《工程力学》课件第2章

第2章平面力系的简化和平衡

2.1工程中的平面力系2.2平面汇交力系的简化与平衡2.3平面力偶系的简化与平衡2.4平面任意力系的简化与平衡2.5简单平面桁架的内力计算2.6考虑摩擦时物体的平衡问题2.1工程中的平面力系在工程问题中，若力系中各力的作用线位于同一平面内，即称该力系为平面力系。如果平面力系中各力的作用线汇交于同一点，称其为平面汇交力系；如果力系中各力的作用线平行，称其为平面平行力系；如果平面力系是由若干对等值、反向、但不共线的两个力所构成的，则该力系称为平面力偶系。这三种力系一般统称为平面特殊力系，或平面简单力系。而不具有这些特殊性的平面力系称之为平面任意力系。平面力系是工程中最常见的一种力系，很多实际的力学问题都可以简化为平面力系。

(1)许多工程结构和机构，其厚度远小于长度和宽度，其构件轴线都位于垂直厚度方向的同一平面内，所以称之为平面结构和平面机构。作用于平面结构和平面机构上各力的作用线，一般都在这一平面内而构成平面力系。例如图2.1所示的屋架是一个平面桁架，作用在桁架上的力有载荷Q，风压力P和支座约束反力XA、YA和NB，这些力的作用线都位于桁架平面内，构成一个平面力系。图2.1

(2)有些结构本身虽然不是平面结构，所受的力系也不是平面力系，但其结构和力系却具有同一个对称平面，那么该力系就可以对称地平移到其对称面内，简化为该对称面内的平面力系。例如图2.2所示的沿直线行驶的汽车，在其载荷均匀分布的情况下，汽车受重力W，空气阻力T，地面对两前轮子反力的合力RA和对后两轮子反力的合力RB，它们都可以简化到汽车的纵向对称平面内，构成一个平面力系。图2.22.2平面汇交力系的简化与平衡平面汇交力系属于比较简单的力系，其主要特点是力系中各力作用线汇交于同一点。这种力系的工程实例很多，如图2.3所示的绳索，图2.4所示的桁架接头等，其所受的力系都是平面汇交力系。图2.3图2.4

1．平面汇交力系的简化合成

(1)几何法：力的多边形法则。设刚体受一个汇交力系作用，汇交点为O，如图2.5(a)所示。根据力合成的平行四边形法则，如图2.5(b)所示，可将这些力依次合成，最后可求出此力系的合力R。图2.5为了更简便起见，根据平行四边形对边平行且相等的几何特性，可只画平行四边形的一半，这样平行四边形法则便演变为三角形法则。再省去前面三角形的封闭边后，三角形法则又演变成力合成的多边形法则。其示意图如图2.5(c)所示。力的多边形法则可以简单地概括为：平移力系中各力的作用线，让各力线首尾相接，最后从第一个力线的始端向最后一个力线终端画一条有向线段，该有向线段便表示了力系的合力矢量R。几何法给出的结论是：平面汇交力系合成的结果为一合力，合力作用线通过各分力的汇交点，合力的大小和方向等于力系各分力的矢量和。这一关系可以用矢量式表示为(2.1)

(2)解析法：合力投影定理。几何法是直接利用力矢量的几何性质来确定合力和各分力之间的关系的。其优势是直观简明；而其不足之处是合成精度不便控制。所以，工程计算中更常用的是解析法合成。所谓解析法，就是用力矢量在选定坐标轴上的投影，来表示合力与各分力之间关系的方法，所以也称为投影法或合力投影定理。下面我们仍以图2.5(a)给出的力系为例，介绍解析法的合成过程。以图2.5(a)所示力系的汇交点O为坐标原点建立参考直角坐标系，将各分力和合力R分别向坐标轴投影，然后求这些投影之间的关系，其示意图如图2.5(d)所示。由图2.5(d)可知：同理可得：即（2.2）式(2.2)称为合力投影定理，可表述为力系合力在某轴上的投影等于力系各分力在该轴上投影的代数和。根据合力在直角坐标轴上的投影可求出合力R

