2024年高考数学复习试题专项汇编：集合与常用逻辑用语（含答案）

(1)集合与常用逻辑用语

2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.[2024年新课标n卷高考真题]已知命题：+命题4：玉>0,丁=%.则()

A.p和q都是真命题B.-p和q都是真命题

C.p和都是真命题D.-和一都是真命题

2.[2024年新课标I卷高考真题]已知集合4=卜|—5</<5},B={-3,-1,0,2,3}»则AB=

()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-l,0}D.{—1,0,2}

3.[2024届•河北•模拟考试联考]设全集为。定义集合A与B的运算：

A*B={X|XGAB^x^A耳，则(A*5)*A=()

A.AB.BC.AAB

4.[2024届嘿龙江齐齐哈尔•一模]已知集合A={%|9一4x+3<0},3={-1,1,2,4},则AB=

()

A.{1,2,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{—1,1,2}

5.[2024届.长沙市第一中学.模拟考试]若全集。={—1,0,1,2},P={xeZ|x2<2},则丹P=()

A.{2}B.{0,2}C.{-1,2}D.{—1,0,2}

6.[2024届.山东临沂.二模]若A=—<0^B={x|log5%<1},则3的元素个数为

8—尤

()

A.OB.lC.2D.3

7.[2024届.湖南师大附中.模拟考试]已知集合4=口-1<%<2},B={x\-2<x<l],则集合

6AB(A8)=()

A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-2,-l)(1,2)D.(-2,-l][1,2)

8.[2024届.长治二中.一模]已知集合4=1卜2+2尸8<0},B={x||x|<2},U=R,则图中阴

影部分表示的集合为()

A.(T—2)B.(-2,2)C.[-2,2)D.[-2,2]

9.[2024届.吉林吉林.模拟考试校考]设集合A={小-l<0},3=卜,-x-6<0卜则AB=

()

A.(-1,2)B.(-2,l]C.[l,2)D.[-2,3)

10.[2024届.河北.模拟考试]德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：

若集合A和3是全集。的子集，且无公共元素，则称集合A,3互为正交集合，规定空集是

任何集合的正交集合.若全集。={x|l<log2(x+l)W3,xeN},A={x|炉-7龙+10<0,xeN},则

集合A关于集合。的正交集合3的个数为()

A.8B.16C.32D.64

11.[2024届.湖北.模拟考试]已知集合A={y|y=|尤-l|+|x+2|},B=<xy=,6>,则

[A/10-X2

AB=()

A.(V10,+oo)B.[3,V10)C.[3,+OO)D.(->/10,3]

二、多项选择题

12.[2024届.吉林吉林.模拟考试校考]下列命题正确的有().

22

A.若命题%+%+1<0,则「。：VxeR,%+%+1>0

B.不等式4》+5>0的解集为R

C.x>1是(%—1乂%+2)>0的充分不必要条件

D.X/xeR,=x

三、填空题

13.[2024届•合肥一六八中学•模拟考试]已知集合A={x\x<k},B=卜|1<x<2},且A「B=B，

则实数k的取值范围是.

14.[2024届•福建福州•模拟考试联考]已知集合A=卜|<0,%eR1与集合

5={X|X>0,XGZ},求集合AB=.

15.[2024届•福建宁德•模拟考试校考]已知集合A二{x[y=ln(l-2%)},B={x\x2<x},则

参考答案

1.答案：B

解析：方法一：因为X/XGR,|X+1|>0,所以命题“为假命题，所以"为真命题.因为d=x,

所以一x=0,所以为12-])=0,即+=0,

解得％=-1或％=0或x=l,所以Hx>0,使得x'=x,所以命题q为真命题，所以F为假命

题，所以和q都是真命题，故选B.

方法二：在命题p中，当％=-1时，|x+l|=0,所以命题p为假命题，-y?为真命题.在命题q

中，因为立方根等于本身的实数有-1,0,1,所以三%>0,使得V=x,所以命题q为真命题，

F为假命题，所以和q都是真命题，故选B.

2.答案：A

解析：方法一：因为A={x|-5</<5}={x|-为<》<狗},B={-3,-1,0,2,3),所以

A3={—1,0},故选A.

