2024年高考数学专项复习：立体几何中的结构不良问题（学案+练习）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展29立体几何中的结构不良问题(精讲+精练)

一、知识点梳理

一'空间向量与立体几何的求解公式

(1)异面直线成角：设。，方分别是两异面直线/1,/2的方向向量，则与所成的角。满足：COS。=瑞;

(2)线面成角：设直线/的方向向量为0,平面a的法向量为〃，a与"的夹角为从

则直线/与平面«所成的角为6满足：sin。=|3川=耨.

(9)二面角：设“1,"2分别是二面角a—/一£的两个半平面a,0的法向量，

则两面的成角，满足：COS9=COS<711,n2>=,l«l|-|«2|；

注意：二面角的平面角大小是向量“1与"2的夹角或是向量"1与"2的夹角的补角，具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面a的一条斜线段，”为平面a的法向量

则点8到平面a的距离为：|尻)|=啥工即向量劭在法向量〃的方向上的投影长.

二'几种常见角的取值范围

__JT__TT

①异面直线成角e(o,引；②二面角口0,利；③线面角曰0,N；④向量夹角引0,兀］

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.

五'用向量证明空间中的平行关系

⑴线线平行:设直线A和(的方向向量分别为也和小则，1〃/2(或(与，2重合)01〃也.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为%平面a的法向量为"，则/〃a或/uae_L".

(9)面面平行：设平面a和万的法向量分别为"1,即，贝Ua〃.Uto””

六'用向量证明空间中的垂直关系

⑴线线垂直：设直线11和h的方向向量分别为VI和也，则Z1±Z2<=»1J-V2<^VvV2=0.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为匕平面a的法向量为"，则/J_ae〃

(9)面面垂直：设平面a和£的法向量分别为明和“2,贝I]a_L£uwiJ_"2Uwr"2=0.

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法

二、题型精讲精练

【典例1](2022•北京•统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-AB.G中,侧面BCCR为正方形，平面BCC,B11

平面AB瓦A，AB=BC=2,M,N分别为A与，AC的中点.

B[M,

⑴求证：MN〃平面BCGB1；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)取A3的中点为K,连接MKWK,可证平面〃平面BCC14,从而可证MN〃平面BCC禺.

(2)选①②均可证明3片，平面A3C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面

角的正弦值.

【详解】(1)取A3的中点为K,连接

由三棱柱ABC-44G可得四边形A即A为平行四边形，

而B、M=MAl,BK=KA,则MK//BB],

而MK<Z平面Bec#,平面BCC4，故MK〃平面BCGB1，

而CN=NA,BK=KA,则NK//3C,同理可得NK//平面BCCM,

而NKnMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCGB],而MNu平面MKN,故〃平面BCC1耳，

(2)因为侧面BCG4为正方形，故CBLBB],

而CBu平面BCG耳，平面CBBG1平面ABB^,

平面CBB£c平面ABB^=BB],故C3，平面ABB^,

因为NKMBC,故M_L平面4刀片4,

因为ABu平面故NKLAB,

若选①，则ABLMN,而腔，48,NKCMN=N,

故Afil平面MVK,而砂＜=平面肱VK,故AB_LMK,

所以而CBcAB=B,故台⑻，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故丽=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

设平面3M0的法向量为"=（x,y,z）,

n•BN-0x+y=0，—/、

则_八，从而y+2z=。'取z=T，则〃=(R),

n•BM=0

设直线A8与平面3NM所成的角为。，则

sin6=

若选②，因为NKHBC,故雁，平面而XMu平面M7OV,

故NK1KM,而，故B\M=NK,

而，MB=MN,故ABB、M=AMKN,

所以ZBBtM=ZMKN=90°,故AlB{1BBt,

而CBcAB=B,故台用，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故丽=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0，一/、

则一八，从而y+22=0'取z=T，则"=(一2,2,-1),

n-BM=0

设直线A3与平面BMW所成的角为e,则

【题型训练-刷模拟】

一、解答题

1.(2029•北京海淀•校考三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD

7T

为等腰直角三角形，且NPAO=彳，点P为棱尸C上的点，平面ADF与棱尸5交于点E.

