2024-2025学年新教材高中数学第四章三角恒等变换4.3.2半角公式作业含解析北师大版必修第二册

PAGE3.2半角公式(15分钟35分)1.已知cosθ=-QUOTE,θ∈QUOTE,则sinQUOTE+cosQUOTE=()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为θ∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE.2.(2024·西安高一检测)已知cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,则QUOTE=()A.-QUOTE B.-2 C.QUOTE D.2【解析】选B.由cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,得sinα=-QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=-2.3.(2024·济南高一检测)在△ABC中,若sinBsinC=cos2QUOTE,则下面等式肯定成立的为()A.A=B B.A=CC.B=C D.A=B=C【解析】选C.在△ABC中,因为sinBsinC=cos2QUOTE=QUOTE,所以2sinBsinC=-cosBcosC+sinBsinC+1,所以cosBcosC+sinBsinC=cos(B-C)=1,因为-π<B-C<π,所以B-C=0,B=C.4.(2024·福州高一检测)已知sinQUOTE-cosQUOTE=-QUOTE,450°<α<540°,则tanQUOTE的值为________.

【解析】由题意得QUOTE=QUOTE,即1-sinα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,因为450°<α<540°,所以cosα=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.答案:25.(2024·永安高二检测)若α∈QUOTE,化简:QUOTE=________.

【解析】因为α∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以cosα<0,sinQUOTE>0,所以QUOTE=QUOTE=-cosα.所以原式=QUOTE=QUOTE=sinQUOTE.答案:sinQUOTE6.(2024·浦东高二检测)已知α,β∈QUOTE且α<β,若sinα=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,求:(1)cosβ的值;(2)tanQUOTE的值.【解析】(1)因为α,β∈QUOTE,sinα=QUOTE,所以cosα=QUOTE,因为α<β,所以α-β∈QUOTE,又cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=-QUOTE,所以cosβ=cosQUOTE=cosαcosQUOTE+sinαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由(1)得cosβ=QUOTE,所以sinβ=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·洛阳高二检测)已知cosQUOTE=QUOTE,α∈QUOTE,则sinQUOTE=()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.因为角QUOTE是QUOTE的2倍,所以sin2QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为α∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE·cosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.(2024·延安高一检测)设cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=QUOTE,且y是第四象限角,则tanQUOTE的值是()A.-QUOTE B.±QUOTE C.-QUOTE D.±QUOTE【解析】选A.因为cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=QUOTE,所以siny=sinQUOTE=sin(x+y)cosx-cos(x+y)sinx=-QUOTE,因为y是第四象限角,所以cosy=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由半角公式得tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.3.(2024·三亚高一检测)若3π<x<4π,则QUOTE+QUOTE=()A.QUOTEcosQUOTE B.-QUOTEcosQUOTEC.QUOTEsinQUOTE D.-QUOTEsinQUOTE【解析】选C.因为3π<x<4π,所以QUOTE<QUOTE<2π,sinQUOTE<0,cosQUOTE>0.于是QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=cosQUOTE-sinQUOTE=QUOTE=QUOTEsinQUOTE.【补偿训练】给出下列等式:(1)QUOTE-tanQUOTE=-QUOTE;(2)QUOTE=tan(α-β);(3)QUOTE=-QUOTE;(4)tan2QUOTE=QUOTE.其中正确的等式序号是________.(将你认为正确的等式序号全部写出来)