方法二：因为(-3)3=-27<-5,(―Ip=—le(—5,5),03=0e(-5,5),23=8>5,33=27>5,

所以—leA,OeA,—3eA,2gA,3^A,所以AB={-l,0},故选A.

3.答案：B

解析.A*B=^X\X&ABMXA5}=(5%A)(ACVB^

.•.(A*3)*A=[A]瘠(A*3)][(A*B)VA]^(AB)(B=B

故选：B

4.答案：B

解析：由f-4x+3=(x-l)(x-3)W0,解得

所以A={疝WxW3},所以AB={1,2}.

故选：B.

5.答案：A

解析：因为P={xeZ|f<2}={—1,0,1},U={—l,0,l,2},

所以令「={2}.

故选：A.

6.答案：C

解析：

7.答案：D

解析：由题意，A5=(—1』)，Al5=(—2,2),所以》B(A5)=(—2,—1][1,2),选D.

8.答案：A

解析：因为A=„+2x-8<0}=卜卜4<x<2},5=3忖<2}={x卜2Kx<2},

图中阴影部分表示的集合为：

A&3)={无卜4c尤<2}i{x|x>2或尤<-2}=卜|-4<%<-2},

故选：A.

9.答案：B

解析：由得xWl,

所以A={x|x<l},

由光2_尢_6<0,得(％+2)(%-3)vO,解得一2<%<3,

所以5={x|—2<x<3},

所以AB={x\-2<x<]],

故选：B

10.答案：B

解析：结合题意：因为l<log2(x+l)<3,IUlog22<log2(x+1)<log28,

解得2<x+l<8，即1<XW7，

所以全集U={疝<log2(x+1)W3,xeN}={2,3,4,5,6,7}，

由尤2_7%+10<0可得2(尤<5，所以A={削X2-7X+10<0,XGN}={3,4},

则集合A关于集合U的正交集合B的个数为24=16・

故选：B.

11.答案：B

解析：由|x—l|+|x+2以(x—1)—(x+2)|=3,

当且仅当(x-l)(x+2)<0,即—时，等号成立，得a；

由10—/>0得一如<x<M，即a.

所以AB=[3,V10).

故选：B.

12.答案：ABC

22

解析：对A,若命题。：mxeR,x+x+l<0,则x+x+l>0,故A正确;

对B,尤2一4%+5>0,

令y=f_4%+5,

则△=(—4f一4义5=—4<0,

又丁=f-4》+5的图象开口向上，

不等式必―4x+5>0的解集为R；故B正确；

对C,由(％-1乂％+2)>0,

解得：％<—2或%>1,

设A=6=(f-2)

则故x>l是(％-。(％+2)>0的充分不必要条件，故C正确；

对D,当x=—1时，J(一I>=1。一1,故D错误.

故选：ABC.

13.答案：k>2

解析：因为AB=B，所以BgA，又4={%|尤<左},3=卜]<%<2},所以左之2.

故答案为：k>2

14.答案：{1}(没写集合形式不得分)

解析：由可得，(3+2x)(x—2),,0,且X—2/0，解得一

x-22

又集合B={%|尤>0,xeZ}，

集合AB={1}.

故答案为：{1}.

15.答案：[-,1

_2_

解析：A={x|y=ln(l—2x)}={x|x<g},5={x|炉<x}={x[0<x<1},

所以("A)B=1,1.

故答案为：[-,1.

_2_

(2)函数与导数

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

〉

1.[2024届.黑龙江齐齐哈尔.一模]已知/"(xhx：'+2x：2x0为奇函数，贝’「。=()

x+cue,x<0

A.-2B.2C.lD.-1

2.[2024届.长沙市第一中学.模拟考试]若函数/(x)=4|x-a|+3在区间工+00)上不单调，则a

的取值范围是()

A.[l,+oo)B.(l,^o)C.(f1)D.(-oo,l]

3.[2024届•山西长治•一模校考]研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x(月)与肿瘤细胞

