近年中考数学压轴题大集合二

近年中考数学压轴题大集合(二)象限.(3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ²=BQ·EQ?若存在，求出点(2)能。连结AE,∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°.(3)分析：假设在直线EB上存在点Q,使AQ²=BQ·EQ.Q点位置有三种情况：解题过程：①当点Q₁与C重合时，AQ₁=Q₁B=Q₁E,显然有AQ₁²=BQ₁·∴Q₁(5,-4)符合题意；=4.8(或).∴Q₂点的横坐标是2+AQ₂·A∠BAQ₂=2+3.84=5.84,③方法一：若符合题意的点Q₃在线段EB外，则可得点Q₃为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.由Rt△Q₃BRoRt△EBA,△EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t,RQ₃=4t,BQ₃=5t,【注：此处也可由列得∴Q₃点的横坐标为设Q₃(2,),过点Q₃作Q₃R⊥x轴于点R,于F,,∴可得直线AF的解析式为又直线BE的解析式是(1)求抛物线解析式(用h、d表示);视为抛物线形拱桥，①~⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。(i)求拉杆⑤DE的长度；值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗?(只需写结论)0≤k≤1),GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，tg∠FOG=tg∠CAO?此时点G与OA线段有什么关系?[解](1)用顶点式，据题意设y=ax²+h代入A(d,0)得(2)(i)h=9,代入(1)中解析式得y=x²+9据题意OE=d,设D(d,yo)(3)OG=kd,∴点F坐标可设(kd,yF)代入,此时点G是线段OA的黄金分割点。19.已知：抛物线经过A(2,0)、B(8,0)、C(0,)(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为P,把△APB翻折，使点P落在线段AB上EF,设AZ=x,PE=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EF明理由。[解](1)设即(2)顶点P(又(3)若二轴则(舍去)若轴，显然不可能。或注：抛物线(1)请在横线上直接写出抛物线一的解析式： ;(2)当时，判定区的形状，并说明理由；(3)抛物线上是否存在点区，使得四边形为菱形?如果存在，请求出区的值；如果不存在，请说[解](1)(2)当四时，为等腰直角三角形.3分A从而为等腰直角三角形.(3)假设抛物线上存在点四，使得四边形区为菱形，则从而区为等边三角形.21.如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n<+m交y轴于点F,FB=FA.抛物线y=ax²+bx+c过点E、F、G且是否改变?说明你的理由.[解](1)根据题意得到：E(3n,0),G(n,-n)坐标为(0,m)(2)∵抛物线y=ax²+bx+c过点E、F、G,解方程组：而矩形AOBC的面积=2n²,∴△AMH的面积：矩形AOBC的面积=3:1,不随着点A的位置的改变而改变.(2)求P点坐标；(3)在x轴上是否存在点Q,使以点^是梯形?若存在，请直接写出直线PQ白[解](1)∵∠ACB=90°,CO⊥AB,∴∠ACO=∠ABC.明理∴Rt△ABC中，设AC=3a,BC=4a∴方程可化为x²-12x+32=0.解得x₁=4,X₂=8(3)存在，直线PQ解析式为：y=-x-4或y=--423.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线是方程x²-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.作CE⊥x轴于点E.∴点C的坐标为(3,6)(2)作DF⊥x轴于点F△OFDn△OEC,=,于是可求得OF=2,DF=4.∴点D的坐标为(2,4)设直线AD的解析式为y=kx+b.把A(6,0),D(2,4)代人得解得(3)存在.二、函数与方程综合的压轴题1.已知抛物线y=-x²+mx-m+2.(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且(2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的面积等于27,试求m的值.[解](1)设点A(x₁,0),B(x₂,0).则x₁,x₂是方程x²-mx+m-2=0的两根又AB=|x₁-X₂|=∴m的值为1.∴当m<2时，才存在满足条件中的两点M、N.这时M、N到y轴的距离均为∴解得m=-7.2.已知二次函数(为常数，△=)的图象与轴相交于A,BZ两点，且A,B两点间的距离为区，例如，通过研究其中一个函数及图象(如图),可得出表中第2行的相交数据。(1)在表内的空格中填上正确(1)在表内的空格中填上正确ZZ区△2Z四61231-3(2)根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系?再举[解](1)第一行则 (2)求证：函数的图象与x轴必有两个不同的(3)如果函数的图象与x轴相交于点2.求这个函数的解析式.[解](1)∵二次函数图象的顶点在x轴上，又∵四∴这个函数图象的开口方向向上.(另解：∵这个二次函数图象的顶点在x轴上，且与y轴的正半轴(2)∵,∴这个函数是二次函数.(3)由题意，得而,点C的坐标为(0,-1).(1)若a=2,c=-3,且二次函数的图像经过点(-1,-2),求(2)若a=2,b+c=-2,b>c,且二次函数的图像经过点(p,-2),求证：b≥0;(3)若a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图像经过点(q数值y是否大于0?请证明你的结论.∵该函数的图像经过点(-1,-2),,解得b=1.或∴当时，二次函数所对应的函数值大于0.5.已知：如图，A(0,1)是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB,过B作BCLAB,交(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时，点C也与O点重合);且x₁²+x₂²-6(x₁+x₂)=8,求直线1的解析(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D,过C作数关系式为：方法二：过点C作CGLx轴，交AB的延长线于点H,则AC²=(1-y)²+x²=(1+y)²,化简即可得。