2

(1)求证：EF//AD-,

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADEE所成锐二面角的

大小.

条件①：AE=&;

条件②：平面B4D_L平面A3CD；

条件③：PBLFD.

2.(2029・全国•高三专题练习)如图，在长方体ABCD-ABIGD］中，AB=AD=^AA,=1,E为。2的中点.

⑴证明：平面E4B_L平面EAG；

(2)若点/在AERG内，且DF〃BE,从下面三个结论中选一个求解.

①求直线与平面切1G所成角的正弦值；

②求平面E4B与平面所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-AC,的余弦值.

注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.

9.(2029•北京・统考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A由G中，明，平面ABC,AB=AC=AA,=1,M

为线段AG上一点，平面3cM交棱A耳于点尸.

(1)求证：FM//BC;

TT

(2)若直线AB】与平面BCN所成角为:，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点4到

4

平面BCM的距离.

条件①：AB1AC；

条件②：BC=V2-

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

4.(2029・北京海淀•校考三模)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形，AC[}BD=O,且/

平面ABCD,尸0=2,£G分别是尸。的中点，E是上一点，且AP=3AE.

⑴求证：3£)〃平面瓦6；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线24与平面所G所成角的正弦值.

条件①：BD=2A/3;

条件②：ZDAB=y.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

5.(2029・全国•高三专题练习)如图在几何体ABCDEE中，底面ABCD为菱形,

ZABC^60°,AE//DF,AEYAD,AB=AE=2DF^2.

(1)判断是否平行于平面C即，并证明;

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

Ci)平面ABCD与平面CEF所成角的大小；

(ii)求点A到平面CEF的距离.

条件①：面E43_L面A3CD

条件②：BD±CE

条件③：EF=CF

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

6.(2029・北京•校考模拟预测)如图，在四棱锥P-中，AB1BC,AD//BC,尸8,底面A3CD,M

为棱PC上的点，PB=AB=BC=2,AD=1.

(1)若90〃平面BIB,求证：点M为PC的中点；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求平面与平面8nM夹角的余弦值.

条件①：7M//平面

条件②：直线8M与8。夹角的余弦值为(

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

7.(2029•全国•高三专题练习)如图，四边形A3CD是边长为2的菱形，/ABC=60。，四边形PAQ2为矩

形，PA=],从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第

一个解答计分).

①与平面A3CD所成角相等；②三棱锥P-AB。体积为且；③cos/BPA=^~

35

(1)平面PAC。_L平面ABCD-,

(2)求二面角8-尸。-。的大小;

(9)求点C到平面加。的距离.

8.(2029•全国•高三专题练习)如图在三棱柱ABC-A4G中，。为AC的中点，AB=BC=2,

ZAAiBl=NB[BC.

⑴证明：BBt±AC；

⑵若且满足：,(管堆条件).

从下面给出的①②③中选择可个填入待选条件，求二面角B-BQ-G的正弦值.

①三棱柱ABC-44Q的体积为3g;

②直线AB,与平面BCQBi所成的角的正弦值为叵；

13

③二面角A-BB.-C的大小为60°；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

9.（2029•甘肃兰州•统考模拟预测）如图所示的五边形幽4DC中ABCD是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿

5c折叠成四棱锥S-ABCD,点”是8c的中点，SM=2.

⑴在四棱锥S-ABCD中，可以满足条件①SA=#；®cosZSBM=—；③sinNSAM=@,请从中任选

53

两个作为补充条件，证明：侧面SBC,底面ABCD；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计

分.）

（2）在（1）的条件下求直线SC与平面SW所成角的正弦值.

10.（2029•全国•高三专题练习）在AABC中，ZACB=^5°,BC=3,过点A作交线段BC于点。

（如图1）,沿A£＞将△ABD折起，使/比9=90。（如图2）,点分别为棱BC,AC的中点.

⑴求证：;

—4__.9—•1—.

(2)在①图1中tan28=-§,②图1中AO=1A2+§AC,③图2中三棱锥A-3C£)的体积最大.

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.

