平面向量综合题型梳理

平面向量综合1.用向量解决平面几何问题的步骤⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;⑶把运算结果“翻译”成几何关系.题型1向量与三角形的综合例题1在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=l:l:①，且3AAg=；，则AB•BC+BC•CA+CA•AB的值是（B.22【解析】在AABC中，设内角A,B,C所对边为a,b,c，根据正弦定理可知-a-=-b-=-c-,sinAsinBsinC已知sinA:sinB:sinC=1:1:<2，所以a:b:c=1:1:42，显然AABC是等腰三角形，即显然AABC是等腰三角形，即a=b,c=2bb,S二1n1b.b=1nb=1AABC 2 2因此有a=b=1,c=<2所以AB•BC+BC•CA+cA•AB=cb-cos（兀--）+ab.cos（兀-三）+bc-cos（兀-三）=-2，选c4 2 4练习1.已知AABC,AB=6,AC=3,N是边BC上的点，且BN=2NC,O为AABC的外心，AN.Ao的值为（ ）C.C.18，一 f1 2—【解析】因为BN=2NC，所以AN-AB=2AC-2AN，因此AN=-AB+-AC；取AB，AC中点分别为D,E，则OD1AB，oe1AC；

因止匕前二诟花二」前2=18,AC-AO=ACAE2所以AN•49=(1—>2——>-AB+-AC•A0=(3 31'—r2—所以AN•49=(1—>2——>-AB+-AC•A0=(3 3一A小A0+—AC・A0=6+3=9.选。3 3练习2.已知向量正=(sinA,sinC),n=(cosC,cosA),前不二sinIB.且NA、NB、ZC分别是:\ABC的三边。、b,。所对的角.(1)求NB；(2)若b=2,a+c=4,求&A5C的面积.【解析】(1)m-n=sinAcosC+cosAsinC=sin2B,「.sinB=2sinBcosBBB为AABC的内角，则0<B<兀,sinB丰0,⑵由余弦定理，得：cosB-a2+02一b2，即：cos二竺上£三2ac 3 2ac，a2+c2—ac+4,aa+c=4,/.(a+c)2―a2+c2+2ac=16,，ac-4/.S =—acsinB=AABC 2练习3.在一中，内角L：.的对边分别为/「，已知「一'一=：（1）求角.「的大小；（2）若:■‘刀在一边上，且8；一、；， •，-T，且、「求|.'二「・・|必「b【解析】（1）因为acosB-c=，、、1-1由正弦定理得：sinAcosB-sinc=4』：，所以sinAcosB-（sinAcosB+cosAsinB）=「，TOC\o"1-5"\h\z1d.1 .d—i1 2jf所以cosA=-.：,又0<A<兀，故A".，.上 Jj— ^―- 23T 2IT（2）由b-c=2/:，a=4、「，A=.',由余弦定理得：（4「：）2=b2+c2-2bccos,,lJ kJ即b2+c2+bc=48，又b-c=2;、所以b2+c2=40,bc=8,又M、D在BC边上，且用=2BK,|."・"•=0,所以2iM=i",:,所以4加2=八*2+此2+2油-A('=b2+C2-bc=32,所以A羽2=8,11由三角形面积公式得：］|明怛力|可疝II的用M一8x— 一 一一所以14洌= 2=1,所以总值2=1,所以14Ml2+L4川2=94题型2向量几何意义的灵活应用例题2设0、4、5是平面内不共线的三点，记出二足QB=b,若P为线段45垂直平分线上任意一点,且「亦=5,当同=2同=1时测/值一而等于 ()5 3A.3B.0C.-D.-【解析】设网是线段48的中点根据题意，得丽=血+而,0A-0B=BAOP^OA-丽;=(而+加)・曲="初曲+滋・由，■■■MP与曲互相垂直:•丽•煽=口.因此..宓曲-网)=f加•威，又“(M”中，0M是4日边上的中线，血=；例+QB}111・•.(?初.BA=-(tM+0B)-BA=-(tM+OB}(0A-0B)=^0A2-OB2);而|=2,QE=1,^0P-[0A-0B)=()MBA=^(22-l2)=|.故选：D.练习1.如图，△/比'是边长为2的等边三角形，点0,£分别是八用网的中点.BB(I)连接■一并延长到点'，使得••二 ］，求二』的值;

