2024年北京三十五中初三（上）10月月考数学试题及答案

2024北京三十五中初三10月月考数学一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）y=(−)x1−23的最小值是（1.二次函数）A.3−B.2−C.1−D.12.中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）A.B.C.D.y=2x2平移，得到抛物线y=x−4)+1，下列平移方法正确的是（）23.将抛物线A.先向左平移4个单位，在向上平移1个单位B.先向左平移4个单位，在向下平移1个单位C.先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D.先向右平移4个单位，在向下平移1个单位△，当，，在一条直线上时，4.如图，一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到ABCBC三角板的旋转角度为（）A.30°B.60°C.120°D.150°(−)2−−=有实数根，则满足（）xa5x4x10a5.关于的一元二次方程A.푎≥1且a5B.a1푎≥1且a5a5D.C.6.抛物线y＝ax−2ax−a的对称轴是（）2x=a=C.直线x1=D.直线x=−1A.直线B.直线x2ay=−x2++c，其中，0，此函数的图象可以是（）7.已知函数A.．B.．C.．D.中，C=，AC=5，BC=10，动点，N分别从A，C两点同时出发，点8.如图，在MM从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2yy的面积为S，则与，，△MCNtt个单位长度的速度移动，设运动时间为，点M，C之间的距离为S与t满足的函数关系分别是（）A.正比例函数关系，一次函数关系C.一次函数关系，正比例函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系D.一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共分，每小题2分）x++=a9.已知关于的一元二次方程x240有一个根为1，则的值为________．10.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（，2可以是______．k(−a)，(−)(c)bac，则，b，的大小关系为，反比例函数y__________．=()k0的图象经过点xy=ax2(a0)与直线y=+cb的两个交点坐标分别为A(，−B(2,4)，则使12.如图，抛物线得关于的不等式ax2bxc成立的的取值范围是________.x+x13.抛物线＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____．−，当0x2时，函数值的取值范围为x1=(+)2414.已知二次函数yy__________1215.已知A（−yyyyB（1，C（4，）三点都在二次函数123=−(−)x2+k的图象上，则2，y1yy、的大小关系为_______．3、2y=ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为(0)、−0)．下列说法：16.如图为二次函数①abc0；②方程ax4a+b+c0．2+bx+c=0的根为x1=−1，2=3；③当x1时，随着的增大而增大；④yx正确序号是____________．三、解答题（本题共分，第、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）17.解方程：（1）x22x−8=0；+（2）x2−4x−1=0．=(−)+k的形式，并写出图象的开口方向和顶点坐标．218.将下列函数表达式利用配方转化为yaxh2（1）（2）y=x+2x+4；1y=x2−4x+3．219.已知二次函数y=−x2−2x+3．（1）将二次函数化成yaxh=(−)2+k的形式____________；（2）写出该二次函数图象的对称轴是____________；顶点坐标是____________；xy（3）写出该函数图象与轴的交点坐标是____________，与轴的交点坐标是____________；（4）用五点法在平面直角坐标系中画出y=−x2−2x+3的图象；（5）结合函数图象，直接写出y0时x的取值范围____________．420.画出反比例函数y=−的大致图象，结合图象回答：x（1）当x=2时，y的值；（2）当1x4时，y的取值范围；（3）当−1y4且y0时，x的取值范围．y=ax2+4x+a的最大值是3，求a的值．21.若二次函数22.已知关于x的一元二次方程x26xk+30有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．k中，直线：ly=x−1y=(2,m)相交于点.23.在平面直角坐标系与双曲线x（1）求点A坐标及反比例函数的表达式；x轴交于点B，点P在反比例函数的图象上，当OPB（2）若直线l与的面积为1时，求点P的坐标.124.已函数y=x+2，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质：xx（1）自变量的取值范围是________；xy的几组对应值如下表，请补全表格：（2）与－－－－－－x…0.20.511.522.5……2.521.510.50.2－－ymn…5.853.51.5805.042.924.56.651.754.96m=________，n=________.