含量/(%)的关系，其函数解析式为其中左>0,b>0,a为参数.经过测算，发

现a=e(e为自然对数的底数).记x=1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的

那么6的值为()

e

A.V5+1B.75-1C.亘^D.叵^

22

4.[2024届.天津宝城区.模拟考试校考]已知函数/（x）的部分图象如图所示，则函数/⑴的解

析式可能为（）

2%22x2

A./(x)=B./(x)=-——-

|x|-l|.x|+l

C./(x)=--D./W=-^-

|x|-lx2-l

5.[2024年新课标II卷高考真题]设函数/(%)=〃(％+1)2-1,g(x)=cosx+2or,当时，

曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点.则。=()

A.-lB.-C.lD.2

2

6.[2024年新课标n卷高考真题]设函数/(x)=(x+a)ln(x+b),若/(x)20,则/+y的最小

值为()

A.-B.-C.-D.1

842

7.[2024年新课标I卷高考真题]已知函数/(幻的定义域为R,f(x)>f(x-l)+f(x-2),且

当x<3时，/(x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

8.[2024年新课标I卷高考真题]已知函数7■⑴二；；：〉；'：；；在R上单调递增，则a

的取值范围是（）

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

二、多项选择题

9.[2024年新课标I卷高考真题]设函数/(x)=(x-l)2(x-4),则()

A.x=3是/(幻的极小值点B.当0<%<1时，/(%)</(x2)

C.当1<%<2时，-4</(2x-l)<0D.当一1<%<0时，/(2-x)>/(x)

10.[2024年新课标n卷高考真题]设函数/(x)=2/_3o?+1,贝lj()

A.当a>1时，/(x)有三个零点

B.当a<0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,/(1))为曲线y=f(x)的对称中心

三、填空题

11.[2024年新课标I卷高考真题]若曲线+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+a

的切线，则。=.

12.[2024届・南宁三中二模]若直线丁=依+1与曲线丁=6+111%相切，则仍的取值范围为.

四、解答题

13.[2024年新课标I卷高考真题]已知函数/(x)=In—^―+ax+b(x-1)3.

2-x

(1)若5=0,且尸(x)20,求。的最小值；

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

(3)若/(x)>-2当且仅当l<x<2,求6的取值范围.

14.[2024年新课标H卷高考真题]已知函数f(x)^ex-ax-a3.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若/(》)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

15.[2024届.山东临沂.二模]已知函数〃x)=ln(G；)+(a-l)x-el

⑴当。=1时，求证：〃尤)存在唯一的极大值点％,且/优)<-2；

⑵若/(%)存在两个零点，记较小的零点为X"是关于x的方程111(1+%)+3=2%+cosx的根,

证明：e'+l>2e'i.

参考答案

1.答案：A

解析：当X<0时，一X>0,所以/(X)=-〃一同=一[(一%)3+2(-%)2]=%3-2尤2,

通过对比系数得。=-2.

故选：A.

2.答案：B

解析：因为函数/(%)=4|%-々|+3在(-00,4)上单调递减，在(a,+Q0)上单调递增.

又函数在区间工+oo)上不单调，所以a>l，

故选：B.

3.答案：D

".-1

解析：依题意，")=如'，而〃2)=。⑴，则e-尸+尸」，即,_尸-1=0,

〃2)=依jee

又>>0,解得人|=^±1,所以6=2^.

22

故选：D.

4.答案：A

解析：由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C,

由图可知，函数的定义城不是实数集.故排除B；

5.答案：D

解析：由题意知/(x)=g(x),则a(x+iy-l=cosx+2ax,即cosx=a(尤?+1)—1.令

必尤)=cosx—a(尤2+1)+1.易知丸(刈为偶函数，由题意知/i(x)在(—1/)上有唯一零点，所以

/?(0)=0,即cosO—a(0+l)+l=0,得a=2,故选D.

6.答案：C

解析：由/(%)20及丁=兀+。，y=ln(x+b)单调递增，可得x+a与ln(x+Z?)同正、同负或同为

零，所以当ln(x+Z?)=0时，x+a=0,即(，所以6=。+1,贝!J

x+a-Q

a2+b2=a+(a+l)2=++g2g，故选C.