(ID若点户为边AC上的动点，|Q|多长时，两瓦:最小，并求最小值.【解析】(I)如图，以点仃为坐标原点，咒£0匚所在直线分别为％y轴建立平面直角坐标系,则久&口)，川-工⑨曲1,0)£(04矶E翳)设而=2诙,修弓设而=2诙,修弓!T*4 4AF=AF=A0+(fF-(L。)+[)囚=44｛浮)44(H)设才P=tAC=4I事)=设P(孙)/P=画上+V)=(0刷,得PC"g)贝|]血=[1-t,-&t)p£=(--tr^--\倍。3 ।③ 3 1APb^£=(1-t-^) ^t)=4X2-4t+-=4(t--)2+-占 占 U MU1---・••当2时，pope取最小值，此时|/ip|二i练习2.如图在△AOB中,。是边05的中点，。是边04上靠近0的三等分点,A。与5。交于M点.设曲V,由4.(1)用鼻，百表示的;(2)过点M的直线与边04,05分别交于£,F.设仇■寸内，,二p饰,求L?的值.

【解析】（1）设用=而+防则月初二饱-醇=0-1)而+yOB=(z-l)a¥yb,AD=0D-0A=-士申・ZMD三点共线，.”况，疝共线，从而/x-l）=-y…①又CM,5三点共线，...mi,■（必共线，同理可得/y-I）=-x…②ij联立①②，解得,联立①②，解得,故41=4+劣.(2)EM=(2)EM=0M—0E= 卜己5—pQ=(尸一p)口.4—E.■JO J JEF=OF-0E=(]b-pct.•••皿用洪线，・・・匕\ 2 I2广pq=-"]，整理得—+--J/ s pq（1）求证:M是。。的中点；（2）若A5=2,5C=1,H是5M上异于点B的一动点，求&•的的最小值.【解析】⑴设画二机匚力,丽二疝4,由题意知醒=［血=3就"M）［（况+加:i］）W麻t|m比，(27=1-今解得—m=nu又=血+CN(27=1-今解得—m=num=7 i1.•・匚何=加力=#,即乱是。。的中点.n=—(2)'：AB=2,BC=1是。。的中点，.*.MBM，NA5M=45°),AH-^=(AB+丽后E=-(魂+论)•丽=&-丽-I的|2二-|油||丽匕05(180。-/45切-I丽|2

二胸曲I必45。」的2『②曲-I曲|2二(|曲|.yj2+；・・・当I研1=梃即H与M重合时M计的取得最小值，且最小值为。题型3向量与三角函数化简及性质综合例题3 已知向量弓二(sin0,cos0-2sin0),b=(1,2).--sin0-cosO⑴若。/小求币由的值;(2)若ao<0<k,求e的值.【解析】(1)因为〃〃b,所以2sin®=cos®—2sin®,于是4sin®=cos®(2)若ao<0<k,求e的值.【解析】(1)因为〃〃b,所以2sin®=cos®—2sin®,于是4sin®=cos®；当cos®二0时，sin0=0,与sin2®+COS2®二1矛盾，所以cos®。。,a1故tan0=-，所以4sin0•cos0sin0-cos0tan0 41+3cos20 sin20+4cos20 tan20+465(2)由Ia1=1bI知，sin20+(cos0-2sin0)2=5,即1一4sin0cos0+4sin20=5，从而-2sin20+2(1-cos20):4，即sin20+cos20=-1,八兀于是sin20+-=<2 八 兀 兀9兀一_,又由o<0<^知，-<20+^<彳，兀 5兀 兀 7兀 兀 3兀所以20+= 或20+=，因此0=5或0=.I I I I 乙 练习1.已知-一：,油丁i：,■ :....：,函数.[J一.，.上(I)求仁)的对称轴方程;(II)求使「二十：成立的•的取值集合;7TJT(III)若对任意实数」：I.」，不等式：匕：・二<'’恒成立，求实数门的取值范围.OJ【解析】(I)*：「, .・一1-CQS^X1 +-sIyQx=717T令工-，…一金,解得・kn37r…M37r.工，！二」的对称轴方程为「=.一Zo(II)由।：得'，"三!'「I,即血：二一，二2 4 2 4jT7?3ttjTITJT故ITJT故x的取值集合为•北十版。与+忱A".又万Z=o,•,•2。+5）乙=夫+1.训=B=1且展5=o,•,•1+3=挹.'.|c|2+l=2^|ccos<c,a+^>,又cos<E,@+B>e[-1,1],即€[-1,1]解得：72-1vI斗V*+1,本题正确结果；[J2—1J2+1]TOC\o"1-5"\h\z练习l已知直线:「L」,一,；―—♦=二…三•【过定点।，线段：,」•是圆.. ： ： ।的直径，则月b后二.【解析】直线.： .■ ■ ■：■三•」：可化为1■ 1 !1 ■,』jc-by-1=0联立：一"・，解得点「।,・・,线段「是圆:一"”「—：・'「=•的直径，AI'1■ 1 1 ' '」.'' ':练习2.如图，已知八 :;,B为AC的中点，分别以AB,AC为直径在AC的同侧作半圆，M,N分别为两半圆上的动点〔不含端点A,B,G,且BM^SN,贝收,小的最大值为.可得।「：，：：，,・「，以AB为直径的半圆方程为•. 'I-'■■1以AC为直径的半圆方程为. ・ .： ■: ■