问题：已知，试在棱。上确定一点N,使得印，8Af,并求平面3MN与平面C3N的夹角的

余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

11.(2029•甘肃兰州・统考模拟预测)如图所示的五边形S5WC中A3CD是矩形，BC=2AB,SB=SC,

沿BC折叠成四棱锥S-ABCD,点"是BC的中点，SM=2.

(1)在四棱锥S-ABCD中，可以满足条件①&4=#；@cosZSBM=—;③sin/SAM=渔，请从中任选

53

两个作为补充条件，证明：侧面SBC,底面ABCD；(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计

分.)

⑵在(1)的条件下求点加到平面生⑦的距离.

12.(2029•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥A-BCDE中，侧棱平面BCDE,底面四边形BCDE

是矩形，AB=BE=4,点P、”分别为棱AE、AC的中点，点/在棱BE上.

RF1

(1)^—=-,求证：直线〃平面PCP；

BE3

(2)若3c=2,从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.

①平面ADE与平面ABC的交线为直线/,/与直线CP成角的余弦值为亭；

②二面角P-CF-E的余弦值为逅.

注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.

19.(2029•江苏盐城•盐城中学校考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是矩形，即，底

面ABC。，S.PD=AD=2,E是PC的中点，平面ABE与线段交于点冗

F

(1)证明：E为P。的中点；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.

条件①：三角形2cp的面积为M；

条件②：三棱锥尸-3CF的体积为1.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

14.(2029・北京•高三专题练习)如图，已知直三棱柱ABC-4瓦0中，AB^AC=2,。为BC中点，M=2-

再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：

G小

(1)证明：ABt1BCX-

(2)求直线BCt与平面A^D所成角的正弦值.

条件①：B,D±BC1；

条件②：BC=2s/2.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

15.(2029•黑龙江哈尔滨・哈九中校考模拟预测)如图，已知四棱锥E-ABCO,底面A3CD是平行四边形，

jr

且ND48=m，AD=2A8=2,BE=PE,P是线段AD的中点，BEVPC.

⑴求证：PC_L平面8PE；

(2)下列条件任选其一，求二面角P-EC-3的余弦值.

_77

①AE与平面A3co所成的角为:；

4

②D到平面EPC的距离为走.

4

注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.

16.(2029・江苏・统考三模)如图，三棱锥尸一ABC的底面为等腰直角三角形，ZABC=90°,AB=2.D,E

分别为AC,BC的中点，P。，平面ABC,点M在线段PE上.

(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面M2。，平面P8C,并给予证明；

(2)在(1)的条件下，求直线8P与平面MB。所成的角的正弦值.

条件①：PD=^2;

条件②：/PED=60°；

条件③：PM=9ME：

条件④：PE=9ME.

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展29立体几何中的结构不良问题(精讲+精练)

一、知识点梳理

一'空间向量与立体几何的求解公式

(1)异面直线成角：设。，方分别是两异面直线/1,/2的方向向量，则与所成的角。满足：COS。=瑞;

(2)线面成角：设直线/的方向向量为0,平面a的法向量为〃，a与"的夹角为从

则直线/与平面«所成的角为6满足：sin。=|3川=耨.

(9)二面角：设“1,"2分别是二面角a—/一£的两个半平面a,0的法向量，

则两面的成角，满足：COS9=COS<711,n2>=,l«l|-|«2|；

注意：二面角的平面角大小是向量“1与"2的夹角或是向量"1与"2的夹角的补角，具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面a的一条斜线段，”为平面a的法向量

则点8到平面a的距离为：|尻)|=啥工即向量劭在法向量〃的方向上的投影长.

二'几种常见角的取值范围

__JT__TT

①异面直线成角e(o,引；②二面角口0,利；③线面角曰0,N；④向量夹角引0,兀］

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.

五'用向量证明空间中的平行关系

⑴线线平行:设直线A和(的方向向量分别为也和小则，1〃/2(或(与，2重合)01〃也.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为%平面a的法向量为"，则/〃a或/uae_L".

(9)面面平行：设平面a和万的法向量分别为"1,即，贝Ua〃.Uto””

六'用向量证明空间中的垂直关系

⑴线线垂直：设直线11和h的方向向量分别为VI和也，则Z1±Z2<=»1J-V2<^VvV2=0.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为匕平面a的法向量为"，则/J_ae〃

(9)面面垂直：设平面a和£的法向量分别为明和“2,贝I]a_L£uwiJ_"2Uwr"2=0.

