广东省广州市重点高中2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题含答案

2024-2025学年联考数学试题全卷满分150分考试用时120分钟本试卷共4页，19题.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义，即可求解.【详解】集合，，则.故选：D2.若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件．其中与命题等价的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项．【详解】解：由得韦恩图：对于①等价于，故①正确；对于②等价于，故②不正确；对于③等价于，故③正确；对于④与A、B是全集I的真子集相矛盾，故④不正确；对于⑤是的必要不充分条件等价于AB，故⑤不正确，所以与命题等价的有①③，共2个，故选：B.3.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即可.【详解】函数的单调递增区间为，依题意，，则，所以实数的取值范围为.故选：C4.已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（）A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]【答案】D【解析】【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得.故选：D.5.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案.【详解】函数中，，解得，又的开口向下，对称轴方程为，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数单调递减区间是.故选：A6.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得.【详解】函数有意义，则，解得或，所以函数的定义域是.故选：D7.函数（）的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果.【详解】因为，所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项；因为,可排除选项,故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8.若函数是幂函数，且在上单调递减，则（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出函数值.【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得，因此，.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）下列选项正确的是（）A.若，则的最小值为2B.若正实数x，y满足，则的最小值为8C.的最小值为2D.函数（）的最大值是0【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．【详解】对于A，当时，，故A错误，对于B，∵，，，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8，故B正确，对于C，令，，在上单调递增，则y的最小值为，故C错误，对于D，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故，即函数y最大值为0，故D正确．故选：BD．10.下列函数中，对任意，，，满足条件的有（）．A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】结合已知条件，根据函数的凸凹性即可求解.【详解】由题意可知，在上是下凸函数，由指数函数的图像和性质可知，AB正确；由幂函数的图像和性质可知，C错误，D正确.故选：ABD.11.已知，，且，下列结论中正确的是（）A.的最大值是 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】因为，，且，对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，则的最大值为，故A正确；对于B，由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误；对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C正确；对于D，由，得，当且仅当时等号成立，则的最小值是，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：__________.【答案】##【解析】【分析】应用指数幂运算化简求值.【详解】.故答案为：13.若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由原命题为假，其否定为真得到在上恒成立，结合对应函数单调性求右侧的最大值，即可得参数范围.【详解】由题设命题为假，则为真，所以，即在上恒成立，又在上递增，故，所以.故答案为：14.若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解.【详解】由得，由题意知在区间上单调递增.①时，在区间上单调递增，符合题意；②时，在区间上单调递增，若在区间上单调递增，则，即对恒成立，所以成立，故，即；③时，对恒成立，此时，函数由，复合而成，在上单调递增且，而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在上单调递增，则，即.综合①②③可知a的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，，（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简集合，，根据集合的交、并、补的定义计算即可.（2）由题意可知，，分情况讨论即可.【小问1详解】由已知得，,，，；【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，若，即时，，符合题意；若，即时，，所以，所以；若，即时，，所以，所以综上，16.已知函数.（1）证明：函数是奇函数；（2）用定义证明：函数在0,+∞上是增函数.【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可；（2）根据增函数的定义证明即可.【小问1详解】由函数,可得其定义域为R，关于原点对称,又由,所以函数为定义域R上的奇函数.【小问2详解】当时,,任取,且,可得因为,且，可得,所以，即.所以函数在上是增函数.17.随着城市地铁建设持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足:，平均每班地铁的载客人数（单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：，（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围；（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.【答案】（1）；（2），最大值为260元.【解析】【分析】（1）根据题意即求解不等式；（2）根据题意求出的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.【详解】（1）当，超过1560，所以不满足题意；当，载客人数不超过1560，即，解得或，由于所以；（2）根据题意，则根据基本不等式，，当且仅当，即时取得等号，所以，即当时，平均利润的最大值为260元，当时，单调递减，，综上所述，最大值为260元.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件.18.已知函数是定义在上的奇函数，且（1）求、的值及的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由求出、的值并验证，进而求出的解析式.（2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可.（3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解.【小问1详解】由函数是定义在上的奇函数，得，由，得，解得，，，函数是在上的奇函数，所以，.【小问2详解】由（1）知，，函数在上单调递增，且，则，由，得，则，即，所以函数在上单调递增.【小问3详解】不等式恒成立，即，而函数是定义在上的奇函数，则，又函数在上单调递增，因此，解得，所以实数的取值范围为.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题可得图象过点结合可得，的值；（2）由单调性证明步骤可证得结论；（3）