2025高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数-专项训练【A级基础巩固】一、单选题1．若2x＝9,4y＝6，则4x－2y＝()A.eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(9,4) D．eq\f(4,9)2．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值为()A．4 B．3C．2 D．13．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，则()A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y24．已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a>0且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是()A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)5．函数f(x)＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是()6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A．3.6小时 B．3.8小时C．4小时 D．4.2小时7．若x满足不等式2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2，则函数y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)8．设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中不正确的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2)二、多选题9．下列函数中值域为正实数集的是()A．y＝5x B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1－xC．y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1) D．y＝3|x|10．已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的是()A．f(0)＝0B．f(x)是奇函数C．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解11．已知指数函数f(x)＝(a2－3)ax的图象过点(b,2)，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为()三、填空题12．已知函数f(x)是指数函数，若eq\f(f1,f3)＝4，则f(－2)_________f(－3)．(用“>”“<”“＝”填空)13．函数f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2)的定义域是_________.14．函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为_________.15．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数___________.①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．四、解答题16．已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3，8)．(1)求实数k，a的值；(2)若函数g(x)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．17．已知定义在R上的奇函数f(x)＝a×3x＋3－x，a为常数．(1)求a的值；(2)用单调性定义证明f(x)在[0，＋∞)上是减函数；(3)解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)<0.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．设a，b满足0<a<b<1，则下列不等式中正确的是()A．aa<ab B．ba<bbC．aa<ba D．bb<ab2．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数．若函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1,3)，则函数y＝eq\f(1,fx)的值域是()A．[0,2) B．(0,2)C．[0,1) D．(0,1)3．(多选题)关于函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形4．若函数f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)5．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为_________，f(－4)与f(1)的大小关系是_________.6．已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(m－3x,3x＋n)是奇函数．(1)求m，n的值；(2)用定义法证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．参考答案【A级基础巩固】一、单选题1．(C)[解析]2x＝9,22y＝6，则4x－2y＝22(x－2y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,22y)))2＝eq\f(9,4).2．(B)[解析]由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3，故选B.3．(D)[解析]y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在定义域内为增函数，∴y1>y3>y2.4．(A)[解析]当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1,6)．故选A.5．(D)[解析]方法一：当a>1时，0<eq\f(1,a)<1，将y＝ax的图象向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的图象，A、B都不符合；当0<a<1时，eq\f(1,a)>1，将y＝ax的图象向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的图象，D符合，故选D.方法二：函数f(x)的图象恒过点(－1,0)，只有选项D中的图象符合．6．(C)[解析]由题意可得N0e－4k＝eq\f(4,5)N0，可得e－4k＝eq\f(4,5)，设N0e－kt＝0.64N0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2N0，可得e－kt＝(e－4k)2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时，故选C.7．(B)[解析]将2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).8．(B)[解析]2x1·2x2＝2x1＋x2，所以A成立，2x1＋2x2≠2x1x2，所以B不成立，函数f(x)＝2x在R上是增函数，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，则eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，故C正确．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2)说明函数是凹函数，可知f(x)＝2x的图象满足条件，故D正确．故选B.二、多选题9．(AB)[解析]A项中y>0，B项中y>0，C项中y≥0，D项中y≥1，只有AB项正确．故选AB.10．(ABD)[解析]f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝eq\f(1,20)－20＝0，故A正确；f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B正确；f(x)＝eq\f(1,2x)－2x在R上是减函数，故C错误；当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，即f(x)的值域是(－∞，＋∞)，它又是R上的减函数，因此对任意实数a，f(x)＝a都有解，故D正确．11．(A)[解析]由f(x)＝(a2－3)ax为指数函数，得a2－3＝1，又a>0且a≠1，所以a＝2，所以f(x)＝2x，则f(b)＝2b＝2，解得b＝1.此时g(x)＝2|x＋1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥－1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1，x<－1，))函数g(x)的图象可以看作由函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x<0，))的图象向左平移1个单位长度得到．结合指数函数的图象及选项可知A正确．三、填空题12．[解析]利用待定系数法求出函数f(x)的解析式，再利用函数f(x)的单调性即可比较大小．设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，∵eq\f(f1,f3)＝4，∴eq\f(a,a3)＝4，解得a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，在R上单调递减，∵－2>－3，∴f(－2)<f(－3)．13．[解析]若使函数f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2)的解析式有意义，自变量x须满足：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2≥0，解得x∈(－∞，－1]，故函数f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2)的定义域为(－∞，－1]．14．[解析]因为0<a<1，所以函数f(x)＝ax在[1,2]内是减函数，因为函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大eq\f(a,2)，所以f(1)－f(2)＝a－a2＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(1,2)，或a＝0(舍)．15．[解析]若满足①对任意的x1x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)即可．四、解答题16．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k·a0＝1，,k·a－3＝8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,a＝\f(1,2).))(2)g(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，因此g(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2－x－12x,2－x＋12x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－g(x)，所以g(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)为奇函数．17．[解析](1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1.(2)f(x)＝－3x＋3－x，设x1>x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2，∵x1>x2≥0，∴－x1<－x2，∴3x2<3x1，3－x1<3－x2，即3x2－3x1<0,3－x1－3－x2<0∴f(x1)－f(x2)＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．(3)∵f(x)是奇函数且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在R上是减函数．∵f(x－1)＋f(2x＋3)<0.∴f(2x＋3)<－f(x－1)＝f(1－x)，∴2x＋3>1－x，解得x>－eq\f(2,3).INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(C)[解析]指数函数y＝ax(0<a<1)为减函数，因为a<b所以aa>ab，A错误；指数函数y＝bx(0<b<1)为减函数，因为a<b，所以ba>bb，B错误；幂函数y＝xa(0<a<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以aa<ba，C正确；由幂函数y＝xb(0<b<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以bb>ab，D错误．2．(D)[解析]因为函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1，3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝2，,a＋b＝3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))∴函数f(x)＝2x＋1>1，函数y＝eq\f(1,fx)＝eq\f(1,2x＋1)<1.又eq\f(1,fx)＝eq\f(1,2x＋1)>0，故函数y＝eq\f(1,fx)的值域为(0,1)．3．(ACD)[解析]函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)在定义域内单调递减，所以函数的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝eq\f(1,4x＋1＋2)＋eq\f(1,4－x＋2)＝eq\f(1,4·4x＋2)＋eq\f(4x,2·4x＋1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))对称，所以D正确．4．为(C)[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq\f(2x＋1,2x－a)，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即为eq\f(2x＋1,2x－1)>3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1)．5．[解析]因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函