2024-2025学年高一【数学(人教A版)】指数函数的概念-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题指数函数的概念教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.通过具体的实例，从实际问题中抽象概括出指数函数的概念；2.通过实例感受指数模型的特点，体会数学应用的价值；3.通过数形结合的方法，在指数函数概念的学习中发展数学抽象的素养.教学重点：从实际问题中抽象出指数函数.教学难点：数形结合地发现实际问题变化规律的本质.教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟3分钟2分钟10分钟创设问题情景1，引导学生归纳概括指数增长模型创设问题情景2，引导学生归纳概括指数衰减模型分析两个实例的共同点，归纳总结指数函数模型例题分析巩固概念教师活动问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.提问：根据表中的数据，比较两个景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？观察表格，发现A地景区的游客人次年增加量近似于为常数，而B地景区的游客人次年增加量越来越大.为了有利于观察变化规律，我们画出散点图如下：学生活动观察图象，进一步验证A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增长量大致相等（约为10万次）；而B地景区的游客人次则是非线性增长的，年增加量越来越大，但不能准确说出增长了多少，规律不明显.追问：为了进一步研究B地景区的游客人次增长规律，我们可以通过运算得出其它刻画游客人次增长的数据，在日常生活中我们常用增长率来刻画数据的增长情况，你能尝试吗？结果表明，B地景区游客人次增长率约为1.11-1=0.11，是一个常数.像这样增长率为常数的变化方式，我们称之为指数增长.新问：你能否用函数解析式刻画B地景区游客人次随时间指数增长的变化规律.这是一个函数，其中x是自变量.教师活动问题2当生物死后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？实际上科学研究表明，宇宙射线在大气中能产生包括碳14在内的放射性物质.碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”，动植物在生长过程中衰减的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物体内的碳14含量不变.死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年，这也是考古中常用碳14来推断年代的原因。像这样衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减.提问：死亡生物体内碳14含量的年衰减率为多少？能否用函数解析式刻画死亡生物体内碳14含量随时间的变化情况？学生活动设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果刚死亡时碳14含量为1个单位，那么所以设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，则这是一个函数，其中x是自变量.师生活动问题3比较上述两个实例，B地景区游客人次增长与碳14衰减，它们所反映的变化规律有什么共同特征？从数据看，它们的变化率（增长率、衰减率）是常数，从解析式看，如果用a代替底数，则它们都是y=ax的形式，这就是我们今天要学习的一类新函数，指数函数.一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R.注意与幂函数的区别：指数函数的自变量x在指数位置，而幂函数的自变量x在底数位置.在指数函数中，当x∈N时，y=ax（a>1）还可以表示为y=（1+p）x，其中p（p>0）表示增长率；y=ax（0<a<1）还可以表示为y=（1-p）x，其中p（p>0）表示衰减率.因此指数函数是刻画呈指数增长或指数衰减变化规律的函数模型.例1已知函数f(x)=ax（a>0且a≠1），且f(3)=π，求f(0),f(1),f(-3)的值.师生活动：由f(3)=π可知a3=π，解得a=π13，于是f(x)=所以f(0)=1,f(1)=π13,f(-3)=练习1下列图象中有可能表示指数函数的图象是（）师生活动：指数函数应该是非线性的，而且函数值不可能取到负数，A，B，D显然不符合题意，而C的图象符合指数增长的特点，因此选C.练习2已知函数y=f(x),x∈R，且求函数y=f(x)的一个解析式.师生活动：从条件我们可以看到，自变量每增加0.5函数值都会是原来的两倍，这就体现出函数f(x)具有指数增长的特点，因此可以此构造符合条件的函数，因为f(0.5)所以f(1)说明函数f(x)以4为增长比例呈指数增长，又因为f(0)=3,说明初始量为3，所以f(x)=3×4例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.（2）在问题（2）中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？师生活动：（1）设x年后A，B两地的旅游收入分别为f(x)和g(x)，则利用计算工具可得每一年的收入差，比如f(0)-g(0)=412000，通过计算我们发现A与B的旅游收入差原来越小，大约在x=10.22处A与B的旅游收入相等.结合图象我们可得出结论：x<10.22时，f(x)>g(x),x>10.22时，f(x)<g(x).(2)设生物死时体内碳14含量为1个单位，x年后含量为h(x),则所以x=10000时，利用计算工具可