2024-2025学年重庆乌江新高考协作体高三年级上册二调数学试题及答案

重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研（二）

数学试题

（分数：150分，时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.由b2,3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（）个元素

A.15B.16C.17D.18

2.若直线y=2x是曲线，(x)=x(eF*-a)的切线，则()

A.-eB.-1C.1D.e

L」+COS2。/

3.已知tana=2,则一^一二()

sm2a

11

A.3B.-C.2D.-

32

4.若4（1,0）,3（0,6）,C（—2,-2）三点共线，则6=（）

2323

A.----B.----C.-D.一

3232

5.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步.问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘

徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为

6和。的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形

（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为宽为内接正方形的

边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3,设。为斜边8c的中点，作直角三角形

4BC的内接正方形对角线ZE,过点N作4F18C于点尸，则下列推理正确的是（）

图1图2图3

A.由图1和图2面积相等得"=言B.由4E24F可得，

2

C.由402%£可得11D.由4024下可得/+〃2.+6

—+—

ab

6.已知设z=x+yi(x/cR),则|(%—3)+(y+3)i|=2,则|z+l|的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

7.若数列｛4｝为正项等比数列，%=1，数列｛4｝为公差为6,首项为1的等差数列，则数列｛耳，｝前

5项和的最小值为（）

187167147

A.——B.---C.---D.65

444

21

8.设a=tan0.21,Z）=lnl.21,c=——,则下列大小关系正确的是（)

22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.

9.已知非零向量第B忑，则下列结论正确的是（

A.若讥鼠己）=0,贝iJBnB.若（万+B）_Lm一B）,则

C.若晨工=3N，则N=BD.向量（展司己-（鼠/）3与向量5垂直

10.已知根"（0,1）。（1,+°°），若log,“2=--—JogJuL则下列命题正确的是（）

1一2。a

A.若Q=2,则加〃=2B.若Q>2,则加〃>2

C.若mn—1,则a=1D.若加〃>1,则a〉1

11.已知｛coso,cos2a,cos3。｝=｛sina,sin2a,sin3。｝,则。可以是(

71

A.I

3兀

B.一1"

2兀

C"T

兀

D.

14

12.1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数.当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的

点）.他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数.根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都

柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解.之后哈密顿立刻将此方程刻在BroughantBridge.对四元数

K=Q+bi+cj+Mc,Q,仇c,d£R的单位,其运算满足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,

ki=j,ji=—k,kj=-i,ik=-j；记万=q—bi-qj-(7k,N(M)==/+/+/+/，

问=J/+/+c2+d2,定义，1=工，记所有四元数构成的集合为修，则以下说法中正确的有()

U

A.集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到一个八元集合

B.若非零元〃,ve%,则有：u^yu=V-1

C.若瓦,ve「，则有：N(uv)=N(*N(v)

„iu

D.若非零元ae%,则有：M=同

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13.若函数/(x)=/—4"-3在区间(-4,+网上单调递增，则实数。的取值范围是.

14.若/(x)=asin[x+t]+3sin[x+1]是偶函数，则实数°的值为.

15.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子48中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地

均匀的骰子，如果结果小于3她就将3中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入2中，直到无法继

续游戏.那么游戏结束时3中没有糖的概率是.

16.已知。〉0,如果有且仅有四个不同的复数z,同时满足|(z-l)(z+l)2|=。和月=1,则。的取值范

围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=log?:——.

1+X

(1)判断并证明/(X)的奇偶性；

(2)若对任意xe,te卜2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围.

18.海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低.现测得某港口某

天的时刻与水深的关系表如下所示：(3.1时即为凌晨3点06分)

时亥||：X(时)03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y(米)5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

(1)根据以上数据，可以用函数y=Zsin(0x+e)+b来近似描述这一天内港口水深与

时间的关系，求出这个函数的解析式；

(2)某条货船的吃水深度(水面高于船底的距离)为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠

时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据(1)中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时

间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.