的大小和方向余弦为其中：α、β分别为合力R

与x

轴、y

轴的夹角。（2.3）

2.平面汇交力系的平衡条件由汇交力系的简化结果可知，汇交力系对刚体的作用与它们的合力R

的作用是等效的。那么，根据静力学公理中的二力平衡原理可知，只有该合力R

的两个分力等值、反向、共线、合力为零时，力系才能够平衡。因此，平面汇交力系平衡的必要与充分条件为：力系合力R

等于零，即该式可称为力系平衡条件的矢量形式。（2.4）除该矢量形式外，平衡条件还有几何形式和解析式两种形式。

(1)几何形式。按力多边形法则，合力等于零表明力多边形中第一个力矢量的起点与最后一个力矢量的终点是重合的。所以，汇交力系平衡的必要且充分条件是力多边形自行封闭。

(2)解析式。根据解析法合成的结果，合力，显然要使R等于零，则Rx、Ry必须分别等于零。所以，汇交力系平衡条件的必要且充分条件的解析形式为(2.5)式(2.5)即为平面汇交力系的平衡方程，是力系平衡的必要且充分条件。根据其充分性，当力系各力已知时，可用它判断受力刚体是否平衡；根据其必要性，当刚体处于平衡状态、但其所受的力系中有未知力时，可用它来求解未知力。其主要的工程应用是后者。

【例2.1】如图2.6所示半圆形三角拱ABC，半径为a，拱自重不计，在右拱BC的a/2处，作用一个铅直向下的力P。试求A、B、C三铰的约束反力。图2.6

解先取左半边的拱AC为研究对象(包括销钉C)。左半边的拱AC在C处的销钉受到右半边的拱BC的作用力RC；在A处受到固定铰支座的约束反力RA的作用。由于左半边的拱AC只受两力作用而平衡，为二力构件，故此二力(RC和RA)的作用线必沿A、C两点连线，且等值、反向，假设其指向如图2.6(b)所示。再取右半边的拱BC(不包括销钉C)为研究对象。作用在右半边的拱BC上的力有：主动力P；铰支座B的约束反力RB；销钉C对右半边的拱BC的约束反力，与RC互为作用力与反作用力的关系，即的作用线也沿A、C两点连线。铰支座B的约束力RB的方向不能确定，但因右半边的拱BC只受三力作用而平衡，由三力平衡定理可知此三力的作用线必交于一点，而其中力P

与力的作用线交于O点，故力RB的作用线必沿B、O两点连线，如图2.6(c)所示。作图时，按力比例尺画出闭合的力三角形abc，如图2.6(d)所示。RB与的指向应按各分力矢必须首尾相接的规则来确定，其大小用同一力比例尺从图2.6(d)上量得：

RB=0.781P

=0.354PRB与的大小也可由力三角形abc通过计算而得到，由图2.6(d)应用正弦定理得：(a)从图2.6(c)中△ODB可得从图2.6(c)中△OCB可得将这些值代入(a)式解得：则固定铰支座A约束反力的大小为RA=RC=

=0.354P指向如图2.6(b)所示。

【例2.2】简易起重机如图2.7所示，起吊钢丝绳绕过定滑轮B，通过绞车把重物吊起。物重Q=3000N，A、B、C三处均为铰接连接，不计各杆的自重和滑轮B的尺寸。求AB和BC两杆所受的力，并指明为拉力还是压力。图2.7

解

(1)选取研究对象。取定滑轮B连同销钉一起为研究对象。

(2)画受力图。定滑轮受到钢丝绳的拉力T1和T2，而T1=T2=Q=3000N；因AB、BC两杆都是二力杆，则作用在销钉B上的力分别沿杆的轴线，以和表示，指向可假设。其受力图如图2.7(b)所示。

(3)选取坐标轴，列出平衡方程求解。选坐标轴Bxy，如图2.7(b)所示，坐标轴应尽量与未知力垂直，这样可以避免解联立方程。列平面汇交力系平衡方程，即(a)(b)由式(b)解得将代入式（a）解得=