其中（3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；（4）请写出这个函数的一条性质：________________________；1（5）结合图象，直接写出方程x2−2x+=0的所有实根：________.x25.如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，点E在BA的延长线上，且AE＝AD．连接ECAD相交于点F，与BD相交于点G．（1）依题意补全图形；（2）若AF＝AB，解答下列问题：①判断EC与BD的位置关系，并说明理由；②连接AG，用等式表示线段AG，EG，DG之间的数量关系，并证明．26.已知抛物线y=−x+bx．2Ay（1）点()，B(y2)在抛物线上，总有1y2，求b的取值范围；1Py（2）点()，Qm,y()在抛物线上，当1m2时，总有1y2，求b的取值范围．12y=−x2+2−m+m的顶点为A227.在平面直角坐标系中，抛物线m（1）求抛物线的顶点坐标（用（2）若点A在第一象限，且OA=2，求抛物线的解析式；B(m−m−2)，C(2,2)，若抛物线与线段BCm有公共点，结合函数图象，直接写出的取（3）已知点值范围参考答案一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1.【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质和顶点坐标可得结论．=(−)(−)，x1−3中，a=10，顶点坐标为32【详解】解：∵二次函数y∴该二次函数的图象开口向上，∴当x=1时，二次函数有最小值−3．故选：A．2.【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B.是中心对称图形，故该选项符合题意；C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．3.【答案】C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1，所以抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4.【答案】D【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．△，【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到ABC∴BC与BC是对应边，∴旋转角BCB180150．=−=故选：D．5.【答案】Cax2+bx+c=0(a0)的根与=b−4ac有如下关系：当2【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根．=(−4)24a5−(−)(−)，然后求10利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得a−50且Δ出两不等式的公共部分即可．=(−4)2−(−)(−)4a50，1【详解】解：根据题意得a−50且Δ解得푎≥1且a5．故选：C．6.【答案】C【分析】直接利用y＝ax2−2ax−a图象的性质得出其对称轴．【详解】解：抛物线y＝ax故选：C2−2axa的对称轴是直线−x=1【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．7.【答案】D【分析】根据系数与图象的关系解答即可．y=−x++c得a=−10，2【详解】解：由∴图象开口向下，故A选项错误；∵，0，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，且图象与y轴交于负半轴，故B、C选项错误，D选项正确；故选：D．y=ax+bx+c的图象与字母系数的关系，a决定抛物线的开口方向及大小；2【点睛】此题考查了抛物线a、b的符号决定抛物线的对称轴位置：左同右异；c决定抛物线与y轴交点位置，熟记各字母系数与图象的关系是解题的关键．8.【答案】Dytt【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，S与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可．【详解】解：由题意，AM=t，CN=t，则=−=5−t，11S==(−)=−+2t5tt2t则∴y=t+5，，22ytt与满足一次函数关系，S与满足二次函数关系，故选：D．二、填空题（本题共分，每小题2分）9.【答案】5−【分析】将x=1代入方程x2++4=0，解方程即可得到的值．ax【详解】∵关于的一元二次方程x2++4=0有一个根为1，∴将x=1代入方程x2++4=0，得1+a+4=0，解得：a=−5，故答案为：5【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．y=−x+2（答案不唯一）210.【答案】【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（02∴a＜0，c=2，∴二次函数表达式为：y=-x2+2故答案为y=-x2+2【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键.【答案】cab【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可．