19.在V4SC中，角45,C的对边分别为b,c,已知g=1sinC+cosC.

b3

(1)求角8；

BA-BDBDBC

(2)若。是V4SC边ZC上的一点，且满足9a+4c=25,求的最大值.

20.某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上

是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行整理，得

到如下的频率分布直方图：

频率

0.002

0.001,单次最大

O180230280330380430”续航里程/千米

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值方(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽

车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布其中〃近似为样本平均数于，。近似为样本标

准差S.

(i)利用该正态分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续

航里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数，求E(Z)；

参考数据：若随机变量。服从正态分布则尸(〃一b<J<〃+b)=0.6827,

尸(〃一2tr<J<〃+2a)=0.9545,0(〃一3b<J<〃+3b)=0.99731.

(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛

掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点。出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都,，客

2

户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车

向右移动两个单位，直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时，游戏结

束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(〃,0)的概率为

60),试证明数列花一耳”1｝是等比数列(2<«<59),求出数列仍｝(1。<60)的通项公

式，并比较月9和10的大小.

21.已知V45c的三个角4B,C的对边分别是a,b,c,且tanC=3tan8.

(1)若a=2b,求C；

(2)若。=痴，b+c=3,求V4SC的面积.

22.设函数/(x)=2e*+2sinx-(a+l)x.

(1)当a=l时，求/(x)在［0,+8)上的最小值；

(2)若g(x)与/⑴关于N轴对称，当x»0时，/(x"g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研(二)

数学试题

(分数：150分，时间：120分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.由b2,3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有()个元素

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.

【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；

只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12,21,13,31,23,32共6个；

取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123,132,213,231,312,321共6个；

共有3+6+6=15种方法，即由1,2,3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15

个元素，

故选：A.

2.若直线y=2x是曲线，(x)=x(eF*-a)的切线，则。=()

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.

【详解】/=/,(x)=(l+2x)e2x-a,

依题意，直线底=2x是曲线=的切线,

/(e"-a)=2///=(2+a)/

设切点为&27),贝卜

(l+2r)e2z-a=2'(l+2?)e2r=2+a

通过对比系数可得(1+2。/=/,2产=0/=0,则。=一1.

故选：B

1+cos2a

3.已知tana=2,则)

sin2a

A.3C.2D.

2

【答案】D

【解析】

【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.

.1+cos2a2cos2a11

【详解】---------=-----------=-----.

sin2a2sin«costztana2

故选：D.

4.若4(1,0),3(0,6),C(—2,-2)三点共线，则6=()

2323

A---B.----C.一

.3232

【答案】A

【解析】

【分析】利用共线向量的性质，设就=彳益且XwO,进而列方程求解.

【详解】•.•4民。三点共线，=方且4片0，

2=3

zs]-2-1=2(0-1)

得(_2_0=9_0)解得2,

b=—

[3

故选：A.

5.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步.问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘

徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为

6和。的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形

(朱、青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+6,宽为内接正方形的

边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3,设。为斜边8c的中点，作直角三角形

48。的内接正方形对角线ZE,过点/作于点尸，则下列推理正确的是()

图1图3

OA

由图和图面积相等得，一

A,12d=B.由/E24F可得

a+b

la2+b22

C.由402ZE可得1-2——FD.由/。2幺/可得/+/+b

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根据图1,图2面积相等,可求得d的表达式,可判断A选项正误，由题意可求得图3中

的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案

【详解】对于A,由图1和图2面积相等得a/7=(a+b)xd,所以4=9，故A错误；

a+b

对于B,因为//上8C,所以一xaxb=—,片+/x/F,所以吊尸=/

22Ja2+b-

AE=41d=，

a+b

因为所以整'谷'整理得屋之言'故B错诩

对于C,因为。为斜边2C的中点，所以ZQ=

2

2

因为所以交也

4D24E,十忆2整理得1―F，故c正确;

2a+b—+-

ab

对于D,因为ND24F,所以立一+匕2处,整理得故D错误.