(3)设直线的解析式为y=kx+b,则由题意可得：-16=0,解之得：k₁=2,k₂=-,当k₁=2、b=-1时，不合题意(舍去),∴所求的直线1的解析式为：y=2x-16.已知抛物线y=x²+mx-2m²(m≠0).(1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是否存在实数m、n,使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由.[解](1)△∴该抛物线与轴有两个不同的交点。(2)由题意易知点区、区的坐标满足方程：由于方程有两个不相等的实数根，因此△2,即或01.已知：在Rt△ABC中，∠B=90°,BC=4cm,AB=上的中点.若P为AB边上的一个动点，PQI/BC,且交AC于点Q,以PQ为一边，在点A的异侧作正方形(1)如图，当AP=3cm时，求y的值；(3)当y=2cm²时，试确定点P的位置.[解](1)∵PQ//BC,∴.∵BC=4,AB=8,AP=AP=1.(2)∵AP=x,∴时，得x=7,即P 将y=2代入时，得,即P点距A点2.操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由.(图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用)证明如下：过点P作MN//BC,分别交AN,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形(如图1).∴NP=NC=MB.(2)解法一由(1)△QNP≌△PMB.得NQ=MP.,BM=PN=CN=1因+1.作PT⊥BC,T为垂足(如图2),那么四边形PTCN为正方形.=CN²=(1-)²=7x²-四+1).①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC,△PCQ角形(如图3)解法二：此时3.如图1和2,在20×20的等距网格(每格的宽和高均是1个单重合的位置开始，以秒X单度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右(1)如图1,当Rt△ABC向下平移到Rt△A₁B₁C₁的位置时，请你在网格中画出Rt△A₁B₁C₁关于直线QN成轴对称的图形；最小值?最大值和最小值分别是多少?[解](1)如图1,△A₂B₂C₂是△A₁B₁C₁关于直线QN成轴对称的(2)当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时(如图2),则有：MA=x,MB=x+4,MQ=20,=2x+40(0≤x≤16).由一次函数的性质可知：当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72.(3)解法一：当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时区=-2x+104(16≤x≤32).对应着(2)中△QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中O在BA上移动，以O为圆心作⊙O,使⊙O与边BC相切，切点为D,设⊙O的半径为x,四边形AODC的面积为y.[解](1)如图①,过点C作CE⊥AB,垂足为E..又②(3)当⊙0与BC、AC都相切时，设⊙0与AC的切点为G,连结OG、OC(如图②),则OG=OD=x.A、B重合),PQ⊥AB,垂足为P,交半圆O于Q;PB是半圆O₁的直径，⊙O₂与半圆O、半圆O₁及PQ都相切，切点分别为(1)当P点与O点重合时(如图1),求⊙O₂的半径r;上移动时(如图2),设PQ=x,⊙O₂的半径图(1)∵四边形ODO₂C是矩形，即：9,根据勾股定理得：化简得：图(2)每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时，求(4)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。(1)如图3,过点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM图3 A由于△=-704<0整理，得2。解得(不合题意，舍去)过点Q作QE⊥AD,垂足为E,E(4)设存在时刻t,使得PQ⊥BD。如得。解得t=9AD//BC,AB⊥BC,AB=2,DP在边BC上运动(与B、C不重合),设PC=x,四边形ABPD的面积为y。(1)求y关于x的函数关系式，并写E(2)若以D为圆心、为半径作⊙D,以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P,当xE为何值时，⊙D与⊙P相切?并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。[解](1)过点D作DE⊥BC于E,∴S四边形ABPD==4-x,当点P与点E不重合时，在Rt△DEP中，∵⊙P的半径为x,⊙D的半径为，此时四边形ABPD的面积y=4-=此时四边形ABPD的面积y=4-=∴⊙P与⊙D相切时，四边形ABPD的面积为或米.两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动.当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止.点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为区(秒).(1)当时间区为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分)等于2厘米²;运动时，阴影部分的形状随之变化.设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(厘米²),求出S式，并指出自变量的取值范围；部分面积S有最大值吗?若有，请求出最大值；若没有，请说明理由.解得Z=1,Z=2②当2<L≤3时，S=③当3<E≤4.5时，(3)有；②在2<E≤3时，当2=3,S有最大值，有最大值，9.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C'D(1)操作：固定△ABC,将△C'D'E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);你的结论.