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法

二、题型精讲精练

【典例1](2022•北京•统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-AB.G中,侧面BCCR为正方形，平面BCC,B11

平面AB瓦A，AB=BC=2,M,N分别为A与，AC的中点.

B[M,

⑴求证：MN〃平面BCGB1；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)取A3的中点为K,连接MKWK,可证平面〃平面BCC14,从而可证MN〃平面BCC禺.

(2)选①②均可证明3片，平面A3C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面

角的正弦值.

【详解】(1)取A3的中点为K,连接

由三棱柱ABC-44G可得四边形A即A为平行四边形，

而B、M=MAl,BK=KA,则MK//BB],

而MK<Z平面Bec#,平面BCC4，故MK〃平面BCGB1，

而CN=NA,BK=KA,则NK//3C,同理可得NK//平面BCCM,

而NKnMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCGB],而MNu平面MKN,故〃平面BCC1耳，

(2)因为侧面BCG4为正方形，故CBLBB],

而CBu平面BCG耳，平面CBBG1平面ABB^,

平面CBB£c平面ABB^=BB],故C3，平面ABB^,

因为NKMBC,故M_L平面4刀片4,

因为ABu平面故NKLAB,

若选①，则ABLMN,而腔，48,NKCMN=N,

故Afil平面MVK,而砂＜=平面肱VK,故AB_LMK,

所以而CBcAB=B,故台⑻，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故丽=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

设平面3M0的法向量为"=（x,y,z）,

n•BN-0x+y=0，—/、

则_八，从而y+2z=。'取z=T，则〃=(R),

n•BM=0

设直线A8与平面3NM所成的角为。，则

sin6=

若选②，因为NKHBC,故雁，平面而XMu平面M7OV,

故NK1KM,而，故B\M=NK,

而，MB=MN,故ABB、M=AMKN,

所以ZBBtM=ZMKN=90°,故AlB{1BBt,

而CBcAB=B,故台用，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故丽=(0,2,0),就=(1,1,0),M=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0，一/、

则一八，从而y+22=0'取z=T，则"=(一2,2,-1),

n-BM=0

设直线A3与平面BMW所成的角为e,则

【题型训练-刷模拟】

一、解答题

1.(2029•北京海淀•校考三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD

7T

为等腰直角三角形，且NPAO=彳，点P为棱尸C上的点，平面ADF与棱尸5交于点E.

2

(1)求证：EF//AD-,

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADEE所成锐二面角的

大小.

条件①：AE=&;

条件②：平面B4D_L平面A3CD；

条件③：PBLFD.

【答案】（1）证明见解析

【分析】⑴由底面A3CZ）是正方形得AD//8C,用线面平行的判定定理证得"）〃平面P5C,再用线面平

行的性质定理证得EF〃AD;

（2）若选条件①②，由平面R4£>_L平面A3CD得PA.LAD,由ABC。为正方形得,即

可建立空间直角坐标系，由点的坐标求出向量的坐标，从而求出平面ADEE和平面PCD的法向量，代入夹

角公式即可求出平面PCD与平面皿石所成锐二面角的大小；若选条件①③，易证得平面尸/皿，从

而证得包），尸3,所以尸8,平面ADEE,从而得到PBLAF,又因为AE=0,则可说明为等腰直

角三角形，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解；若选条件②③，由平

面尸AZ）_L平面A3CD,可证R4_L平面A3c。，所以上4_LAB,PA±AD,又由尸B_L平面ADfE,可证

PB±AE,结合”=AB可得点E为尸8的中点，贝！）可得AE=0,即可建立与①②相同的空间直角坐标系，

下面用与①②相同的过程求解.

【详解】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AD//BC,

BCu平面PBC,ADo平面PBC,所以AD//平面PBC,

又因为平面ADP与9交于点E,ADu平面ADFE,平面RBCc平面"）在=族，

所以砂/MD.