cos40°－T2cos30°=7000×0.7666－3000×0.866＝2760N与均为正值，表明假设的指向与实际指向是一致的。

(4)画杆CB、AB的受力图。根据作用力与反作用力的关系，杆CB与AB的受力图如图2.7(c)、(d)所示。CB杆受拉力，拉力的大小为TB=

=2760N；AB杆受压力，压力的大小为NB=

=7000N。

【例2.3】两根直径均为D的圆钢，每根重P=2kN，搁置在槽内，如图2.8(a)所示。忽略圆钢与槽之间的摩擦，求A、B、C三处的约束力。图2.8解根据题意，首先选取研究对象。若以二圆钢组成的系统为研究对象，则受力图如图2.8(b)所示，此力系不是平面汇交力系，而是平面一般力系，这将在下一章讨论。若首先以圆钢Ⅰ为研究对象，受力图如图2.8(c)所示，此力系为平面汇交力系，但有三个未知力，而平面汇交力系只能提供两个独立的平衡方程，无法求解全部未知力。以圆钢Ⅱ为研究对象，其受力图如图2.8(d)所示，重力P为主动力，NC为槽壁上的约束力，ND为圆钢Ⅰ给圆钢Ⅱ的约束力。因为是光滑约束面，故根据约束性质，NC和ND分别通过圆钢与槽壁及圆钢之间的切点指向圆心。可见圆钢Ⅱ受力为平面汇交力系，只有两个未知数，故可用平衡方程求得。在三力作用线的交点O2处，建立直角坐标系O2XY，如图2.8(e)所示，平衡方程为：由此解得:ND=

P=2.83kNNC=NDcos45°=P=2kN再以圆钢Ⅰ为研究对象，如图2.8(c)所示，与ND互为作用力和反作用力，NA和NB为槽壁给圆钢Ⅰ的约束力，P为主动力。这仍为平面汇交力系的平衡问题，建立直角坐标系O1XY，如图2.8(f)所示，平衡方程为：解得:NA=P=2kNNB=2P=4kN通过以上例题的分析，我们把用解析法求解平面汇交力系平衡问题的基本步骤归纳如下：

(1)根据题意恰当地选取研究对象。

(2)分析研究对象的受力情况，正确地画出受力图。

(3)选择投影坐标轴，列出平面汇交力系的平衡方程，求解未知力。要使两个投影方程都能独立求解，两投影轴必须分别与两个未知力正交。所解出的未知力的正、负号，是相对于受力图而言的，正的表示其实际方向与受力图中所画的方向是一致的；负的表示其实际方向与受力图中所画的方向相反。2.3平面力偶系的简化与平衡

1.力偶与力偶的基本性质定义两个大小都等于F、方向相反、作用线间距d

不为零的力所构成的特殊力系为力偶，用符号(F、F′)表示，如图2.9所示。其中d

称为该力偶的力偶臂；F和F′所在的平面称为力偶的作用面。力偶具有如下基本性质：

(1)力偶只有转动效应、无移动效应。所以力偶不可能与一个力等效或者平衡。图2.9因为力的移动效应只与力的大小、方向有关，与力的作用线无关，而力偶(F、F′)中的两个力大小相等、方向相反，它们的移动效应恰好相互抵消。所以，力偶只有转动效应，不可能与存在移动效应的一个力等效或者平衡。

(2)力偶对任一点的矩都相等。力偶对任一点的矩都等于力F

与力偶臂d

的乘积，定义其为力偶矩，并用m表示。如图2.10所示，力(F、F′)为任一力偶，O为任一点。根据力对点的矩的定义式有：即M=F·d可知，构成力偶的两个力对任意点O

的矩之和，与O

点的位置无关，都等于力F与力偶臂d的乘积。力偶矩矢量的方向用右手螺旋规则来判断，即右手四指沿其中一个力，手心向着另外一个力，拇指所指的方向就是力偶矩矢量的方向。可知，力偶矩矢量垂直于其两个力所确定的平面，即垂直于力偶的作用面。平面力偶则可视为标量，其正负号仍然定义为：逆时针为正，顺时针为负。图2.10

(3)两力偶等效的唯一条件，是它们的力偶矩相等。因为力偶只有转动效应，而力偶矩完全描述了其转动效应，所以力偶矩相等，就是其转动效应相等，就是相互等效。因此，在保持力偶矩不变的前提下，可以任意改变构成力偶的两个力及力臂。所以在画受力图时，只用一个弯箭头表示清楚力偶矩的大小和方向即可。

