2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)-教学设计

教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数y=Asin(ωx+φ)的图象（1）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界密切联系；2.掌握参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，通过信息技术建立并控制参数φ的变化，理解参数φ在圆周运动中的实际意义，感受数学的应用价值；3.感受发现问题提出问题的过程，发展数学建模、数学抽象与直观想象的数学素养．教学重点：用函数y=Asin(ωx+φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响．教学难点：数学建模的过程与方法；参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响的研究过程．教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟创设问题情境提出研究问题引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画．对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面看一个实际问题：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原理．问题1：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型刻画它的运动规律．设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题．4分钟抽象简化问题建立函数模型问题2：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间ts后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置以及所经过的时间t．以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设时，盛水筒M位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过时间t后运动到点．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为，并且有．=1\*GB3①所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是．=2\*GB3②通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，实际生活中的很多现象，例如：摩天轮，物理中的单摆等都可以用三角函数刻画，现代依然有研究的价值．设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周运动，引出本单元的核心内容；明确参数的实际意义，突出学习函数y=Asin(ωx+φ)的必要性；让学生经历数学建模全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学的语言描述世界．2分钟明确函数y=Asin(ωx+φ)的研究思路引导语：通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质，就可以把握盛水筒的运动规律．这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．问题3：从解析式看，函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx+φ)在时的特殊情形．能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响呢？函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数，你认为应该按怎样的思路进行研究？师生分析：对于三个不同的参数，相对固定其中两个，仅一个变动；先分别探讨φ、ω、A对函数图象的影响，再综合．设计意图:引导学生思考研究问题的一般思路和方法，有助于主动地学习，学会学习．13分钟探索参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响问题4：不妨先从研究参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响开始，即探究函数y=sinx与y=sin(x+φ)图象之间的关系．为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，借助信息技术进行实验探究．如图，取，动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动．（1）如果动点以为起点（此时），经过xs后运动到点P，设点P的纵坐标y，以（x，y）为坐标描点F，作出点F的轨迹.．追问：P的纵坐标y等于什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？师生分析：y=sinx，点F的轨迹对应的函数解析式是正弦函数y=sinx.（2）在单位圆上拖动起点，使点绕圆心旋转到，即：起点位于，，你发现图象有什么变化？此时，点P的纵坐标是什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？师生分析：此时以Ox为始边，OP为终边的角为，因此P的纵坐标，点F的轨迹对应的函数解析式是函数．（3）时的函数与时的函数y=sinx的图象之间具有怎样的关系？你能结合点P的运动规律解释图象间的关系吗？在单位圆上的，设两个动点分别以，为起点同时开始运动．到点P的时间图象上点函数到Pxy=sinx到P这说明，把正弦曲线y=sinx上的所有点向左平移个单位，就得到的图象．（4）如果φ的值取，说一说你的发现，并给出合理的解释．（5）旋转一个任意角φ呢？通过实验结果，你能归纳出φ对函y=Asin(ωx+φ)的图象的影响的一般化结论吗？一般地，当动点M的起点位置所对应的角是φ时，对应的函数是y=sin(x+φ)，把正弦曲线上的所有点向左或向右平移个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象．练习：1.为了得到函数的图象，只需要将正弦曲线上的所有点（）．（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度2.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式是（）．（A）（B）（C）（D）设计意图:借助信息技术，探究参数出φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.老师通过追问引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，从形和数两个方面解释φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响，提升直观想象和逻辑推理能力．2分钟课堂小结回顾本节课学习内容，回答以下问题:本节课我们研究了什么问题？研究的路径是怎样的？研究了对于一个一般的匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题.实际问题转化数学问题构建函数y=Asin(ωx+φ).如何理解函数y=Asin(ωx+φ)中参数φ的物理意义以及它对函数y=Asin(ωx+φ)的影响？φ指动点M的起点位置所对应的角，此时对应的函数是y=sin(x+φ)（φ≠0），把