(不包含菱形、矩

形、正方形)；(2)矩形；(3)菱形；(4)正方形；(5)等腰三角形，一定可以

拼成的图形是(A)

A.(1)(2)(5)B.(2)(3)(5)

C.(1)(4)(5)D.(1)(2)(3)

解析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；

直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是矩

形.

【教学说明】本题考查学生的动手能力，有些题只要学生动手就能很快解决,

注意题目的要求有“一定”二字.

4.已知：如图，D是AABC的BC边上的中点，DE_LAC,DF_LAB,垂足

分别是E、F.且BF=CE

(1)求证：AABC是等腰三角形；

(2)当NA=90°时，试到断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论.

分析：先利用HL判定Rtz^BDFgRtZ\CDE,从而得到/B=NC,即4ABC

是等腰三角形;

由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正

方形.

(1)证明：VDE±AC,DF_1_AB,

ZBFD=ZCED=90°,

又,.,BD=CD,BF=CE,

ARtABDF^RtACDE,

AZB=ZC.

故AABC是等腰三角形；

（2）解：四边形AFDE是正方形.

证明：VZA=90°,DE1AC,DF1AB,

・・・四边形AFDE是矩形，

又RtABDF^RtACDE,

?.DF=DE,

・・・矩形AFDE是正方形.

5.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延

长线上的点，且4ACE是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若NAED=2NEAD,求证：四边形ABCD是正方形.

分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得AAOEg

△COE,AZAOE=ZCOE=90°,/.BE±AC,工四边形ABCD是菱形；

（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得NADO=NDAE+N

DEA=150+30°=45°，:四边形ABCD是菱形，.・・NBAD=2NDAO=90°,J

四边形ABCD是正方形.

证明：（1）・・,四边形ABCD是平行四边形,

AAO=CO.

VAACE是等边三角形，

/.EO±AC（三线合一）

・•・四边形ABCD是菱形.

（2）从上易得：AAOE是直角三角形，

ZAED+ZEAO=90°

•••△ACE是等边三角形，

AZEAO=60°,

.•・ZAED=30°

・・・ZAED=2ZEAD

・・・NEAD=15°,

JZDA0=ZEAO-ZEAD=45°

・・•四边形ABCD是菱形，

JZBAD=2ZDAO=90°

・•・平行四边形ABCD是正方形.

【教学说明】学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.

既达到巩固新知识的目的又能让学生意识到数学知识的应用是非常容易的.养成

学以致用的好习惯.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

课后作皿

1.布置作业：教材“习题1.8”中第3、4题.

2.完成练习册中相应练习.

:弱与反思

前边己经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行

四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习总结、归纳前面所学内

容，理清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.

本章复习

’3教与目标

【知识与技能】

熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进

行有关的证明和计算.

【过程与方法】

引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、推理能力和归纳

概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.

【情感态度】

在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到

解决平行四边形问题的一般方法.

【教学重点】

使学生能熟练地运用平行四边形的性质、判定定理.

【教学难点】

构造平行四边形解决问题.

・宜驰与亘联

一、知识结构

性质

平

判定

行

性质

四

判定

边

性质

形

判定

二、释疑解惑，加深理解

1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、

对角线互相垂直.

2.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形

是菱形.

3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.

4.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形

是矩形.

5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线

相等且互相垂直平分.

6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形;

有一个角是直角的菱形叫做正方形.

【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、

判定.

三、典例精析，复习新知

1.矩形的一条较短边的长为5cm,两条对角线的夹角为60°,则它的对角线

的长等于10cm.

2.己知菱形的锐角是60°,边长是20cm,则较长的对角线是20港cm.

3.如图，E是正方形ABCD内一点，如果4ABE为等边三角形，那么

NDCE=11度.

4.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩

形ABCD的面积为（C）

A.98B.196

C.280D.248

解析：设小矩形的长、宽分别为x、y,根据周长为68的矩形ABCD,可以

列出方程3x+y=34；根据图示可以列出方程2x=5y,联立两个方程组成方程组,

解方程组就可以求出矩形ABCD的面积.设小矩形的长、宽分别为x、y,

3x+y=34,

依题意得＜

2x=5y

x=10

解之得＜

y=4

・•・则矩形ABCD的面积为7义10X4=280.

故选C.

5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AP〃BD,DP〃AC,

AP、DP相交于点P,则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.

p

分析：由AP〃BD,DP〃AC先判断四边形AODP是平行四边形，再由

AO=DO判断四边形AODP为菱形.

解：四边形AODP是菱形，理由如下:

・.・AP〃BD,DP〃AC,

，四边形AODP是平行四边形.

又・・,矩形的对角线互相平分，

得AO=DO,

由菱形的判定得四边形AODP为菱形.

6.如图所示，有两条笔直的公路BD和EF(宽度不计)，从一块矩形的土地

ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=4()米，EF=30米，求四边形

BEDF的面积.

分析：连接DE、BF,因为四边形ABCD是矩形，所以AB〃CD,进而求

证DF二BE,再求证FD=FB,即可判定四边形BFDE是菱形，根据菱形面积计算

公式即可计算菱形BFDE的面积.

解：如图，连接DE、BF,

•・•四边形ABCD是矩形，

AAB/7CD,

:.ZODF=ZOBE,

由EF垂直平分BD,

得OD=OB,ZDOF=ZBOE=90°,

又BE〃DF,・・・NFDO=/OBE,

AADOF^ABOE,

・・・DF二BE,

・・・四边形BEDF是平行四边形，

又・・・EF是BD的垂直平分线，

AFD=FB,因此四边形BFDE是菱形,

・♦.S菱形BFDE=-EF-BD

2

=1x30X40=600（米2）.

2

7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形

组成，设中间最小的一个正方形边长为1,求这个矩形色块图的面积.

分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的

边长为1,可利用边长之间的关系建立等式.

解:由图可知DF-AE=1,AE=BE+1,2CF-DF=1,

即DF=AE+1,AE=CF+1+1,DF=CF+3,

故2CF-CF-3=1,解得CF=4,

.*.BE=5,AE=6,

/.AB=11,BC=13,S=AB•BC=11X13=143.

【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进

理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.

四、复习训练，巩固提高

1.已知：如图，在矩形ABCD中，CE_LBD,E为垂足，ZDCE：ZECB=3：

1,MZACE=45_fi.

解析：根据矩形的性质首先求出NDCE,ZECB的度数.然后利用三角形内

角和定理求解即可.

2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,AE交CD

于点F,则度.

AD

RCE

解析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么NACB=45°,即N

ACE=135。，在等腰4CAE中，已知顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得

ZE的度数.

3.如图，以4ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即4

ABD、ABCE>AACF,请回答下列问题，并说明理由.

（1）四边形ADEF是什么四边形；

（2）当aABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形.

分析：（1）四边形ADEF是平行四边形.根据aABD,AEBC都是等边三角

形，容易得到全等条件证明△D