(4)力偶矩为自由矢量，只有大小和方向两个要素。因此，作用在刚体上的力偶矩矢量之矢量线，可以随意平移和滑动，都不会改变力偶对刚体的效应。

2.力偶系的简化与平衡

1)平面力偶系的简化合成设图2.11所示的正方体上、下平行的两个面上作用着若干个力偶，由于它们的作用面是平行的，根据力偶矩的性质(4)，它们构成的就是一个平面力偶系，其合力偶矩

M

就等于力偶系中各力偶矩的代数和，即(2.6)图2.11

2)平面力偶系的平衡条件由于平面力偶系合成的结果是一个合力偶，它相当于两个等值、反向的力构成的力系。根据静力学公理中的二力平衡原理可知，要使该力系平衡，其两个力必须共线，即其力偶臂必须等于零、力偶矩必须等于零。可见，要使平面力偶系平衡，只需合力偶矩等于零即可。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩等于零，或者说力偶系中各力偶的力偶矩代数和等于零，即M＝0或

【例2.4】结构横梁AB长l，A端通过铰链由AD杆支撑，B端为铰支座，组成平面结构。在结构平面内，梁只受到一个力偶作用，其力偶矩为m，如图2.12(a)所示。不计梁和支杆的自重，求A和B的约束力。图2.12

解以梁AB为研究对象，分析其受力。梁所受到的主动力为力偶m，在A和B端各受到一个约束力作用。注意到AD是二力杆，因此A端的约束力必沿AD杆轴线方向。B端为铰链，根据约束的性质可知，约束力通过铰链的中心，方向不能确定。但考虑梁的平衡条件后，根据力偶只能与力偶平衡的性质，可以判断A

与B端的约束力必然构成一个力偶，因此B端的约束力方向必与A端的约束力作用线平行、指向相反、大小相等。于是，梁AB的约束力如图2.12(b)所示。根据平面力偶系的平衡条件，RA与RB构成一个转向与主动力偶m

相反的力偶，由此可以定出约束力RA和RB的指向。其大小由下式确定：

【例2.5】机构如图2.13(a)所示，在图示位置平衡。已知OA=400mm，O1B=600mm，力偶矩m1=100N·m。求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力(设各杆的自重不计)。图2.13

解此题属于杆系问题。由于OA

杆有已知的主动力偶作用，故先取OA杆包括销钉A为研究对象(即先从有已知力作用的物体开始)；然后取AB杆为研究对象(不包括销钉A和B)(当做题熟练后，这一步可以省略)；最后取O1B杆包括销钉B为研究对象。按此思路求解如下：

(1)取OA杆包括销钉A为研究对象，画受力图。OA杆上受主动力偶作用，其力偶矩为m1，因为AB杆是二力杆，故AB杆作用于销钉A上的力沿AB两点连线，以SA表示，指向假设如图2.13(b)所示。又因OA杆只受力偶作用，根据力偶只能由力偶来平衡可知，铰支座O的反力RO与SA必组成一个力偶。于是OA杆包括销钉A的受力图如图2.13(b)所示。

(2)列平衡方程并求解。由所得结果为正值，说明原假设指向与实际指向是一致的。

(3)再取AB杆(不包括销钉A、B)为研究对象，并画出受力图。因AB杆是二力杆，其受力图如图2.13(c)所示。根据作用力与反作用力的关系，与SA大小相等、方向相反；又由二力平衡公理知，与必大小相等、方向相反，并沿同一直线。于是得＝＝SA=500NAB杆受拉力，拉力大小为500N。

(4)取O1B杆为研究对象(包括销钉B)，并画其受力图。O1B杆上作用有特殊的力偶矩m2，AB杆上作用于O1B杆销钉B上的力SB与大小相等、方向相反，这是作用力与反作用力的关系。根据力偶只能用力偶来平衡可知，铰支座O1的约束反力

与SB必组成一个力偶矩，即=－SB，其受力图如图2.13(d)所示。

(5)列平衡方程并求解。根据∑m=0，m2－SB×

=0解得m2=SB×因已知SB=＝＝SA=500N于是m2=500×0.6=300N·m故结构平衡时，力偶矩m2=300N·m。关于平面力偶系的解题步骤，基本上与平面汇交力系的解题步骤相同，即：选取研究对象，画受力图，列平衡方程并求解。需要注意的是，平面力偶系只有一个平衡方程。