7.答案：B

解析：因为当x<3时，/(x)=x,所以/⑴=1,/(2)=2.对于/(x)>/(x—l)+/(x—2),令％=3,

得/(3)>/(2)+/(l)=2+l=3；令尤=4,得/(4)>/(3)+/(2)>3+2=5；依次类推，得

/(5)>/(4)+/⑶>5+3=8；/(6)>/(5)+/(4)>8+5=13；/(7)>/(6)+/(5)>13+8=21；

/(8)>/(7)+/⑹>21+13=34；/(9)>/(8)+/(7)>34+21=55；

/(10)>/(9)+/(8)>55+34=89；/(11)>/(10)+/(9)>89+55=144；

/(12)>/(II)+/(10)>144+89=233；/(13)>/(12)+/(II)>233+144=377；

/(14)>/(13)+fill)>377+233=610；/(15)>/(14)+/(13)>610+377=987；.…显然

/(16)>1000,所以/(20)>1000,故选B.

8.答案：B

解析：因为函数/(x)在R上单调递增，且当％<0时，f(x)=-x2-2ax-a,所以

f(x)=-炉一2ax一a在(_oo,0)上单调递增,所以一aNO,MPa<0；当xN0时,/(x)=ex+ln(x+l),

所以函数/(x)在［0,+oo)上单调递增.若函数/(x)在R上单调递增，则-a</(0)=l,BP«>-1.

综上，实数a的取值范围是［-1,0］.故选B.

9.答案：ACD

解析：因为/(x)=(x-1)2(x-4),所以f\x)=2(x-l)(x_4)+(x-1)2=3(x-l)(x-3),令广⑺=0,

解得x=l或x=3,当x<l或x>3时，/'(x)>0,当l<x<3时，f'(x)<0,所以函数/(x)的

单调递增区间为(—』)，(3,+oo),单调递减区间为(1,3),故x=l是函数/(x)的极大值点，x=3

是函数/(x)的极小值点，所以A正确.

当0<x<l时，x-x2=x(l-x)>0,即0</<X<1,又函数/(X)在(0,1)上单调递增，所以

f(x2)</(x),所以B错误.

当1<%<2时，l<2x—1<3,函数/(x)在(1,3)上单调递减，所以-4=/(3)</(2x-l)</(I)=0,

所以C正确.

当T<x<0时，/(2-%)-/(%)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(%-4)

=(x—1)2(—x—2)—(x—l)2(x—4)=(x—1)2(—2x+2)=—2(x—Ip>0,所以/(2-x)>/(幻，所以D

正确.

综上，选ACD.

10.答案：AD

解析：由题可知，f'(x)^6x(x-a).

对于A,当a>l时，由尸(x)<0得0<x<a,由尸(x)>0得x<0或x〉。，贝|在(―oo,0)上

单调递增，在(0,。)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，且当xf-%时，/(%)--8,/(0)=1,

/(a)=-a3+1<0,当xf-Ko时，/(x)f+8,故/(x)有三个零点，A正确；对于B,当a<0

时，由/'(x)<0得a(尤<0,由/'(x)>0得x>0或x<a,则/(x)在(—8,a)上单调递增，在(a,0)

上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，故％=0是/(x)的极小值点，B错误；

对于C,当xf”时，f(x)+00,当Xf—00时，f(x)-00,故曲线y=/(x)必不存在对

称轴，C错误；

对于D,解法一：/(x)=2x3—3加+1=2(x—--1a2+»令/'=x—会则/(x)可

转化为g⑺=2/一|。2/+1—［，由y=2/—|//为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g⑺

/3\(3、

的图象关于点0,1-—对称，则/(X)的图象关于点-,1--对称，故存在a=2,使得点

、2J122)

(1,7(1))为曲线y=/(%)的对称中心，D正确.故选AD.

解法二:任意三次函数/(乃=以3+法2+5+</(。/0)的图象均关于点一~—成中心对

、3a13a),

称，D正确.故选AD.

