2024-2025学年高一【数学(人教A版)】对数的运算(2)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题对数的运算（2）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：经历换底公式的探究，证明过程，初步理解换底公式，并能利用公式实现其他底数的对数的运算；在换底公式的证明中，体会指数与对数的内在联系，提升转化与化归思想方法的认识与应用；利用换底公式完成对数计算中，感受对数运算的意义，提升数学运算的素养.教学重点：换底公式的认识和初步应用。教学难点：换底公式的推导教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟5分钟一.确复习回顾二．探索新知三．应用举例四、课堂总结问题1：请回忆对数的运算性质如果且，,那么（1）；（2）;（3）R).【教师讲解】数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。探究：（１）利用计算工具求，的近似值；（２）根据对数的定义，你能利用，的值求的值吗？【师生互动】需要将此式进行变形，请问变形的方向是什么呢？根据要求，我们要构造和，需要把2或3分离出来。设，则，我们就可以把3分离出来了于是，即，这样就出现已知中的ln3和ln2了。则.3．根据对数的定义，你能用和来表示(且且)吗？类比上述变形过程，由特殊到一般进行推导设，则，于是，即，则，且；；且对数的换底公式问题：你可以用自然语言描述吗？一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数。（真数在上去分子，底数在下去分母）。逆应用时，可以将同底的两个对数的商转化为一个对数值。思考：能利用，表示吗？可以利用换底公式.思考：也可以换为以任意大于零且不等于１的实数为底的对数。比如，可以换位以３为底的对数，看看能得到什么结果？应用1求值:：追问：猜想=？并证明你还能得到哪些结论？应用2：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们得到的关系，如果求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，该如何计算呢？解：在此问题中，其实就是计算的值。由换底公式，可得利用计算工具，可得由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍。类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年份应用2：尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？[教师讲解]思考：本题的研究求解对象是什么?如何将此对象与已知条件建立关系?答;这是关于地震的能量与里氏震级之间关系的问题。本题的求解对象是地震释放能量的倍数,即E的比值,条件中的E存在于常用对数的真数位置,若对此比值取常用对数,可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形式.解：法1：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别和.由,可得，于是利用计算工具可得，。法2：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别和.由,可得，，利用计算工具可得，。虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.想一想：为什么两次地震的里氏震级仅差1级,为何释放出来的能量却相差那么多呢？地震中能量是很大的数值，进行对数运算后其数值就变得非常小。这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；，反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2.，所以在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢,地震的里氏震级虽然相差很小，但是地震释放的能量波差别巨大，进一步感受对数运算的意义。这段话简化一下，概括一下，要简明易懂这段话简化一