【解析】对于等式(1),左边=QUOTE=2×QUOTE=QUOTE,等式(1)不成立;对于等式(2),左边==QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-tanQUOTE,等式(2)不成立;对于等式(3),左边=QUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=-tanQUOTE=-QUOTE,等式(3)成立;对于等式(4),等式右边=QUOTE=QUOTE=tan2QUOTE,等式(4)成立.答案:(3)(4)4.已知函数f(α)=4(sin2α-cos2α)+2,在锐角三角形ABC中f(A)=6,且cos2B=cos2C,则tanB的值为()A.1 B.QUOTE-1C.QUOTE+1 D.QUOTE【解析】选C.因为函数f(α)=4(sin2α-cos2α)+2=4QUOTEsinQUOTE+2,又因为在锐角三角形ABC中,f(A)=6,所以f(A)=4QUOTEsinQUOTE+2=6,即sinQUOTE=QUOTE,所以2A-QUOTE=QUOTE或2A-QUOTE=QUOTE,解得A=QUOTE或A=QUOTE(舍去),又因为cos2B=cos2C,所以2B=2C,即B=C=QUOTE,所以tanB=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1.【误区警示】留意本题中锐角三角形的限制,产生多解后要对其进行检验.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2024·长沙高一检测)下列三角式中,值为1的是()A.4sin15°cos15° B.2QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选ABC.A.4sin15°cos15°=2sin(2×15°)=2sin30°=1,本选项符合题意;B.2QUOTE=2cosQUOTE=2cosQUOTE=1,本选项符合题意;C.QUOTE=tan(2×22.5°)=tan45°=1,本选项符合题意;D.QUOTE=QUOTE=cosQUOTE≠1,本选项不符合题意.6.已知函数f(x)=QUOTE-2sinxcosx,则下列选项正确的是()A.函数f(x)的最小正周期是πB.函数f(x)在区间QUOTE上单调递增C.函数f(x)的图象关于点QUOTE对称D.函数f(x)的图象关于x=-QUOTE对称【解析】选AD.因为f(x)=QUOTE-2sinxcosx=cos2x-sin2x=QUOTEcosQUOTE,对选项A,函数的最小正周期为T=QUOTE=π,故正确;对选项B,因为-QUOTE≤x≤QUOTE⇒0≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)在QUOTE上单调递减,故错误;对选项C,fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE,函数不关于点QUOTE对称,故错误.对选项D,fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE,函数f(x)的图象关于x=-QUOTE对称,故正确.【光速解题】B选项可以将区间端点值代入验证得fQUOTE>fQUOTE,故不成立,由对称中心在平衡位置处及对称轴对应的函数值为最大或最小值易知C错D对.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·杭州高一检测)若α的终边上的点(x,y)满意y=2xQUOTE,则sinα-cosα=________,tanQUOTE=________.

【解析】在α的终边上,随意取一点QUOTE,则sinα=QUOTE=-QUOTE,cosα=QUOTE=-QUOTE,则sinα-cosα=-QUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE-QUOTE8.(2024·上海高一检测)若△ABC为等腰三角形,顶角为A,cosA=-QUOTE,则sinB=________.

【解题指南】利用等腰三角形进行A,B两角的关系转化,从而由A角的函数值得B角的函数值.【解析】因为△ABC为等腰三角形,顶角为A,所以B=QUOTE,sinB=sinQUOTE=cosQUOTE,由半角公式得cosQUOTE=±QUOTE=±QUOTE,又cosA<0,故A为钝角,QUOTE∈QUOTE,所以sinB=cosQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=QUOTE.(1)求fQUOTE的值;(2)当x∈QUOTE时,求g(x)=QUOTEf(x)+sin2x的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cos2x.所以fQUOTE=2cosQUOTE=2cosQUOTE=-QUOTE.(2)由(1)知f(x)=2cos2x,g(x)=QUOTEf(x)+sin2x=cos2x+sin2x=QUOTEsinQUOTE.因为x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以g(x)max=QUOTE,g(x)min=-1.10.(2024·上海高一检测)如图,在xOy平面上,点A(1,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π).(1)若点BQUOTE,求tanQUOTE的值;(2)若+=,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+·的取值范围.【解析】(1)因为BQUOTE,∠AOB=θ,所以cosθ=-QUOTE,sinθ=QUOTE.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-3.(2)Sθ=QUOTEsinθ=sinθ,因为=QUOTE,=QUOTE,所以=+=QUOTE,所以·=1+cosθ,所以Sθ+·=sinθ+cosθ+1=QUOTEsinQUOTE+1(0<θ<π),因为QUOTE<