ky=()k0的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，随x的增y【详解】解：由题意，反比例函数x大而减小，k(−)(c)b，y=()的图象经过点(−a)k0−2−103，，∵反比例函数，x∴c0ab，故答案为：cab．12.【答案】1x2【分析】由ax2bx+c可得：二次函数值小于一次函数值，可得二次函数的图像在一次函数图像的下方，结合函数的图像与交点坐标，从而可得答案．【详解】解：由ax2bx+c可得：二次函数值小于一次函数值，二次函数的图像在一次函数图像的下方，A(−，B(2,4)又交点坐标分别为，所以：结合图像可得：1x2，故答案为：1x2．【点睛】本题考查的是利用二次函数与一次函数的图像解一元二次不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键．13.【答案】9【分析】由题意可得=b2−4ac=0，即可得到关于m的方程，解出即可．【详解】解：∵抛物线＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，=b2−4ac6=2−=m=94m0，解得：．∴故答案为：．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝24ac0时，抛物线与x轴没有交点．3y5##5x−314.【答案】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当x−1时，y随x的增大而增大，求得当x=0时，y=−3；x=2y=5时，，即可求解．【详解】解：由题意得，a=10，对称轴x=−1，∴当x−1时，y随x的增大而增大，∵当x=0时，y=−3；x=2y=5时，，∴当0x2时，函数值y的取值范围为3y53y5，故答案为：．15.【答案】y＜y＜y##y＞y＞y113223【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．y=−(x−2)+k的图像开口方向向下，对称轴是=2，2【详解】解：∵二次函数15−y1B1y1C4y3∴A（，）距对称轴的距离是，（，）距对称轴的距离是，（，）距对称轴的距离222是2，5∵∴21，2yyy231yyy．1故答案为：23【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．16.【答案】①②③④【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的开口方向、对称轴及y轴的交点可得a、b、c的符号，进而可判断①；根据图象与x轴的交点可判断②；根据图象的增减项可判断③；根据当x=2时，y0可判断④，进而可求解．【详解】解：∵该二次函数的图象开口向上，与y轴的负半轴相交，∴a0，c0，(−0)、0)，x∵图象与轴的交点坐标分别为1+3x==1，方程ax+bx+c=0的根为1=−1，2=3，故②正确；∴对称轴为直线22b−=1，则b=−2a0，∴2a∴abc0，故①正确；∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，∴当x1时，y随x的增大而增大，故③正确；由图象，当x=2时，y0，∴4a+b+c0，故④正确，综上，正确的序号为：①②③④．故答案为：①②③④三、解答题（本题共分，第、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）x=−4x=217.1），21x=2−5x=2+5（2），12【分析】本题考查解一元二次方程，本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小问1解：x22x−8=0，+因式分解得，(x+4x−2=0，)()∴x+4=0或x−2=0，x=−4x=2∴，；12【小问2解：x2−4x−1=0，ac=16−41−1=20，()∵420∴x=，2∴x=2−5，x=2+5．12=(+)+，开口向上，顶点坐标为(3)；x13218.1）y1=(−)x42−5，开口向上，顶点坐标为(−5)（2）y．2【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确配方是解答的关键．（1）利用配方法化为顶点式，进而可求解；（2）利用配方法化为顶点式，进而可求解．【小问1解：由于y=x+2x+4=(x+)+3，a=10，22∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为(3)；【小问21211y=x2−4x+3=(x−4)2−5a=0，，解：由于22∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为(−5)．=−(+)x12+419.1）y（2）直线x=−1；(−4)；（3）(−0)和0)；(3)（4）见解析（5）3x1【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）根据二次函数的性质可求解；y=0x=0，可求解y轴坐标；（3）令，解方程可得x轴的交点坐标；令（4）根据列表、描点、连线可画出函数图象；（5）根据图象，找出图象位于x轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解．