浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 含解析

2024学年第一学期台金七校联盟期中联考高一年级数学学科试题命题：三门中学审卷：新河中学考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.所以答案必修写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“至少有一个实数，使得”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据存在命题的否定得解.【详解】根据存在命题的否定可知，至少有一个实数，使得的否定是，，故选：D2.学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的含义求解即可.【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，故没有同学参加三项比赛，即.故选：D3.设，且，则下列运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数幂运算以及对数的定义逐项分析判断即可.【详解】对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：例如，则，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：D.4.如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果.【详解】根据函数与关于对称，可知①④正确，函数为单调递增函数，故③正确.所以②不是已知函数图象.故选：B5.对于集合，和全集，“”是“”的什么条件（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：韦恩图所示：由推出，反之由推出，所以“”是“”的充要条件，故选：A6.图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（）A.（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价.B.（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价.C.（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变.D.（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变.【答案】A【解析】【分析】当乘客量为0时，看成本变化，直线的倾斜程度看票价变化.【详解】解：（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变；（3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了.故选：A7.已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，（为自然对数的底数，），则在区间上的最小值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性构建方程组求的解析式，结合单调性求最值即可.【详解】由题意可得：，可得，因为在上单调递减，可得在上单调递减，所以在区间上的最小值为.故选：B.8.若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（）A.1 B.4 C.16 D.64【答案】B【解析】【分析】首先不等式变形为恒成立，再根据的取值范围，代入，即可求解的最大值.【详解】要使不等式恒成立，则恒成立，当取得最大值，时，取得最大值，即恒成立，因为函数和都是增函数，所以函数是增函数，当时，，所以的最大值为4.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形不等式为，再根据函数的单调性，分析条件中的数据，代入.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】对于AC：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断；对于D：利用作差法分析判断.【详解】对于选项A：例如，则，，即，故A错误；对于选项B：因为，，则，可得，所以，故B正确；对于选项C：例如，则，，即，故C错误；对于选项D：因为，且，则，可得，即，故D正确；故选：BD.10.波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（）A. B.，，C.的值域为 D.为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义，代入自变量的值计算函数值求解，注意根据题目所给条件对自变量的值进行分类讨论.【详解】通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值，且当为无理数时，：对于A选项，代入验证易知其正确；对于B选项，不妨设，根据的性质可得的最小值为，当时，，当时，，当时，若和中有无理数，则，若和均为有理数，不妨设，其中，，，均为正整数，则，，若与互质，则，若与有大于的公约数，则，综上可得，B选项正确；对于C选项，计算可知的函数值只能是有理数，C选项错误；对于D选项，的定义域为，，，对于任意的，当为无理数时，和均为无理数，，当为有理数时，可令,其中和是互质的正整数且，则，，综上可知对于任意的都有，是偶函数，D正确.故选：ABD11.若函数，当时，的最大值为，最小值为；则下列说法正确的是（）A.的值与无关 B.的值与无关C.函数，至少有一个零点 D.函数，至多有三个零点【答案】ACD【解析】【分析】对于AB：，作差求即可分析；对于CD：构建，分和两种情况，结合函数图象分析y=gx与的交点个数即可.【详解】对于选项AB：假设，，则，显然，可知的值与无关，与有关，故A正确，B错误；对于选项CD：令，可得，构建，则，可知为奇函数，若，在单调递增，其图象如图所示：可知y=gx与恒有1个交点，即恒有1个零点；若，在单调递减，在上单调递增，其图象如图所示：可知y=gx与可能有1、2或3个交点，即可能有1、2或3个零点；综上所述：函数，x∈R至少有一个零点，至多有三个零点，故CD正确；故选：ACD.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证.【详解】由，知是的子集，所以或或.由集合中元素的互异性，知，所以，故，.从而，而，故.经验证满足条件.故答案为：.13.已知，若，，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得，，利用基本不等式运算求解即可.【详解】因为，若，，可知，则，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14.若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、对勾函数的单调性求解.【详解】可看作由函数与函数复合而成，当时，因为为增函数，所以在上单调递增即可，由对勾函数的单调性，只需，解得，当时，因为为减函数，所以在上单调递减即可，由对勾函数的单调性，只需，解得，综上，的取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简集合，，根据集合的交、并、补的定义计算即可.（2）由题意可知，，分情况讨论即可.【小问1详解】由已知得，,，，；【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，若，即时，，符合题意；若，即时，，所以，所以；若，即时，，所以，所以综上，.16.设奇函数，（为自然对数的底数，）.（1）求的定义域和；（2），求函数的值域.【答案】（1），定义域为（2）【解析】【分析】（1）根据题意整理可得，进而可求定义域，根据奇函数的定义和性质分析求解；（2）由（1）可知，换元令，结合函数单调性求值域即可【小问1详解】因为，令，可得，可知的定义域为；因为是奇函数，则，解得，可得，则，即，可知是奇函数.综上所述：【小问2详解】由（1）可知，令，则，因为在上单调递减，当时，；当时，；可知，即且在定义域内为增函数，则，所以的值域为.17.设函数.（1）若，求证：在0,2内存在零点；（2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，得到，从而，，分和讨论求解；（2）根据题意得到，且，是方程的两根，从而，，再根据时，恒成立，转化为在上恒成立求解.【小问1详解】解：由，即，，，，当时，，由零点存在性定理知在0,2上存在零点；当时，则，是零点，此时存在零点；综上在0,2内存在零点.【小问2详解】依题意得，且，是方程的两根，由韦达定理得，，，所以，依题意，得在上恒成立，因为，，所以只需，令，，令，则，在上单调递增，所以时，，.18.函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，，且当时，gx>0.（1）求并证明函数为奇函数；（2）证明：函数在0,+∞上单调递增；（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1），证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数；（2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明；（3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可.【小问1详解】因为，令，则，得f1=0；令，则，得；证明：，令，依题意得，即f−x=−f所以是奇函数.【小问2详解】由得，即，，，，则，则可得，即，所以函数在0,+∞上单调递增.【小问3详解】因为，，且函数为奇函数，则，可知是偶函数，且，因为，可得，因为偶函数，且，可得，又因为函数在0,+∞上单调递增，可得，因为，则，可知，当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；综上所述：.可得，解得，且，所以的取值范围为.19.已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”.（1）函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；（2）若函数，求值；（3）若函数，求，的取值范围.（用表示）【答案】（1）为“级函数”，且；不为“级函数”，理由见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数和反比例函数的性质，结合“级函数”的定义求解；（2）由，分和求解；（3）由，分，则，，则求解.【小问1详解】①函数为偶函数，图象关于轴对称，且在上递增，在0,+∞上递减，所以为“级函数”，且；②在上递减，且此时；在0,+∞上递减，且此时；所以不为“级函数”.【小问