11.答案：In2

解析：由题，令/(x)=e'+x,则八x)=e'+l,所以八0)=2,所以曲线y=e，+x在点(0,1)处

的切线方程为y=2x+l.令g(x)=ln(x+l)+a,则g'(x)=」一，设直线y=2x+l与曲线y=g(x)

x+1

相切于点(九0,%),则一-—=2,得/=-工,则%=2/+1=0,所以0=ln[—g+l]+a,所以

XQ+12

〃=ln2.

12.答案：-+oo^

解析：函数y=b+ln尤的导数为了=!，

X

设切点为(%0,冰o+l),所以，=Q,则依0=1,即工=%,

又因为(%0，质+1)在丁=/?+111%上，所以+l=Z?+ln%o,

所以b+ln%o=2,即Z?-ln1=2,所以Z?=2+lna,

所以QZ?=Q(2+lnQ)=2Q+alna(〃>0),

令g(a)=2a+alnQ,g<a)=2+lna+a—=lna+3,

令g'(〃)>。，可得令/(〃)<。，可得

ee

所以g上单调递增,

1

当a趋近正无穷时，g(a)趋近正无穷.

所以质的取值范围为：1-3,+8、故答案为：［-二,+00

Le3)Le3

13.答案：(1)-2

(2)证明见解析

(3)-1''+00)

解析：(1)/(x)的定义域为(0,2),

若〃=0,贝>J/(x)=ln=^-+奴，f\x)=—~工)：^+a=——-----\-a,

2-xx(2-x)2x(2—x)

当xe(0,2)时，x(2-x)e(0,l],=2+a>0,则a»—2,

故a的最小值为-2.

2-r

(2)/(2-x)=ln--+a(2-x)+Z?(l-x)3

X

Xa

——In--------ux—Z?(x—1)+2a——f(x)+2〃,

2-x

故曲线y=/(x)关于点(1,a)中心对称.

(3)由题知f(l)=a=—2,

止匕时/(x)=ln----2%+仪%—1)3,

2-x

/'(X)==•-2+3b(x-1)2

x(2-x)

2「2

=------------2+3b(x—1)2=(%—1)2----------+3/?.

x(2—%)\_x(2-x)

2

记g(x)=—；——+3。，xe(0,2),易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增,

x(2-x)

g⑴=2+3小

7

当62-§时，g(x)>0,f(x)>Q,/(x)在(0,2)上单调递增,

又/⑴=-2,故符合题意.

%八2./、2-3bx"+6bx+2

当/?<——时fH，g(l)<0,g(x)=---------+3Z?=-------------------,

3x(2—x)x(2-x)

令g(x)=。,得X=1±J1+三'

7

因为"一院所以

所以当xel」+Jl+£,寸，g(x)＜。，/'(x)＜。，/(x)在(1,1+上单调递减，故

/

中+产5/(I)=-2,不符合题意.

2

综上，6的取值范围为—,+oo

3

14.答案：(1)(e-l)x-y-l=0

(2)(1收)

解析：(1)当a=l时，/(x)=e=x—1,则0(x)=e=1,

则(⑴=e—1.

/⑴=e-2,所以切点坐标为(l,e-2),

所以切线方程为y—(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

(2)易知函数/(x)的定义域为R,r(x)=e-a.

当aWO时，f'(x)＞0,函数/(x)在R上单调递增，无极值;

当a>0时，由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得％<Ina,

所以函数在区间(-8,Ina)上单调递减，在区间(lna,+s)上单调递增,

所以/(x)的极小值为f()na)^a-aina-a3.

由题意知a-alna-/<0(。>0),等价于l-lna-a?<0(«>0).

解法一：令g(a)=1-1114一储(。〉o),

画119~2a2+a-l2^-4^+8

贝IJg(a)=1----2a=----------=——-----------<0,

aaa

所以函数g(a)在(0,+oo)上单调递减，

又g(l)=0,故当0<QVl时，g(Q)>0；当时，g(Q)vO.

故实数a的取值范围为(1,位).

解法—.：由1—Ina—/<0(<2〉0),得Ina〉—ci~+l(a>0).

如图为函数y=lna与y=-/+i在区间（o,+oo）上的大致图象,

由图易知当a>l时，InaA-M+i,gp1-In«-<0.