【例2.6】电动机轴通过连轴器与传动轴相连接，连轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，如图2.14所示，圆的直径AC=BD=150mm，电动机轴传给连轴器的力偶矩m=2.5kN·m。试求每个螺栓所受的力为多大。图2.14

解以连轴器为研究对象。作用在连轴器上的力有电动机传给连轴器上的力偶、每个螺栓的反力，其方向如图所示。假设四个螺栓受力均匀，即P1=P2=P3=P4=P，则组成两个力偶并与电动机传给连轴器的力偶平衡。根据平面力偶系的平衡条件，有而故2.4平面任意力系的简化与平衡

1.力的平移定理平面汇交力系的简化合成比较简单，只需要用力的平行四边形法则合成，就可得到其合力。所以，如果能将平面力系中各力的作用线位置平移，让其汇交于一点，就将其变成了简单的汇交力系。力的作用线移动虽然不改变力的移动效应，但却改变了力的转动效应。所以，在平移力作用线位置的同时，必须用一个适当的力偶矩抵消移动带来的转动效应之改变量。这一关系由力的平移定理来描述。力的平移定理：作用在刚体上A点的力F，可以平移到刚体上任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。证明：如图2.15所示，设在刚体上的A点作用着一个力F，在此刚体上任取一点B，并在B点加上两个等值、反向的力F′和F″，它们的作用线与F平行，大小与力F相等。根据加减平行力系公理可知，这三个力F

、F′和F″组成的力系与原来的一个力F构成的力系是等效的。而这三个力所构成的力系又可视为作用在点B的一个力F′和一个力偶(F

，F″)构成的力系。这相当于把原来作用于A点的力F平移到另一点B，同时给其附加一个力偶(F

，F″)。而这个附加力偶的矩m，显然等于原来的力F对新作用点B的矩，即M=mO(F)(2.8)图2.15

2.平面力系的简化合成

1)平面力系向一点简化如图2.16所示，在平面力系的作用面内先确定一个O

点作为简化中心；然后平移力系中各力作用线，令其过简化中心O，同时附加上每个力Fi平移时的附加力偶mi。这样平面力系就被变换为一个汇交于简化中心O

的汇交力系和一个力偶系。图2.16合成由构成的汇交力系，可得

R′可称为力系的合力，因为它们是等效的。但R′显然与Fi表示的原力系并不等效，所以R′称为原力系的主矢量。力系的主矢量R′等于力系各力的矢量和，其大小、方向与简化中心无关，但作用线过简化中心O，即(2.9)合成由mi构成的力偶系，可得

MO是力偶系mi

的合力偶，称为原力系的主矩。由mi=mO(Fi)知，力系的主矩等于原力系各力对简化中心O

的力矩的代数和，显然其大小和转向都与简化中心O

的位置有关，即

2)平面力系的合成如图2.17所示，平面力系的简化结果是主矢量R′和主矩MO。(2.10)图2.17当R′≠0时，根据力线的平移定理，移动主矢量R′可以附加一个与主矢量大小相等，转向相反，可相互抵消的一个附加力偶，该力系最终合成为一个合力R。合力R的大小、方向与R′相同，作用线与O点的距离为当平面力系简化结果中的主矢量R=0时，简化结果中的主矩就是其最后合成的结果，可知这时力系合成为一个合力偶，其力偶距M就等于力系主矩MO，即(2.12)(2.11)综上所述，平面力系的最后合成结果非常简单，只有两种可能：一种是一个合力R；另一种是一个合力偶MO。据此，在构件约束反力的计算中，常常将分布力系先合成起来，用其合力或合力偶取代原分布力系。

3)简化理论的应用举例

(1)合力矩定理的证明。在平面力系合成为一个合力R

后，反过来再求该合力R对原简化中心O的矩，可得(2.13)式(2.13)称为合力矩定理，它表明力系的合力R对任一点O的矩等于力系各力Fi对该点矩的和，即(2.13*)合力矩定理连同我们前面讲过的合力投影定理、力线平移定理是进行力系等效变换、简化合成的最基本理论工具。