【小问1解：二次函数y=−x−2x+3=−(x+)+4，22=−(+)x1+4；2故答案为：y【小问2=−(+)+得，该二次函数图象的对称轴是直线x=−1；顶点坐标是(−4)；x142解：由y故答案为：直线x=−1；(−4)；【小问3y=00=−x2−2x+3x=−3x=1，，2解：当时，由得1(−0)和1,0；x∴该函数图象与轴的交点坐标是()当x=0时，y=3，y∴该函数图象与轴的交点坐标是(0,3)；故答案为：(−0)和(1,0)；(0,3)；【小问4解：列表：xy……−3−2−10310……034描点、连线，如图：【小问5解：如图，当3x1时，二次函数的图象位于x轴的上方，y0时3x1，x故当故答案为：3x1．y=2的取值范围为20.1）；−4y−1（2）（3）x1或x4【分析】作出反比例函数图象，如图所示，（1）把x=2代入反比例解析式求出y的值即可；（2）分别求出x=1与x4时的值，结合图象确定出的范围即可；=yy（3）分别求出y=1与y=4时x的值，结合图象确定出x的范围即可．【小问14y=−解：作出反比例函数的图象，x42把x=2代入得：【小问2y2；解：当x=1时，y=−4；当x=时，y=1，4根据图象得：当1x4时，y的取值范围为【小问3−4y−1；y=1时，xy=4时，x=−1，=4；当解：当根据题意得：当1y4且y0时，x的取值范围为x1或x4．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．21.【答案】1−【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，当a0时有最大值求解即可．y=ax+4x+a的最大值是3，2【详解】解：∵二次函数4a2−42∴a0且=3，即a2a−4=0，−4a解得a=122.1）k＜6（2）k．）利用根的判别式大于，即可得出结论；（2）利用上题的结果及题中要求的k为大于3的整数，限定k的取值，代入此方程中，解方程，求出满足方程的根都是整数的k值．）因为若方程有两个不相等的实数根，则Δ=2-4ac=36-4k+3>0，整理：24-4k>0，解得：k＜，所以k的取值范围为k6；（2）因为＜6，且k3的整数，所以k可以为4或5，当k=4时，原方程为x26x+7=0，无整数解，故舍去，−=2=4，符合题意，当k=5时，原方程为x2−6x+8=0，解为x1所以k=5．所以k的值为5．考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．223.1）点，反比例函数y=2）点P2()或（－，－）12x）代入坐标点先求坐标，再求反比例函数表达式；（2）作图，根据图像求出P点纵坐标，再代入反比例函数即可求出坐标．）∵A在y=x-1上，∴当x=2y=1m=1，点，2y=再把A的坐标代入反比例函数解得：（2）；xB0)由函数表达式可求得点，S=1，∵即12OB|yp=1，∴|yp=1，点()或（－12P2【点睛】此题考查反比例函数与一次函数相关知识，结合图像是关键．x=−0.6x=1，，1224.1）x022.25，45）3=.）观察解析式可直接得出结果；（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；（5）看作两个函数交点问题来解决即可．）x0；（2）分别将x0.5和=x=1带入解析式，得m=2.25，n=2；（3）如图；（4）答案不唯一，如：当x0时，y随x的增大而减小；11（5）对于方程x2−2x+=0，可变形为x2+=2x，求该方程的实数根，即为求函数y1y与交点的横2xx1y=x12+y=，22xy=2x，故在图中做出的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标2坐标，其中xx=−0.6x=1x=．为，，312【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．25.12）①EC⊥BD，理由见解析；②EG−=2AG，证明见解析．）根据题意补全图形即可；（2）①ECBD，证明△AEF≌△ADB（SASAEF＝∠ADB，∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即可求解；②方法一：在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，证明△AEP≌△ADG，得到△G为等腰直角三角形，故可求解；方法二：过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ，证明△AEG≌△ADQ，得到△GAQ为等腰直角三角形，故可求解．1）补全的图形，如图1所示：（2）①解：EC⊥BD．理由如下：由矩形性质知∠DAB＝90°，∴∠EAF＝90°．在△AEF与△ADB中，AE=AD,E=ADB,AF=AB,∴△AEF≌△ADB（SAS．∴∠E＝∠ADB．∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°．∴EC⊥BD．②线段AG，EG，DG之间的数量关系：EG−=2AG．证法一：如图2，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP．在△AEP与△ADG中，=E==，∴△AEP≌△ADG（SAS．∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG．∴∠＝∠+∠DAG＝∠+∠EAP＝∠DAE＝90°．∴△G为等腰直角三角形．∴PG=2AG．∴EG−DG=EG−EP=PG=2AG．证法二：如图3，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ．在△AEG与△ADQ中，E=ADQAE=