所以实数a的取值范围为

15.答案：（1）证明见解析

⑵证明见解析

解析：（1）当a=l时，/（%）=lnx-ex,xe（0,-H»）,

所以/（力=工_仁

X

所以r（x）在（0,+8）上单调递减，且/[£|=2-1〉0,/⑴=1—e<0,

则现使得当XG（O,%O）时，

当％e（%o，+co）时，（无）<0,且/''（/）=0,即工=e~,

玉）

所以“力在（O,x0）上单调递增，在Go，”）上单调递减，

所以“可存在唯一的极大值点%,

M/（x0）+2=Inx0-+2=-x0--+2=-—~~—<0,

所以v-2.

(2)令ln(词+(a-l)x-e*=0,得In(何+ox=x+e*,

设g(x)=x+e，，显然g(x)在定义域上单调递增，

而at+ln(at)=e111^+ln(at),则有gln(ov)=g(x),

所以x=ln(ov).

依题意，方程x=ln(ox)有两个不等的实根，

即函数h(x)=x-ln(ax)在定义域上有两个零点，

显然a/0,当a<0时,网司的定义域为(-8,0),

在(YO,0)上单调递增，网对最多一个零点，不合题意,

所以a>0,可尤)的定义域为(0,+oo),

所以求导，得=工，

X

当0<xvl时，li(%)<0,当％>1时，”(九)〉0,

所以力⑴在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增，

M%)min=硝)=]_姑〃，

要使妆工)有两个零点，必有1-lna<。，即a>e,

止匕时%[口=->0,即h(x)在(0,1)有一个零点，

kajci

M〃2)--31nQ,

令=d_31n%,x>e,

求导得/⑴=2%-3x,显然d(x)在(e,+8)上单调递增，

3

所以/(%)>u(e]=2e——>0,

e

所以在(e,+GO)上单调递增，M(X)>w(e)=e2-3>0,

所以无(/)>(),则函数/z(x)在(1,+8)上存在唯一零点.

由再为x=ln(以)的两个根中较小的根，

X1

得e=axx,Xj>0,

又由已知得23=111(1+0-cos1+3,

从而29=ln(l+。-cos/+3,

因为%>0,

所以29>2,

所以ln(l+f)-cos/+l>0.

设0⑺=ln(l+%)-cos%+l(1>-1),

当1>0时，InQ+z)>。，-1<COS^<1,则0⑺>0符合题意，

当一1<♦«0时，"'(%)=+sinr>0,则0⑺在(-1,0］上单调递增,

所以v0(。)=0不合题意,

所以%>0

所以设zn(x)=e*-ln(l+x)+cos%-2,x>0.

求导，得病(x)=e，---------sin%,当%>0时，

1+%

令"(x)=e，-x-l,^(x)=x-sinx,

则(x)=ex-l>0,^(x)=l-cosx>0,

所以p(x),q(x)在(0,+oo)上单调递增，

从而夕(x)>0,q(x)>0,即e">x+l,x>sinx9

从而m(%)>x+1x=l-=^—>0,

1+x1+x1+x

即加(x)在(0,+GO)单调递增，则m(x)>m(0)=0,

于是e"+l>ln(l+x)-cosx+3,

即ez+l>ln(I+%)-cos%+3=2e'i,

即e'+l>2e再.

(3)三角函数与解三角形

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.［2024年新课标I卷高考真题］已知cos(a+/?)=zn,tanortan/?=2,则cos(a-/?)=()

A.-3mB.----C.一D.3m

33

2.[2024年新课标II卷高考真题]设函数f(x)^a(x+l)2-l,g(x)=cot^x+2ax,当时，

曲线y=/(x)和y=g(x)恰有一个交点.则。=()

A.-lB.-C.lD.2

2

3.[2024年新课标I卷高考真题]当xe[0,2兀]时，曲线y=sinx与牛=2sin(3x-令的交点个数

为()

A.3B.4C.6D.8

4.[2024届嘿龙江齐齐哈尔.一模]已知cos[e+)：,则sin,-/)

7733

A.-B.--C.-D.--

8888

5.[2024届.山西长治.一模校考]已知函数/(尤)=Asin(<yx+o)(A>0,口>0,101<1)的部分图

象如图所示，若方程/(%)=二机在［-］,()］上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()