设K(2+285525出口),N(4+4皿耶河哂,0<a,J?<tfRM1RN,可得Dffd'=(-24-rZcoscf^sina)■RM1RN,可得Dffd即有一8s邛十8（3508邪十sipasinp）=0即为白口邛=cosacosp+sinasinP，即有u口邛=co5（a-0）又。＜% 可得f=比即口=邛川厂•Tn（2*2cosaf2sina）（-4+4ms/?,4si叩）刈,1内CN=-8-Scosa+8cosP+&（匚口5农。50+5mos加月）=-8-Scorer+16m邛=1£匚。邛-16Ms/19=-16（co5/？--J2+41 IT 2ti h■*可得门口讨一=口，即£=仃=可时，川/厘的最大值为4士 lJ kJ练习3.已知圆C/+0+1＞=4,过点PC0Z的直线I与圆相交于不同的两点4B（/）判断曲•西是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由（II）若曲•而=1,求直线珀勺方程【解析】⑺当直线，与工轴垂直时（斜率不存在）,A,R的坐标分别为（0「3）此时两.由二A当直线，与喑由不垂直时，设工的斜率为自，直线1的方程为y=入+2设八卜蹿，必：联立4消去y得（1+庐）/+6kx+5=0-6k S则有与*一行，^2=~一百1+¥1+A=3我-加（1+Y）＞00后＞：PAPB=x1x2+（为-RO”2）又力二丘1+2,y2=kx2+2所以脸•曲=帆与卜后尤］/=（庐+I）/蜘=5,综上，曲即为定值5(II)0A0B=与心+y必=®+1)巧小+2Mti+/)+4=6k=6k +4=1+k2-1水 +9=1+ic2所以直线，的方程为 「一或’..：：।：,题型5向量与圆锥曲线综合2 2例题5 已知椭圆C三+5=1(口>匕>。)，F/2为其左、右焦点上为椭圆匚上除长轴端点外的任一点，。为/b2内一点，满足3两二PR+麻1P々的内心为/,且有店;；1%同(其中:为实数)，则椭圆门的离心率2二【解析】设P（加%），V3PG=P%+PF2=2Po.♦•用=[陶.・.G为叫户&的重心，.・.g点坐标为G停当・・,布二/1%，・,・历||万轴，・・・/的纵坐标为一3在明「/中，|PF/+|PF2|=2a」F[Fj二及，叫叫=展巴打小仇|又/为A&PF?的内心，.・./的纵坐标勺即为内切圆半径l3由于/把A&P&分为三个底分别为AF1P/的三边，高为内切圆半径2的小三角形lJ1 y0i i y0：・5屿产产或PQ\+IVJ+用&1)1卬，,度国&||y0|=-(|pf1|+1&&|+叫)引即.2cj|y0|=^(2a+2c)|—.\2c=a£j -uJJ椭圆。的离心率:•二La2练习1.已知椭圆C:02+卷=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为左，且椭圆C的上顶点到椭圆C的左、右顶点的距离之和为2J5.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P,Q是直线x=t上的不同两点，点P为椭圆C上一点，若点P,Q满足诙•迎=2诙•可，点M在直线x=2<3上，且可•西二2，直线l过点Q且垂直于直线OM，其中O为坐标原点，求证:点F