2477^

故选：C.

6.已知设z=x+yi(x,yeR),则|(x_3)+(y+3)i|=2,则|z+l|的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先求得复数z实部与虚部的关系，再去求|z+l|的最小值即可解决.

.cx=2cosa+3

【详解】由I(x—3)+(y+3)i|=2,可得(x—3)2+(y+3)2=4,可令〈

y=2sin«-3

贝1J|z+11="(x+l)2+y2="(2cosa+4)2+(2sina-3)2

=,29+16cos。-12sina=j29+20sin(0一a)((P为锐角，且tan°=g)

由一1Vsin(0—a)Wl,可得3Wj29+20sin(e-a)37

则Iz+11的最小值为3.

故选：A

7.若数列｛%｝为正项等比数列，%=1，数列｛4｝为公差为6,首项为1的等差数列，则数列｛可也,｝前

5项和的最小值为()

187167147

A.----B.----C.----D.65

444

【答案】A

【解析】

17,

【分析】由已知可得+ab+ab+%“+%&Uf1F13+19q+25q~,利用导数可求其最小值.

2…233qq

【详解】因为数列｛〃｝为公差为6,首项为1的等差数列，

所以4=1,4=7也=13也=19,4=25,

若数列｛4｝为正项等比数列，%=1，设公比为4,

112

则%-—y，。2=一,%%。5=夕，

qq

所以数列｛〃/“｝前5项和为+。262+。363+a4b4+。5々=~~^----F13+19q+25q2,

1724口一rz(=t,-27—2—70+19/+50g"

设y=-H----1-13+19^+25^,求导可得y=------+19+50^=-------------T-------------------------，

qqqqq

2

令g(q)=_2—7q+19夕3+50/,可得g，⑷=-7+579+200/,

x/m\r~3,十_，/、___/3、2ccc/3、3—7000+5130+5400„

g(9)在(0,+s)上为增函数，又g(q)=-7+57x(历)+200x(­)=------------------------>0,

33

当9之二时，gf(q)>0,所以g(q)在匕7,+oo)上为增函数，

Xg(1)=-2-7x1+19x(1)3+50x(1)4=0,

所以当qe(f,g)j'<0,qe/>0,

,,“，一c1925187

所cr以Vmin=4+14+13+y+—,

3?工+13〉变+四+13=427187

当ge(0,”v=---〉----，

q2q9394'

所以则数列｛%〃｝前5项和的最小值为丁.

故选：A.

21

8.设a=tan0.21,Z)=lnl.21,c=——,则下列大小关系正确的是)

22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

TT

【分析】首先通过构造函数得到当0<x<,时，tanx>x,再通过构造函数

/(x)=x-ln(l+x),0<x<g进一步得到x>ln(l+x),xe0,^由此即可比较a,6,进一步比较

c,b,由此即可得解.

JT

【详解】设0(x)=taiix-x,0<x<5，则J

，/、cosx-cosx-(-sinx)sinx1兀

hf(x)=----------------\-------L--------］二一-——1>0,0<X<-,

cosxcosx2

所以=tanx—X在［og)上单调递增，

所以〃(1)=12口工一工〉〃(0)=0,即tanx>x,0<x<Z,

jr|x

令f(x)=x-ln(l+x),0<x<—,则=l—---->0

1+x

所以/(x)=x-ln(l+x)在［o,］)上单调递增,

从而/(x)=x-In(1+x)>/⑼=0,即x>In(1+x),

所以tanx>x>ln(l+x),,

从而当x=0.21时，a=tan0.21>6=lnl.21,

.cm,兀02446321

a-tan0.21<tan—=——<—=——<——二——二c，

633666622

所以。>a>b.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：在比较6的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.