（2）选条件①②，则4£=0，平面PAD_L平面A3CD

因为侧面尸AD为等腰直角三角形，且NPAD=5，即B4=AD=2,PA±AD,

因为平面R4T>_L平面ABCD,平面上4。c平面ABC。=AD,E4u平面PA。，

所以PA_L平面A3CD,

又因为ABu平面ABC。，ADu平面A5cD,所以R4_LAB,PA±AD,

又由ABCD为正方形得AB_L.

以点A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴，V轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A-AYZ,

则，尸(0,0,2),C(2,2,0),3(2,0,0),0(0,2,0),

因为AE=后，所以点E为尸8的中点，则E(l,0,D,

从而定=(2,2,-2),AD=(0,2,0),AE=(1,O,1),甥=(0,2,—2),

为.A.E—xz—0

设平面AQFE的法向量为日=(x,y,z),贝!J-'

n-AD=2y=0,

令x=l,可得J=(l,0,-1),

一mPD=2Z?-2c=0,

设平面PC。的法向量为机=(a,b,c),贝!J-,

m•PC=2a+2b-2c=0,

令b=l,可得丽=(O,L1),

mm—।\n-m\1

所以|cos<n,m>\=一一二—,

IH||m|2

则两平面所成的锐二面角为g.

选条件①③，贝!|AE=0,PBLFD.

JT

侧面PAO为等腰直角三角形，且/PAD=5，即m=AD=2,PA1.AD,

因为AD2AB,PAC\AB=A,且两直线在平面7^45内，可得AD_1_平面

因为尸3u平面E4B,则ADJLEB.

又因为AD^FD^D,且两直线在平面ADPE内，

则尸3_L平面ADPE,

因为AEu平面ADFE,则尸B_LAE,

因为2=AB,所以AA4B为等腰三角形，所以点E为尸8的中点.

又因为AE=0,所以“MB为等腰直角三角形，

则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与①②相同的过程求解.

选条件②③，则平面PA£>_L平面A3c。，PB1FD.

因为侧面PAD为等腰直角三角形，且=

PA=AD=2,PA±AD,

因为平面PAD_L平面ABCD,平面PADc平面A6CD=A£）,B4u平面PAD,

所以PA_L平面ABC。，

又因为ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,所以R4J_AB,PA±AD,

又由ABCD为正方形得ABA.AD.

因为PB1.FD,AD^FD=D,且两直线在平面ADFE内，则尸3JL平面AD尸E,

因为AEu平面ADFE,则尸8_LAE,

因为上4=AB,所以△尸AB为等腰三角形，所以点E为尸3的中点，则AE=VL

则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同.

2.（2029・全国•高三专题练习）如图，在长方体A3CD-ABCQ］中，AB=AD=^AAl=l,E为。2的中点.

⑴证明：平面E4B_L平面；

(2)若点f在AEAG内，且可〃BE,从下面三个结论中选一个求解.

①求直线8尸与平面2G所成角的正弦值；

②求平面E4B与平面E4B所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-4G的余弦值.

注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)故以4为坐标原点，4耳，A2，AA所在直线分别为X轴，y轴，z轴的正方向建立如图

所示的空间直角坐标系A-孙Z,分别求出平面胡氏平面E4G的法向量雇%,由展区=0,即可证明；

(2)选①，分别求出直线成的方向向量与平面EAC的法向量，由线面角的向量公式求解即可；选②、

③，分别求出两个平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】(1)因为ABCD-aqGA是长方体，所以4A,44，A2两两垂直，

故以A为坐标原点，4月，42，AA所在直线分别为X轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直

角坐标系A-孙z.

因为===1,所以A(0,0,2),2(1,0,2),E(0,l,l),A(0,0,0),Q(1,1,0).

则荏=(1,0,0),AE=(O,l,-l),4G=(1,1,0),乖=(0,1,1).

小而=。,%二。，

设平面EAB的法向量为1=(%,为4),贝卜

雇m=0,%一4=0,

令％=1,贝!)占=0,4=1,得"1=(0,1,1)；

一,、,AC.=0,%+%=°，

设平面EAG的法向量为%=(%,%,zj,贝!|2.L即

y+z2=°，

n2•AXE—0,2

令无2=1,则％=T，Z2=l,得后=(1,T,1).

