专题11三角形中的特殊模型-高分线模型、双(三)垂直模型(原卷版+解析)

专题11三角形中的特殊模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论：的面积＝的面积；；；．其中结论正确的是（

）A． B． C． D．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：在中，，分别是的高和角平分线，(1)若，．求的度数．(2)试求与有何关系？

模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图所示，在中，，分别是，边上的高，并且，交于点，若，则等于()A． B． C． D．例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（）．A． B． C． D．例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·江西鹰潭·七年级阶段练习）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．例2．（2022·山东八年级月考）如图，在中，，是角平分线，且，求证：．

例3．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（

）.A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2例4．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，在中，，于点．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，求的度数．课后专项训练1．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）将一副直角三角板（）按如图所示的方式摆放，其中顶点C与顶点F重合，则的大小为（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（）A． B． C． D．4．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（

）的面积等于的面积；

②；③；

④．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③5．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为．6．（2022秋·湖南永州·八年级统考期中）如图，、是等边的高，则．

7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．

8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在直角中，，于，平分交于点，交于点F．(1)试说明．(2)若，求的度数．

9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，．(1)求的度数；(2)求的度数．解：（1）（已知），______°，（______），______°______°（等量代换），（2）（______），_____（等式的性质），（已知），____________°（等量代换）．10．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，(1)求证：平分；(2)若，求证：．

11．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E，(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．12．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．(1)若，则_______；(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．

13．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．

14．（2023·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，于，．(1)求证：为线段的中点．(2)若，求的度数．15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；(2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；(3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．16．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．(1)求的长度；(2)求的度数．

17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．(1)若的周长为13，，，求的长度；(2)若，的面积为10，，求点到的距离．

18．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于.（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，请用含，的代数式表示的面积，___________（直接写出结果）19．（2023春·辽宁阜新·七年级校考期中）如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数．

20．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分．(1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．

专题11三角形中的特殊模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据直角三角形，即可得到，再根据,平分,即可得到的度数,再根据进行计算即可．【详解】解：,,又,平分,，,故选：C．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．例2．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论：的面积＝的面积；；；．其中结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．【详解】解：是的中线的面积等于的面积

故正确；，是的高，是的角平分线又故正确；

故正确；故错误；故选：C【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE＝CE，再表示△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴S△ACB=AB•AC＝BC•AD，∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的长度为cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：在中，，分别是的高和角平分线，

(1)若，．求的度数．(2)试求与有何关系？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，求出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案；（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据三角形高的定义可知，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案．【详解】（1）解：，，，是的平分线，，是的高，，，，；（2）解：，理由如下：，，是的平分线，，是的高，，，．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形的高，三角形的内角和定理，能求出和的度数是解此题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图所示，在中，，分别是，边上的高，并且，交于点，若，则等于()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形高的定义，求得，进而根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：，，，又，，．故选：A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．【详解】∵，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出是解题关键．例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

【答案】(1)(2)【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·江西鹰潭·七年级阶段练习）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．【答案】见解析【分析】根据同角的余角相等即可解答．证明：在中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握公式和定理是解题的关键，（a≠0，n为正整数）．例2．（2022·山东八年级月考）如图，在中，，是角平分线，且，求证：．

【答案】见解析【分析】根据是的角平分线，可得，由，得出，根据已知条件以及对顶角相等得出，进而根据等量代换得出，进而得出，即可得证．【详解】解：∵是的角平分线，∴，∵在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．例3．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（

）.A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2【答案】A【分析】根据等面积法可以求得CH的长．【详解】解：，解得CH=2.4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的面积，用两种方法表示出三角形的面积是解题的关键．例4．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，在中，，于点．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)的度数为【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法求解即可；（2）首先根据三角形内角和定理得到，然后利用角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】（1）如图，射线即为所求；

（2），，，平分，，，，，，即的度数为．【点睛】此题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．课后专项训练1．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）将一副直角三角板（）按如图所示的方式摆放，其中顶点C与顶点F重合，则的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角即可得．【详解】解：如图所示，

∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接，由垂直平分线得，可求得，于是，根据，求得．【详解】解：连接，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30º角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直平分线导出角之间关系是解题的关键．3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，那么，然后利用分别表示，，，最后利用三角形内角和定理建立方程解决问题．【详解】解：∵中，，∴设，那么，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角形内角和定理．4．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（