9.已知非零向量力员己，则下列结论正确的是()

A.若加工)=0,则BnB.若0+B)_L伍—B),则@=行|

c.若雇了=3.万,则g=BD.向量他5-伍工)3与向量)垂直

【答案】ABD

【解析】

【分析】选项A,根据条件，利用数乘向量的定义得到BE=0，即可判断选项A的正误；选项B,根据

条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B的正误；选项C,根据条件，利用数量积的定义，

得至ljm|cos@»=Ecos,Q,即可求解；选项D,根据条件，结合数量积的运算律，得到

[(a-b)c-(a-c)b]-a=O,即可求解.

【详解】对于选项A,因为方为非零向量，若，(鼠3)=0,则3.己=0，故石工己，所以选项A正确，

对于选项B,若伍+彼)•伍-彼)=求一庐=|开一向2=0,故向=|3],所以选项B正确,

对于选项C^a-c^b-c<则⑷•©cos(“〉=⑸.©COS(BQ,

得到同cos@3)=⑸cos色可，不能确定]=B，所以选项C错误，

对于选项D,[(5-(5-c)6]-5=(a-b)c-a-(a-c)b-a=(a-b)(c-a)-(a-b)(c-a)=0,

故兄-万，所以选项D正确，

故选：ABD.

10.已知机,〃e(0,l)u(l,+co),若logM2=^^,log〃2=3,则下列命题正确的是()

i-2aa

A.若a=2,则加〃=2B.若a>2,则加〃>2

C.若mn=1,则a=1D.若mn>1,则a〉1

【答案】ABC

【解析】

【分析】由对数运算的性质得机〃=2“2-2。+1,通过代入a=2即可判断A；由二次函数的性质即可判断B；

代入机〃=1即可求出a的值，则可判断C；由加">1可得2a+l=(a—〉0,可解得a的取值范围，

则可判断D.

2

【详解】由题意知log2m=l—2a/og2〃=a2,JJ/flog2(«/?)=a-2a+1,

所以也〃=2"j+L

对于A,若a=2,则加〃=2i=2，故A正确；

对于B,若a>2,则a~—2a+1=(G—I)2>1,所以mn>2'=2>故B正确；

对于C,若加〃=1,贝UY—2a+l=0，解得a=l,故C正确；

对于D,若加〃>1,则a?—2。+1=(a-I)?〉0,不能得到a〉l,故D错误.

故选：ABC.

11.已知{cosa,cos2a,cos3a}={sina,sin2a,sin3a},则a可以是()

【答案】AB

【解析】

【分析】利用积化和差和辅助角公式得到夜sin(4+P)=J^sin(四+3,即可求解得到。=也或

24243

ct----1—，kGZJ,可求答案.

28

【详解】丁{coso,cos2o,cos3a}={sina,sin2a,sin3a},

cosa+cos2a+cos3a=sin。+sin2a+sin3a,

.a

sin——x(sina+sin2a+sin3a)=sin言x(cosa+cos2a+cos3a),

2

..a..a...a.a.a..a

sincrsin——Fsin2asin——bsm31sHi—=cosasm——I-cosz^zsm——I-cos3^zsin一,

222222

a3a3a5a5a7a.3a.a.5a.3a.la5a

cos-----cos------Fcos-------cos—+cos-------cos——sin--------sin-Fsin--------sin------Fsin-------sin—

222222222222

ala.la.a

cos-----cos——=sm--------sm—

2222

.aa.lala

/.sin.—Fcos——sin.-----Fcos—,

2222

二国呜+?=&n(+»

，呼+〉(■!+；)=3。=2E或++[+：]=4a+'=(2左+1”，k^Z,

2hi,一左兀兀

二.CC-----，左£Z,或(X-------1---，左WZ,

328

3兀71

••・经检验，a=-乃或2符合，其它都不符合.

88

故选：AB.

