浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题 含解析

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则a等于（）A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根据集合间的基本关系求参.【详解】因为，且，则,所以.故选：D.2.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据复数关于实轴对称得出,再应用复数的除法及乘法计算化简即可.【详解】复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故.所以.故选：A.3.若命题“，成立”是真命题，则实数a取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用判别式法求解.【详解】解：因为，成立，所以，解得，故选：B4.在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，，,所以有，所以，得.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高.【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则，解得，则该圆锥的高为.故选：A.6.函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】首先解方程，结合图象，求得方程的实数根，即可求解的值.【详解】令，则，，，则，且，所以.故选：C7.已知函数，若，，，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得为偶函数，则，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得，，，又当时，由f′x>0，可得为单调递增函数，即可得到答案.【详解】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数，因为，则，又，，，，，则，所以，当时，因为，所以为单调递增函数，所以.故选：B.8.已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值.【详解】依题意在区间上有零点，整理得在上有解，表示坐标系中，直线（看成参数）上的点，所以表示原点到直线上的点的距离的平方，设，由于，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：D【点睛】关键点点睛：主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X服从二项分布，且，则C.X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大D.若随机变量X服从正态分布，且，则【答案】BD【解析】【分析】根据极差和众数的概念即可判断A；根据二项分布的性质即可判断B；根据独立性检验的思想即可判断C；根据正态曲线的性质即可判断D.【详解】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误；B：由，得，解得，所以，故B正确；C：值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误；D：由，得，所以，故D正确.故选：BD10.已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列 B.为等比数列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由题设得是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D.【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列，所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对；由，则，所以，所以，D对.故选：BCD11.已知曲线C方程为：，，，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（）A.B.的最小值是2C.周长的最大值是D若，将沿翻折，使面面，则折后【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用正弦定理，结合椭圆概念，即可判断；对于B，由，利用三角恒等变换可得，再由基本不等式可得的最小值；对于C，由周长，对于，利用基本不等式即可得到周长的最大值；对于D，由直曲联立可得，又，则折后，即可判断D.【详解】由已知，在中，已知，，由正弦定理得，又，即，所以，故A正确；由，得：，在中，，则，所以，故，当且仅当，时取到最小值是2，故B正确；周长，设Bx,y，，又，，则，当且仅当，即时，等号成立，故周长的最大值是，故C正确；设AB的方程是：与联立得：，解得：（舍去）或，则点为椭圆上顶点，，又在圆上，所以，又沿翻折后，平面平面，平面平面，，则平面，又平面，则，所以，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：B选项中利用三角恒等变换弦化切，再利用基本不等式求最值；C选项先利用椭圆定义和两点间距离公式，再利用基本不等式求最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】由得，即，焦点在轴上，所以渐近线方程为.故答案为：13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可.【详解】由题意可知：，解得，则的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中项的系数为.故答案为：.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得，从而.所以，由正弦定理得，故.从而，得，故.所以.【小问2详解】设的面积为，则.16.已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值.（2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间.【小问1详解】函数，求导得，由曲线在点处的切线垂直于直线，得，所以.小问2详解】函数的定义域为，，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，方程中，，若，则，，函数在上单调递增；若，则，关于x的方程有两个正根，，，当或时，；当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.17.如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.（1）证明：平面；（2）若为钝角，且二面角的大小为，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面PAC，利用线面垂直的性质可得、，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得平面PAC，得，设，，则，根据建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAC，又平面PAC，，同理可证，又，平面ABC，平面ABC；【小问2详解】法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ，平面ABC，平面ABC，，又，平面PAC，平面PAC，则为二面角的平面角，即设，，则，，所以，又，所以，所以，由得，整理得，又，解得或（舍去），综上.法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，易知平面PAC的法向量为，设面PAB的法向量为，则，，则，整理得，由，得，解得或（舍），综上，.18.在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.【小问1详解】由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得.由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，F1,0为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距为，，所以点T的轨迹W的方程为【小问2详解】由（1）知A−2,0，F1,0，设直线，Px1联立消去x，整理得，则，根据题意可设，，则由，可得，同理可得，所以直线FM与直线FN的斜率之积，.所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值.19.一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为.（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当，记的取值为X，求X的分布列；（3）求为实数的概率.【答案】（1）1，i，，，，（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意，直接得到结果；（2）根据题意，由条件可得X的取值为1，，2，3，，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列；（3）根据题意，由条件可得或，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在次操作中，分别设得到i，的次数为，的次数为，的次数为，即可得到，然后得到与之间的关系，即可得到结果.【小问1详解】一次操作后可能的复数为：1，i，，，，，【小问2详解】一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2由，故X的取值为1，，2，3，，4，，.，，，所以X的分布列为X1234P【小问3详解