因为卜os(),碍卜普号=0,所以⑪疝，故平面EAB,平面EAG.

国阳

(2)取8月的中点H,由长方体的性质易得3"〃E，，，连接印九

所以四边形BHD’E为平行四边形，BE//HD,,

因为丽=(1,一1,1)=足，所以3E_L平面EAG，

所以，平面E4c,即R尸±平面EAC.

由AEA©是等边三角形，易得三棱锥，-AGE为正三棱锥,

所以点F为等边A£AG的中心，故尸而='，-3累・

选择结论①:

由(1)得平面码£的一个法向量为E=

■网3而

设直线BF与平面所成角为e,而F

所以BF与平面EAG所成角的正弦值为斗.

选择结论②:

由⑴得平面EAB的一个法向量还(0,1,1),又西(m］，丽=

m•FA=0,〃+2。—5c=0,

设平面FAB的法向量为温=(a,Z?,c),贝卜

m•FB=0,2a-2b+5c=Q,

令a=0,得b=5,c=2,则m=（0,5,2）.

%-m

设平面FAB与平面EAB所成角为6,贝！|cos夕=|cos(雇m^=7A/58

58

选择结论③:

因为点F在△SAG内，D、F〃BE,所以尸为直线HR与平面△EAG的交点,

所以平面FAG的一个法向量为后=(I,T1).

又丽=1二2）

1一3切

一,、m-FA=0,f〃+2Z?-5c=0,A

设平面FAB的法向量为机=（a,4c）,贝!―k即＜_八令a=。，得b=5,c=2,则

m•FB=0,12。—2Z?+JC=0,

m=（0,5,2）.

n2-m扃

设二面角AB-b-A£为巴则cos6=|cos=

H2||m

观察图形可得二面角AB-尸-AG为钝二面角'所以二面角-尸-4G的余弦值为-噜.

z，

9.（2029•北京・统考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-4月£中，的，平面ABC,AB=AC=AAi=l,M

为线段AG上一点，平面3CN交棱A用于点尸.

⑴求证：FM//BC;

TT

（2）若直线AB】与平面3CN所成角为:，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点A到

4

平面BCM的距离.

条件①：AB1AC；

条件②：BC=y/2.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

（2）-.

3

【分析】（1）由线面平行的性质定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法计算点到平面的距离即可.

【详解】（1）证明：由题意可知，

因为三棱柱ABC-，的，平面ABC

所以侧面用GCB为矩形

.・.BC/IBC

QBC|U面ABC1,BCa平面A4cl

.•.》c//平面44G

又,「平面BCMp平面44G=FM

且BCu平面5cMp

:.BC//FM

（2）解：若选择条件①，

・.•例_L平面ABC,ACu平面ABC,ABu平面ABC,

AA1AC,AAXLAB,

XvABlAC

AB,AC,A4,两两垂直；

若选择条件②，

VM-L¥®ABC,ACu平面ABC,Mu平面A5C,

1AC,AAXLAB,

X-.AB=AC=1,BC=6,

:.BC2=AB2-^AC2,

：.ABAC=90°

:.AB±AC

A3,AC,M两两垂直；

以下条件①和条件②的计算过程相同,

因为A氏ACAA两两垂直，所以如图建立空间直角坐直角坐标系A-盯z.

可得A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),A(0,0,1),B](1,0,1),G(0,1,1).

贝！|前二(—1,1,0),宿=(1,0,1),A5=(1,0,—1).

设病=4宿(0<4<l),

贝！|丽=虱+而？=西+力隔*

=(-1,0,1)+2(0,1,0)=(-1,2,1).

设7=O,y,z)为平面BCM的法向量,

n-BC=0,「一%+y=0

则<_____.即<

n-BM-0,[-x+Ay+z=0

令x=l,贝！|丁=1,z=l—X,可得为=(1,1,1一4).

7iI----►।A旦,几|2-Al\/2

贝！]sin—=cosAB,,司=---n~~-=——/==——.

4।।|碉同代〃2-22+32

解得X=贝!=

1

因为同

3

所以点A到平面BCM的距离为|

4.（2029•北京海淀•校考三模）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC[\BD=O,且尸01

平面ABCD,「。=2,£3分别是「反2。的中点，E是丛上一点，S.AP=3AE.

p

⑴求证：3£)〃平面所G；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线R4与平面EFG所成角的正弦值.