(2)固定端约束反力的简化。固定端约束常见于工程结构中，其特点是既能限制被约束体的移动，又能限制被约束体的转动，如图2.18(a)所示的墙壁对悬臂梁插入部分的约束就属于此类约束。悬臂梁插入端所受的约束反力是一个任意分布的力系，在平面问题中是一个平面任意力系，如图2.18(b)所示。如将这个力系向梁端部截面形心A简化，得一主矢量RA和主矩mA，再将RA分解为两个正交分量xA、yA，如图2.18(c)所示。固定端约束反力便被简化为xA、yA、mA这三个分量，它们限制了梁A

端沿x、y方向的移动和绕z

轴的转动。图2.18

(3)分布力合力作用线位置的确定。为了确定分布力合力作用线的位置，根据力系的简化理论，可先将分布力向一点简化，求得其主矢和主矩后，再平移主矢量、消掉主矩，用式(2.11)即可求得分布力合力作用线的位置。

3.平面力系的平衡条件由简化结果可知，平面力系与其主矢量R′和主矩MO等效，而由力偶不能与一个力平衡可知，平面力系简化所得的主矢量和主矩不可能彼此平衡。所以要使平面力系平衡，合成其主矢量R′的那个汇交力系和合成其主矩MO的那个力偶系必须分别为平衡力系。那么，根据汇交力系和力偶系的平衡条件，平面力系的平衡条件应该是其主矢量R′和主矩MO分别为0，即(2.1４)式(2.14)是平面力系平衡的必要且充分条件。将式中的R

向x、y轴投影，可得该平衡条件的投影表达式：(2.15)这组方程表示，平面力系平衡的必要且充分条件是：图2.19中所示的各力在直角坐标系Oxy中各坐标轴上的投影的代数和以及各力对任意点力矩的代数和分别等于0。此外，平面力系的平衡方程还可以写成以下形式：

(1)平面力系平衡方程的二矩式方程为(2.16)（OA不能与x轴垂直）图2.19将式(2.16)与式(2.15)相比较可知，式(2.15)中的∑Y=0被∑mA(F)=0取代了。这是因为，在∑mO=0和∑X=0的前提下，如果力系不平衡，则它只能合成为沿y

轴的一个合力，所以方程(2.15)用∑Y=0即可保证力系是平衡的。如图2.19所示，这时若A点不在y

轴上，或者说OA不与x轴垂直，显然∑mA(F)=0与∑Y=0是等价的，是可以相互取代而得到二矩式方程的。二矩式方程(2.16)的附加条件是OA不与x

轴垂直。(2.17)（O，A，B不能共线）

(2)平面力系平衡方程的三矩式方程为在式(2.16)中，力系对O点和A点的矩都等于0，如果力系不平衡，则其必然合成为沿OA直线的一个合力，且由于OA不与x轴垂直，因此只有该合力为0时，它在x

轴上的投影才能够等于0，故可用∑X=0来保证该合力也为0。如图2.19所示，用该合力对不在OA直线的任意点B的矩等于0，即∑mB(Fi)=0也可以达到同样的目的。所以，可以用∑mB(Fi)=0来取代∑X=0，使方程组变为三矩式方程(2.17)。方程(2.17)的附加条件是O、A、B三点不能共线。综上所述，在满足各自附加条件的前提下，式(2.16)、式(2.17)与式(2.15)是等价方程。

【例2.7】悬臂刚架ABC，A处为固定端约束，在左侧作用均布荷载q=2kN·m，在C处作用集中载荷P=10kN，其它尺寸和角度如图2.20(a)所示。求固定端约束A的约束反力(不计刚架自重)。

解(1)取悬臂刚架ABC为研究对象。

(2)画刚架ABC的受力图。主动力有集中力P；均布荷载q可用其合力Q代替，其大小等于荷载图形的面积，即Q=q×4=2×4=8kN，作用线通过荷载图形的形心，距A点的距离为2m。其约束反力有XA、YA和力偶距为mA的约束力偶，约束力的指向和约束力偶的转向假设如图2.20(b)所示。图2.20