A.[-2,-A5]B.(-2,-A/3]C.(-2,-l]D.[-2,-l]

6.[2024届•江西•模拟考试]在△ABC中，若sinA=2cosBcosC,则cosz5+cos2c的取值范围

为()

A」!A/2+1

B.c2D.,2

-?2

m.itanCtanC/、

7.[2024届.湖北.模拟考试联考]在△ABC中，AC2+BC2=5AB2,则）

ArJ-6---

-t2

8.[2024届•湖南师大附中•模拟考试]若锐角a,13满足3cos(a+0=cos(zcos〃，则tan(e+0

的最小值为()

A.272B.20C.2旧D.2后

二、多项选择题

9.[2024年新课标II卷高考真题]对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin12x-£|,下列说法中正确

的有()

A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值

C./(%)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴

10.[2024届.河北衡水.二模联考]如图，点A,B,C是函数〃x)=sin(ox+0)(o>O)的图象与

直线y=且相邻的三个交点，且忸C|-|A3|=工，ff--1=0,则()

23I12J

A.①二4

C.函数“力在［看］上单调递减

D.若将函数””的图象沿x轴平移。个单位，得到一个偶函数的图像，则冏的最小值为最

三、填空题

11.［2024年新课标n卷高考真题］已知a为第一象限角，0为第三象限角，tana+tan，=4,

tanatanp=^2+1,贝!Jsin(tz+/7)=.

12.［2024届.山东威海.二模］在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c,已知

b+c—A»cosC=.则sinA=---------

6

13.［2024届.长沙市第一中学.模拟考试］已知函数

/(X)=sinCOS+A/3COS£9X(0<|(y|<1)的图象的一条对称轴为直线x=~,

贝1JCD=.

四、解答题

14.［2024年新课标I卷高考真题］记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinC=A/2COSB,a2+b2-c2=41ab.

(1)求&

(2)若△ABC的面积为3+百，求c.

15.［2024年新课标H卷高考真题］记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinA+V3COSA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,y/2bsmC=csin2B,求△ABC的周长.

参考答案

1.答案：A

sinasinD

解析：由cos(df+J3)=相得cosecos/?-sinasin/3=根①.由tanatan/?=2得---------=2②，

cosacos0

,［cosacos3=-m_

由①②得《，所以cos(e-7?)=cosacos/?+sinasin乃=一3根，故选A.

sinasm/3--2m

2.答案：D

解析：由题意知/(X)=g(x),贝！J6Z(X+1)2-1=COSX+2^X,即COSX=+1)一1,令

h(x)=cosx-a(^x2+1)+1.易知h(x)为偶函数，由题意知力(九)在(一1,1)上有唯一零点，所以

/z(0)=0,即cosO—Q(0+1)+1=0,得a=2,故选D.

3.答案：C

解析：因为函数y=2sin13x-F)的最小正周期T=§,所以函数y=2sin［3x-t］在。2河上

的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数〉=25由［3%-看］与丁=5足工在。2兀］上的图象如

图所示，

由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.

4.答案：A

解析：设tz+'=f,则&=/■一巴，cost=-,sin(2tz—工］=sin2。一工］一工=sinfIt--

664I6［66I2

=_cos2?=_(2COS2,_1)=_-]=—•

故选：A.

5.答案：B

解析：观察图象知，A=2,函数/(x)的周期T=g*-(-g)]=7i,。=与=2,

由/(!1■)=2，得2*5+夕='1+24兀，左eZ,而l9l<],则°=

于是/(x)=2sin(2x+m),当时，2%+三e[―g,]],

当2x+^e[-勺，即xe[-±-型],函数单调递减，函数值从-逝减小到-2,

332212

当2x+^e[-二,当，即xe[-2,0]时，函数/⑶单调递增，函数值从-2增大到石，

32312

显然函数“X)的[-工-马上的图象关于直线x=-型对称，

2312

方程/(%)=根在[-],0]上有两个不相等的实数根，即直线>=加与函数y=/(x)在[-],0]上的

图象有两个公共点，

所以实数机的取值范围是(-2,-.