条件①：BD=273；

条件②：ZDAB=y.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

【答案】⑴证明见解析；

⑵|.

【分析】(1)通过证明如〃GV即可证明结论；

(2)以O为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量PA坐标与平面所G法向

量坐标，即可得答案.

【详解】(1)因G,F分别为尸3PB中点，则GP为△PD3中位线，则G尸//。以

又8DU平面6砂，3尸匚平面3斯，则30//平面所G.

(2)如图以O为原点建立空间直角坐标系.

若选①，因20=26，底面A3CD是边长为2的菱形，则04=1,0。=08=6，

若选②，因=底面A3CD是边长为2的菱形，则。1=1,O。=OB=百，

贝!]A(1,0,0),8仅，出,o),r)仅，一60),尸(0,0,2),G。，-苧1，/0,y-,1

\7\7

所以距=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),OA=(1,0,0).

-AP,得无=近+!AP=|二2,0,2;|.

XAP=3AE贝！=

933I33J

2正]21

则E，方=,EG=

"3'V'3“一万"3

\77

设平面EFG法向量为3=(尤,y,z),贝!].

得元=(1,0,2),又，设直线与平面石尸G所成角为凡

PAn

则sin0=

可w丹1

5.(2029•全国•高三专题练习)如图在几何体ASCDFE中，底面ABCD为菱形,

ZABC=60°,AE//DF,AELAD,AB^AE=2DF=2.

(1)判断AD是否平行于平面CEF,并证明；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求:

(i)平面ABCD与平面CEF所成角的大小；

(ii)求点A到平面CEF的距离.

条件①：面石45_1面43。£)

条件②：BDLCE

条件③：EF=CF

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)4。与平面CEb不平行，证明见解析

(2)(i)-；(ii)72

4

【分析】(1)利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；

(2)选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到

平面距离.

【详解】(1)AO不平行于平面CEP,理由如下：

取AE中点G,

因为AE〃。尸,AE=2。尸，所以AG//OF,AG=D尸

则四边形AGFD为平行四边形，所以"》〃GF,又GFcEF=F,所以AO不平行于收，

假设">//平面CEF,因为平面C£Fc平面=ADu平面AD班；

所以AD〃所，与AO不平行于所矛盾，所以假设不成立，即AD不平行于平面CM；

(2)选择条件①：

取8中点M,连接AM

因为菱形ABCD,ZABC=60。，所以AACD为正三角形，又加为。中点，所以AMLCD,

由于AB〃CD,所以

又因为面418_1面ABC。，面面ABCD=AS,AA/u面A3Q)

所以A"上面E4B,因为AEu面E4B,所以AA/_LAE

又因为AE_LAD,AMcA£>=A,A〃,ADu面ABC。，所以位_1面43。£）,

而A8,AMu面ABCD,所以AEJ_AB,AE1AM

所以如图，以A为原点，所在直线为x，%z轴建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,8（2,0,0）（（1,亚0）,£＞（-1»疯0）,石（0,0,2）,尸（-1,后1）

（i）因为人^^面A3CD,所以^£=（0,0,2）为平面43。0的一个法向量

设平面C即的法向量为3=（x,y,z）,因为屈=卜1,-6,2）,#=（-2,0,1）

n,CE=—x—y/3y+2z—0y=-»//~\

所以—=＞y",令*=1,〃=",2

n-CF=-2x+z=0[z=2尤''

设平面A3CZ）与平面CEF所成角为9,

।—.I\n-AE\4J2兀

所以cos0=|cos＜河,AE＞=,——!，=r-=—,贝!Ie=7

11\n\-\AE\2d2x224

即平面ABCD与平面CEF所成角大小为:；

4

（ii）因为"=（1,石,0）,由（i）知平面的一个法向量为、=（1,6,2）

|AC-n|h+3+oil

所以点A到平面CEF的距离为=11=V2.

同2V2

选择条件②：连接30,取C£＞中点连接40

因为菱形ABCD,ZABC=60。，所以AACD为正三角形，又