）的面积等于的面积；

②；③；

④．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】B【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断的面积等于的面积；②先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质得出，，即可得证；③先根据同角的余角相等证得再根据角平分线的定义得出，于是推出；④无法证得AH=BH．【详解】解：∵是的中线，∴，∴的面积等于的面积，故①正确；∵是的角平分线，∴，∵是的高线，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的一个外角，∴，∵是的一个外角，∴，∴，故②正确；∵CF是的高线，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∴，故③正确；无法证得AH=BH，故④错误；故正确的有①②③故选∶B．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．5．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为．【答案】6【分析】过点G作交于点M，过点M作，根据等腰三角形各角之间的关系得出，再由垂直及等量代换得出，利用等角对等边确定，，再由全等三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：过点G作交于点M，过点M作，如图所示：∵，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，，在与中，，∴∴，∴，故答案为：6．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键．6．（2022秋·湖南永州·八年级统考期中）如图，、是等边的高，则．

【答案】/度【分析】根据题意可得、是的角平分线，，则，根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵、是等边的高，∴、是的角平分线，，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．

(1)如果，求的度数；(2)试说明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数；（2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证．【详解】（1）解：，，，平分交于，，；（2）证明：，，，，，平分交于，，，，．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在直角中，，于，平分交于点，交于点F．

(1)试说明．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，，再根据同角的余角相等可得，等量代换即可证明．（2）根据三角形的一个外角性质解答即可．【详解】（1）解：，，又，，，．（2）解：，于，，，平分交于点，，．【点睛】本题考查三角形外角的性质，余角的性质，本题证明的方法很多，可根据利用直角三角形两锐角互余来证明，也可根据三角形外角定理证．9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，．(1)求的度数；(2)求的度数．解：（1）（已知），______°，（______），______°______°（等量代换），（2）（______），_____（等式的性质），（已知），____________°（等量代换）．【答案】(1)；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；；；35【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可．【详解】（1）解：已知，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．等量代换．（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，等式的性质．已知，等量代换．【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键．10．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，

(1)求证：平分；(2)若，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明，，再证明，从而可得结论；（2）先证明，可得，，，从而可得结论．【详解】（1）证：在中，在中，∵，∴，∴，∴CE平分；（2）∵，∴∵在中，，而∴∴∵在中，∴∵在中，∴，∴．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并求解是解本题的关键．11．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E，(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)AB＝4【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，进而得出Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．【详解】（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30°角所对的直角边长度是斜边的一半，解题时注意：三角形内角和是180°，三角形外角等于不相邻两个内角的和．12．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．

(1)若，则_______；(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．【答案】(1)(2)小明的说法正确，理由见解析【分析】（1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用角的和差即可求出；（2）根据（1）的思路求出，即可作出判断．【详解】（1）∵，，，∴,∵是的平分线，∴，∵是高线，，，∴；（2）∵是的平分线，．是高线，，，．由可知：的度数与的具体数值无关，只和与的差值有关，故小明的说法正确．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．13．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．

(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据，得出，求出，最后根据得出结果；（2）根据角平分线的定义得出，根据高线的定义得出，求出，根据，得出，根据求出结果即可．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，∵是的平分线，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，是的平分线，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．14．（2023·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，于，．(1)求证：为线段的中点．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据垂直平分，得出，根据已知，得出，根据等腰三角形的性质即可得证；（2）设，得出，根据，以及三角形内角和定理列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：连接，如图所示，垂直平分，，，，是等腰三角形，，是的中点，（2）解：设；，，，，，在三角形中，，解得，．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；(2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；(3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．【答案】(1)与；与；与（任意写出两对“等角三角形”即可）(2)见解析(3)的度数为或或或【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，，，再根据“等角三角形”的定义即可得；（2）先根据三角形的内角和定理可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得与是“等角三角形”，然后根据等角分割线的定义即可得证；（3）分①当是等腰三角形，时；②当是等腰三角形，时；③当是等腰三角形，时；④当是等腰三角形，时四种情况，利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质求解即可得．【详解】（1）解：，，，，，，与；与；与是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角形”即可）（2）证明：在中，，，∴，∵为角平分线，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵在中，，，∴，∴，∴与是“等角三角形”，∴为的等角分割线．（3）解：由题意，分以下四种情况：①当是等腰三角形，时，，∴；②当是等腰三角形，时，，，∴；③当是等腰三角形，时，，∴；④当是等腰三角形，时，，设，则，，由三角形的外角性质得：，即，解得，∴；综上，的度数为或或或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3），正确分四种情况讨论是解题关键．16．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．

(1)求的长度；(2)求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，根据三角形的面积求出，再求出结果即可；（2）求出，根据三角形的外角性质求，根据角平分线求出，再求出即可．【详解】（1）解：∵点F是边的