(3)选取坐标轴，并列出平衡方程求解。由于力偶的两个力大小相等、方向相反，它们在轴上投影之和等于0，因此在列投影方程时，不必考虑力偶。取图示坐标系Axy，列方程：∑X=0,XA+Q－Pcos30°=0(a)∑Y=0,YA－Psin30°=0(b)现以A点为矩心列力矩方程。先说明两点：①因为力偶对任一点之矩恒等于其力偶矩，所以在列力矩方程时，约束反力偶对A点之矩即为其力偶矩mA；②计算力P对A点之矩时，由于力P的作用线到A点的垂直距离(即力臂)计算比较麻烦，故可根据合力矩定理，将力P分解为水平和垂直方向的两个力，然后计算此二分力对A点之矩的代数和。以A点为矩心列出方程：

∑mA(F)=0mA－Q×2+Pcos30°×4－Psin30°×2=0

(c)由(a)式得:

XA=Pcos30°－Q=10由(b)式得：YA=Psin30°=10由(c)式得：

XA和YA为正值，说明假设方向与实际方向一致；mA为负值，说明原假设的转向与实际方向相反，即mA实际应为顺时针转向。

【例2.8】如图2.21(a)所示，简支梁AB受三角形分布的线荷载作用，其集度在A

处为0，C处为qC，还受有力偶作用，其力偶矩为m，其他尺寸如图。试求支座A、B的约束反力(梁重不计)。图2.21

解

(1)取梁AB

为研究对象。

(2)画受力图。铰支座A

的约束反力以XA

和YA

表示；辊轴支座的约束反力以RB

表示；主动力有力偶矩为m

的力偶；非均匀荷载可用合力Q代替，其大小等于荷载图面积，即Q=

qCa,作用线通过荷载图形心，距A点的距离为a。梁AB的受力图如图2.21(b)所示。

(3)选取坐标轴，列平衡方程求解。取坐标系Axy，为练习应用二矩式平衡方程，现分别以A、B两点为矩心，则由式①得：由式②得：将RB的值代入式③可得：为了进行校核，可写出方程∑Y=0,求出YA作为验证。

【例2.9】组合梁由AB

杆和BC杆在B

处用铰(称为中间铰)连接而成，如图2.22(a)所示。其中C

为辊轴支座，A为固定端支座。已知m=10kN·m，q=2kN/m，a=1m。求支座A、C处的约束力。图2.22

解此结构由两个刚体组成，将两刚体拆开后共有六个未知约束力，如图2.22(c)所示，每个刚体有三个独立的平衡方程，因此这是一个静定结构。以总体为研究对象时，XB、、YB、均为内力，而XA、YA、mA、YC为四个未知的外力，独立的平衡方程只有三个，只可求出XA=0，其他无法求解。若以AB杆为研究对象，则有五个未知约束力，三个平衡方程也无法求解。若以BC杆为研究对象，则有三个未知约束力，因而可由平面力系三个独立的平衡方程求出。由平衡条件求得:求出YC后，再以整体为研究对象，如图2.22(b)所示，此时中间铰B的约束力是内力，因而不必考虑。可由解得:

由解得:

XA=0其中负值表示约束力偶的实际方向与图中所设的方向相反。最后，建议读者结合本例思考一下，在刚体系统的受力分析中，怎样校核所得结果的正确性。2.5简单平面桁架的内力计算桁架是由若干个直杆在两端用铰链连接而成的一种几何不变结构。各杆件位于同一平面内的桁架称为平面桁架，如图2.23所示，各铰链连接点称为桁架的节点。桁架被广泛用于房屋、桥梁等结构之中。图2.23

1.节点法节点法是取每个节点上的铰链为研究对象，将杆视为铰链的约束。由于每个杆都是二力杆件，因此它给铰链的力只能沿杆件的轴线方向。为了使该平衡方程求得的杆件内力的正负号与材料力学约定的拉力为正、压力为负相互一致，画受力图时假定每个杆件所受的都是拉力。所以，每个节点的受力图都是一个平面汇交力系，且除主动力外，其余力都是背离汇交点的。其平衡方程为(2.18)由于每个节点只有两个独立的平衡方程，要每个节点的平衡方程能够独立求解，必须从连接杆件最少、未知力不超过两个的节点开始逐个求解。并且一般要先以整个桁架为研究对象求出其外部约束反力后，再逐个节点求解杆件内力。