12.1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数.当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的

点）.他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数.根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都

柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解.之后哈密顿立刻将此方程刻在BroughantBridge.对四元数

u=a+bi+q+dk,a,仇c,deR的单位iJA,其运算满足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,

ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j；iflu^a-bi-cj-dk,N（u]=uu=a1+b~+c1+d2,

|w|=\la2+b2+c2+d2,定义记所有四元数构成的集合为修,则以下说法中正确的有（）

U

A.集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到一个八元集合

l-1

B.若非零元〃,ve%,则有：uvu=v

C.若则有：N（uv）=N（u）N（V）

_iu

D.若非零元ae%,则有："=同

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用已知条件求出所求集合为｛1"/工-1,」,^,一曲即可；对于B,直接给出反例

u=l,v=2即可；对于C,利用N(iz)的定义计算即可；对于D,利用C选项的结果验证即可.

【详解】对于A,由于i2=j2=k2=—l,ji=-k,kj=-i,ik=-j,故集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法可

以得到集合-容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合

的元素按乘法得到的集合是八元集合1,-i,-j,-k｝,故A正确；

对于B,取M=l,v=2,则，%"=尸・2」=1-24=2。!=2一|=V-1,故B错误；

2

对于C,若设〃=a+bi+qj+t/k,v=x+ji+zj+wk,则

N(〃v)=N((Q+bi+qj+(7k)(x+yi+zj+wk))

=N(^ax-by-cz-dw)+(即+Zzx+civ—办)i+(az+cx+方一Z?w)\+^aw+dx-\-bz-cy)k)

=^ax-by-cz-+(即+Zxx+cw—力/+(+ex+-Z?w)2+dx+bz-cy^

=a2x2+b2x2+c2x2+d2x2+a2y2+b2y2+c2y2+d2y2+a2z2+b2z2+c2z2+d2z2+a2w2+b1'w1+c2w2+d2w2

222

=(〃+/+。2+/)12+y+z+w^

=N(a+bi+cj+(7k)N(x+yi+zj+wk)

=N(u)N(v),故C正确；

对于D,根据题目中的定义有N(M)=K，从而

u_uu_uu_N(u)_N(u)_N(u)

KIKIJN”),

,1u

所以0=\UEI，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13.若函数/(》)=/一4如一3在区间(-4,+⑹上单调递增，则实数。的取值范围是.

【答案】(-叫-2]

【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与-4的关系即可求解.

【详解】因为函数/(x)=—-4"—3的对称轴为x=2a,图象开口向上，

所以函数在[2d+8)上单调递增，

因为函数/(“在区间(-4,+8)上单调递增，

所以2a<-4,

解得aW—2.

故答案为：(一00,—2].

14.若/(x)=asin卜+：)+3sin卜+曰是偶函数，则实数a的值为.

【答案】_也

【解析】

【分析】由函数/(x)是偶函数，则代入计算并验证即可求出°•

兀

【详解】函数/(x)是偶函数，则/

（兀）々（兀兀）3兀）.（兀兀）勺.（兀兀）.71.

——二3sm——+—\=—=/\—=asm\—+—+3sm—+—=（2sm—+3,

（6）^63J2{6J（66）（63）3

化简可得a——V3-

当。=—g时，则/（x）=-Gsin[x+E）+3sin[x+"|

.71

+3sinxcos—+cosxsi.n—兀、

33）

A/3cosx

所以/（x）=Gcosx,贝！1/（-x）=A/^COS（-X）=Gcosx=f（x）,

所以函数/(X)是偶函数，则a=—G.

故答案为：-百

15.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子48中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地

均匀的骰子，如果结果小于3她就将8中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入8中，直到无法继

续游戏.那么游戏结束时3中没有糖的概率是.

【答案】—

17

【解析】

【分析】设最初在/中有人颗糖，B中有6-上颗糖时，游戏结束时2中没有糖的概率为

&（左=0,1，…,6）,归纳找出递推关系,利用方程得出旬,再由递推关系求生.

【详解】设/中有人颗糖，8中有6-%颗糖，游戏结束时3中没有糖的概率为纵（左=0,1,…,6）.

