2025版一轮高考总复习数学第七章　立体几何与空间向量第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.1.四个基本事实（1）基本事实1：过不在一条直线上的，有且只有一个平面；（2）基本事实2：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线.提醒三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.2.空间点、直线、平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与直线平行a∥b个相交1个异面a，b是异面直线个直线与平面相交1个平行a∥α0个在平面内个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l个3.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角.4.异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）；（2）范围：.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.（）（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（）（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（）（4）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.（）2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（）A.共面 B.平行C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线3.（多选）下列叙述正确的是（）A.若P∈（α∩β），且α∩β＝l，则P∈l B.若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C.三点A，B，C确定一个平面 D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α4.已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是.1.基本事实1的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.1.（多选）下列命题中正确的有（）A.一条直线和一个点可以确定一个平面B.经过两条相交直线，有且只有一个平面C.经过两条平行直线，有且只有一个平面D.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点一定在两个平面的交线上2.（多选）下列命题中正确的有（）A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行C.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行 D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直平面基本事实的应用【例1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点；（3）B，M，D1三点共线.解题技法共面、共线、共点问题的证明方法1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（）A.直线AC B.直线ABC.直线CD D.直线BC2.在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则（）A.点P一定在直线BD上 B.点P一定在直线AC上C.EH∥FG D.EH与FG必相交空间两直线的位置关系【例2】（必修第二册第131页练习2题改编）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系：①直线A1B与D1C的位置关系是；②直线A1B与B1C的位置关系是；③直线D1D与D1C的位置关系是.听课记录（变设问）在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中异面直线有（）A.12对 B.18对C.24对 D.48对解题技法空间两直线位置关系的判定方法1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交2.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（）A.AE＝CF，AC与EF是共面直线 B.AE≠CF，AC与EF是共面直线C.AE＝CF，AC与EF是异面直线 D.AE≠CF，AC与EF是异面直线异面直线所成的角【例3】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A.15 B.5C.55 D.听课记录（变条件，变设问）若将本例中条件“AA1＝3”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”，则AA1＝解题技法用平移法求异面直线所成角的步骤提醒在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.1.如图，在三棱锥D-ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF与AC所成的角为（）A.30° B.45°C.60° D.90°2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝2，则异面直线A1C与AD所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°空间几何体的截面问题在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.一、直接法【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P三点的截面.点评若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.二、平行线法【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P三点的截面，若AB＝2，试求所画截面的面积.点评若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.三、延长线法【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，若AB＝2，画出过E，F，Q的截面，并求所得截面图形的周长.点评若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13