备战2025年高考二轮复习数学中低档大题规范练6

规范练6(分值:43分)学生用书P2351.(13分)(2024·江苏连云港模拟)已知函数f(x)=ex-12x2(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)证明:∀x∈[0,+∞),f(x)>sinx.(1)解由f(x)=ex-12x2-x,可得f'(x)=ex-x-1,f'(1)=e1-1-1=e-2又f(1)=e1-12×12-1=e-所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y-e+32=(e-2)(x-1),即(e-2)x-y+12=(2)证明由f(x)=ex-12x2-x,可得f'(x)=ex-x-令h(x)=ex-x-1,可得h'(x)=ex-1.当x∈[0,+∞)时,h'(x)=ex-1≥0,所以h(x)=ex-x-1在区间[0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=e0-0-1=0,即f'(x)=ex-x-1≥0,所以f(x)=ex-12x2-x在区间[0,+∞)上单调递增所以f(x)≥f(0)=e0-12×02-0=当x=0时,f(0)=1>sin0=0,当x>0时,f(x)>1≥sinx.综上所述,∀x∈[0,+∞),f(x)>sinx.2.(15分)(2024·山东泰安二模)已知函数f(x)=12sin2x-π3,△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且fA2=34(1)求A;(2)若sinC(1+cosB)=sinB(2-cosC),求cb的值解(1)∵fA2=34,∴12sinA-π3=3∴sinA-π3=32∵0<A<π,∴-π3<A-π∴A-π3=π3(2)sinC(1+cosB)=sinB(2-cosC),(方法一)sinC+sinCcosB+sinBcosC=2sinB,∴sinC+sin(B+C)=2sinB,∴sinC+sinA=2sinB,根据正弦定理得c+a=2b.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc,①将a=2b-c代入①式,得3b2-5bc=0,∴3b=5c,∴(方法二)c(1+a2+c2-b22∴c+a2+c2-∴c+a=2b.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc,①将a=2b-c代入①式,得3b2-5bc=0,∴3b=5c,∴3.(15分)(2024·山东泰安模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图图1图2(1)证明:平面BCDE⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.(1)证明在图1中连接CE,因为AD∥BC,AB=BC=12AD,E是AD的中点,∠BAD=π所以四边形ABCE为正方形,四边形BCDE为平行四边形,所以BE⊥AC,CD∥BE.图1图2即在图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,OA1∩OC=O,OA1,OC⊂平面A1OC,所以BE⊥平面A1OC.又因为BE⊂平面BCDE,所以平面BCDE⊥平面A1OC.(2)解因为平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊥BE,A1O⊂平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE.又因为OC⊂平面BCDE,所以A1O⊥OC.又由(1)知BE⊥OC,BE⊥OA1,所以直线BE,OC,OA1两两垂直.如图,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设A1B=1,所以A1B=A1E=BC=ED=1.因为BC∥ED,所以B22,0,0,E-22,0,0,A10,0,22,C0,22,0.得BC=-22,22,0,A1C=0,22,-22,CD=BE设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=