2.截面法截面法是假想地将桁架截为截然分开的两部分，取其中一部分为研究对象。由于这样的研究对象所受的力系一般是平面任意力系，因此要用平面任意力系的平衡方程求解。其方程为(2.19)

【例2.10】

试用节点法求图2.24(a)所示的桁架中各杆的内力。已知P1=40kN，P2=10kN。图2.24

解

(1)求桁架支座A，B的反力。取桁架整体为研究对象，其受力图如图2.24(a)所示，桁架受平面任意力系作用。选取坐标轴如图所示，列平衡方程并求解：

∑X=0，P2－XA=0∑mA(F)=0，3a·NB+P2·a－P1·a=0∑Y=0，YA+NB－P1=0可解得：XA=10kN，YA=30kN，NB=10kN

(2)求各杆内力。从只有两个未知量的节点开始，逐个地截取桁架的节点为研究对象,应用平面汇交力系平衡方程求出各杆的内力。①取节点A

为研究对象。1、2杆件的内力S1、S2为未知量，并假设其为拉力，其受力图如图2.24(b)所示。由∑Y=0，YA－S2sin45°=0

∑X=0，S1+S2cos45°－XA=0可解得：

S1=－20kN(压力)，S2=42.4kN(拉力)②取节点C

为研究对象。因为1杆的内力S1已经求出，故只有3、4杆的内力S3、S4为未知力，假设其为拉力，则其受力图如图2.24(c)所示。由∑Y=0，S4－=0

∑X=0，－P1－S3=0可解得:S4=

=S1=－20kN，S3=－40kN

③取节点

D

为研究对象。因为2、3杆的内力=S2、

=S3已经求出，故只有5、6杆的内力S5、S6为未知力，其受力图如图2.24(d)所示。由∑X=0，S6+S5cos45°－sin45°=0

∑Y=0，

+S5cos45°+

cos45°=0将=S3=－40kN及=S2=42.4kN代入，可解得：

S5=14.14kN，S6=20kN④取节点H

为研究对象。因6杆的内力=S6已经求出，只有7、9杆的内力S7、S9为未知力，其受力图如图2.24(e)所示。由∑X=0，P2+S9cos45°－=0

∑Y=0，S7+S9sin45°=0可解得：S9=14.14kN，S7=－10kN⑤最后取节点B(也可以取节点E，因作用于节点E的力较多，故取节点B)为研究对象。因9杆的内力=S9已经求出，故只有8杆的内力S8为未知力，其受力图如图2.24(f)所示。由∑X=0，可解得:

S8=－10kN至此，全部杆件内力均已求出，故另一平衡方程∑Y=0可用来校核所得结果。于是全部杆件的内力为：S1=S4=－20kN，S2=42.4kNS3=－40kN，S5=S9=14.14kNS6=20kN，S7=S8=-10kN顺便指出，如果作用在图2.24(a)上的外力P1为0，由节点C

的受力图根据平面汇交力系的平衡方程可直接求出3杆的内力S3为0，称为零杆。直接分析零杆，可方便地求出其他杆的内力。

【例2.11】图2.25(a)所示为一桥梁桁架，节点上的载荷P=1200N，Q=400N，尺寸a=4m，b=3m。求1、2、3、4杆所受的力。

解本例若采用节点法，则需先求出支座的约束力，然后依次选取每个节点为研究对象，应用汇交力系平衡方程求出各杆所受的力。在计算过程中需要计算若干非所求量。现在采用另一种计算桁架受力的方法——截面法。这种方法的要点是先求出支座的约束力，然后选择一个适当的截面，假想地把桁架截开成两部分；选择左部分(或右部分)桁架为研究对象，其受力图如图2.25(a)所示。图2.25应用平面力系的平衡方程，有解得其次，作截面n—n将1、2、3杆截断，使桁架分成两部分，以左边部分桁架为研究对象，其受力图如图2.25(b)所示。1、2、3杆所受的力S1、S2、S3=均假设为拉力。由平衡方程的第二种形式得：解得：其中，负号表示S3的实际方向与所设方向相反，故为压力。为求4杆所受的力，可将1、2、4、5杆截断，考虑节点G的受力，其受力图如图2.25(c)所示。由平衡方程：∑Y=0解得：最后，读者不妨试一下用截面将3、4和6杆截开，考察部分平衡，