、12112、

显然%=]%，4=§%1z。V左45）,

可得4+1—=2（以一%J,贝（JR—。5=21%—〃o）=26〃o，

/.&=+2^=。彳+25a0+2^a。=Q]+22+•••+2^a。=（27_]），

同理%=%+2?Q°+…+2、=（2‘_1）4,

2111

（27T）%=§Q6_1）%+丁解得a0=双丽=—

%=（24—1）为=15x255=jy,

故答案为：—

17

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一

的递推关系，利用递推关系建立方程求出,，即可得出这一统一模型的答案.

16.已知。〉0,如果有且仅有四个不同的复数z,同时满足|（z-l）（z+l）2|=。和目=1,则。的取值范

【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可.

【详解】由"一1）由+l）2|=a可得|z_l||z+l「=a,

又由目=1可得，复数Z在复平面上对应的点在单位圆上，

设单位圆上动点尸，幺(-1,0),5(1,0),则卜-1|表示尸8长度，|z+l|表示尸/长度,

即。二尸「尸八又因为尸产+尸不=人所以"尸"(4-尸炉)，

令PB=x,可设/(》)=十(4一%2)=一》3+4%，xe(0,2)

/,（X）=-3X2+4,令/'，（%）=0,可得x=^L,

所以/（x）=—/+4%在10，¥^]

/'（X）=-3x2+4>0,上单调递增;

/'（X）=-3x2+4<0,所以+4》在

+4义2616〉,/（2）--23+4x2=0,/（0）=0,

所以当ae0,时，x在(0,2)有两解，即在x轴上方一定存在两个复数z对应的点满足条件,

再利用圆关于X轴对称，所以在X轴下方也一定存在两个复数Z对应的点满足条件,

【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为•尸不，再利用产产+产片=4消元，然后再利

用函数求导来研究值域，即可求得。的范围.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=log?；——.

1+X

(1)判断并证明/(X)的奇偶性;

(2)若对任意xe--,1,te卜2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析；

11

(2)——<a<-.

22

【解析】

【分析】(1)利用奇偶性定义证明判断即可;

⑵根据对数复合函数单调性确定/(x)在xe上最小值，把问题化为『+而—5W0在/4-2,2]

上恒成立，即可求结果.

【小问1详解】

/(x)为奇函数，证明如下：

1—V

由解析式易知——〉0n(X—l)(x+1)<0^-1<%<1,函数定义域为(-1,1),

1+x

而/(-x)=log，F3=-log2；上=-/(x)，故/(X)为奇函数.

l-x1+X

【小问2详解】

12111一

由加=--=------1在XG上为减函数，而歹=1。82根在定义域上为增函数，

1+x1+X33

所以/(x)在xe-1,|上为减函数，故/(X)1mli=/(g)=-l,

要使任意xe—,tw卜2,2],不等式+成一6恒成立,

只需，+内—6«—1在,©[-2,2]上恒成立，即/+a/-5W0在/e[-2,2]上恒成立,

4-2a-5<011

由>=/+m-5开口向上,则！=>——<a<—,

[4+2a-5<022

11

综上，—一.

22

18.海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低.现测得某港口某

天的时刻与水深的关系表如下所示：(3.1时即为凌晨3点06分)

时亥U：X(时)03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y(米)5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

（1）根据以上数据，可以用函数>=Nsin（0x+o）+b[0>O，S|<]J来近似描述这一天内港口水深与

时间的关系，求出这个函数的解析式；

（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠

时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时

间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.

5兀

【答案】（1）y=2.4sin一x+5,0<x<24

-31

（2）最早可行的进港时间为1时2分，5时10分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时

长为8小时16分.

【解析】

【分析】（1）由公式/=max—minmax+min可求,由表格可得周期/二口/-0=12.4,进而求

22

①，代入最高点（31,7.4）可求。；

（2）由题意可知进港条件为y>6.2,解不等式即可.

【小问1详解】

由表格可知y的最大值为7.4,最小值为26

.7.4—2.6_.7.4+2.6

所以/=--------=2.4力7=--------=5,

22