故选：B.

6.答案：B

解析：SsinA=2cosBcosCsinBcosC+cosBsinC=2cosBcosC,所以tan5+tanC=2,又

--cos^R

2cos5cosc>0,所以5,C均为锐角，即tan_B>0,tanCAO.cosO^B+cosOCu——石--------z—+

sin2B+cos2B

22222

------c-o--s---C------=-------1------1-------1------=----2--+--t-a--n---B---+--t-a-n---C----=----------t-a--n---B--+---t-a-n---C---+--2----------

sin2C+cos2C1+tan2B1+tan2C(^1+tan2B^l+tan2C)tan2Btan2C+tan2B+tan2C+1

.因为tan?J3+tan2C=(tan3+tanC)2-2tanjBtanC=4-2tanBtanC,所以cos26+cos?C=

6-2tanBtanC

设3—tanBtanC=m,贝！]cos2B+cos2C=--------------------------

tan2Btan2C-2tanBtanC+5(3—m)—2(3—m)+5

—=—|—，因为tan^tanCJtan8+tanC[=],当且仅当A=3=乌时等号成

苏—4"吐8m+l_4I2)4

m

Q

立，所以加e[2,3),m+—e[40,6],cos2B+cos2CG1,.故选B.

m

7.答案：B

解析：设AC*BC=a,AB=c,

由3+802=5432,

则it?+〃=5c-,

tanCtanCJcosAcos5sinCsin(A+B)sin2C

------+-------=tanC|-------+-------

tanAtanB<sinAsinBcosCsinAsinBsinAsin5cosC

£!__i、

+b2-c2=—>故选：B.

abx--------------2

lab

8.答案：D

2

解析：3cos(cr+)3)=cosacosP=^>3cosacos/?-3sinorsinp=cosocos/?=^>tanortan

于是tan(6z+〃)=‘an"+tan'=3(tana+tan〃)>6jtanatan/?=2A/6.选D.

1-tanortan/?

9.答案：BC

解析：对于令贝！］弓，又kit

A,/(x)=0,%=keZ,gWO,故A错误;

对于B,/(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确；

对于C,/(x)与g(x)的最小正周期都为兀，故C正确；

对于D,/(%)图象的对称轴方程为2》=二+也，ZreZ,BPx=-+—,ZeZ,g(x)图象的对

242

称轴方程为2x-2=2+版，keZ,即x=型+如，kwZ,故/(x)与g(x)的图象的对称轴不

4282

相同，故D错误.故选BC.

10.答案：ACD

解析：令/(x)=sin(ox+0)=岑得，a>x+(p=^+2kn^a)x+(p=^-+2kn,keZ,

=__兀兀27r

由图可知：coxA+(p=—+2kn,coxc+(p=—+2H+2TI,coxB+(p=-+2kn,

所以忸£+।阴=&"*

coHH

所以]=|5c|-|A创1+2兀）所以口=4,故A选项正确,

所以〃“=sin（4x+0）,由/卜/=0且x=*处在减区间，得sin=0,

JT

所以--\-(p=Tt+2左兀,keZ,

3

47r

所以夕=丁+2.，左£Z,

所以/(x)=sin(4x+也+2左兀]=sin|4x+—|=-sin|4x+—

)兀57171

4x+—G——，2兀+一

333

因为y=-sinf在峰[?,2兀+皆为减函数，故"X）在上单调递减，故C正确；

将函数“X）的图象沿x轴平移9个单位得g（x）=-5由14%+4，+5],（。＜0时向右平移，。＞0

时向左平移），

g（x）为偶函数得4。+]=]+®,keZ,

所以£=（+,,keZ,则冏的最小值为（，故D正确.

故选：ACD.

11.答案：-述

解析：由题知tan(a+yg)=1alia+tan尸一=---4=_2插,gpsin((z+/3)=-2^2cos((z+/3),

1-tan-tan1-^2-1

Xsin2(ci:+/7)+cos2(a+P)=1,可得sin(c+，)=~~~~.由2%兀<a<2%兀+]keZ,

2mn+7i</7