(2)操作：将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每(图3);的面积为y,求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.C落在C'E′的中点，边BC交D'E′于点M,边AC交D'C'于探究：在图4中，线段C'N·E'M(图4);CC图3图4(也可用旋转方法证明BE=AD)S10.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-10,0),B(一OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m(m>0)个单位长度，得到四边形O₁A₁P₁B₁.设四边形O₁A₁P₁B₁与四边形OAPB重叠部分图形的周长为1.(1)求A₁、P₁两点的坐标(用含m的式子表示);(2)求周长1与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围.[解](1)过点B作BQ⊥OA于点Q.(如图1)由翻折的性质可知，PA=OA=10,PB=OB=10,∴四边形 ∴B₁F=L=5,②当4<m<14时，(如图3)设P₁A₁交x轴于点S,P₁B₁交OB于点H,=-2m+38.11.四边形OABC是等腰梯形，OA//BC。在建立如图的平面直角坐标系中，A(4,0),B(3,2),点M从O点以每秒3个单位的点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q,连结的取值范围。(2)过C作CEx轴于E,则CE=20当(5)、①若QM=QA而MP=4—(1+t+2t)=3—3t②若AQ=AM③若MQ=MA解得或t=—1(舍去)于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s;点P沿CA、AB向终点B运动，速度为[解](1)∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°,∴PC=2CQ上，过点Q作(4)显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离13.如图4,已知⊙O的半径OA=2,弦AB=4,点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA(3)当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切?如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由.[解](1)过点O作OD⊥AB,垂足为D, ∵AF+OF=OA,∴∴函数解析式为.函数定义域为个动点，过P(2)求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；QC(3)当时，求x的值.即点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P这时点P的坐标。∵四边形ABCD是等腰梯形，∴点B的的坐标为(5,因)此时△OCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形17.如图，在以0为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1,AB与小圆相切于点A,与大圆相交于B,大圆的弦BCLAB,过点C作大圆的切线交AB的延长线于D,OC交小圆于E.∵小⊙O与AB相切于点A,∴∠BAO=90°定义域为.%EC.则设OC=x,则CE=Z 综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或如图②,若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm²)(不考虑点P与G、F重合的情况).(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.(3)是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24?若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.(参考数据：114²=12996,115²=13225,116²=13456或4.4²=19.36,4.5²=20.25,4.6²=21.16)或4.4²=19.36,4.5²=20.25,4.6²=21.16)[解](1)∵Rt△EFGoRt△ABC,(s).,FH=-(x+5).过点○作OD⊥FP,垂足为D.x²+Ax+3(0<x<32.(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24.解得∴当x=(s)时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别(3)是否存在时刻t,使得PDI/AB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t≤4);若不存在，请简要说明理由.[解](1)由题意知CQ=4t,PC=12-3t,∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，形PQBA是梯形，∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形.(3)设存在时刻t,使得PD//AB,延长PD交BC于点M,如图若PDI/AB,则∠QMD=∠B,又∵∠QDM=∠AB=20,∴QM=四若PD//AB,则,得∴当t=秒时，PDI/AB.(4)存在时刻t,使得PD⊥AB.时间段为：2<t≤3.(1)当n=4时，求m的值；(3)当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底图②图③[解](1)解法一：连结OB当n=4时，解得(舍去),分当n=4时，解得(舍去),(2)存在点C,使△PBC为等边三角形当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点.∴∠BPC=60°,∴△PBC为等边三角形连结OB,∠OBP=90°,OB=2,得OP=4(3)如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D,当EF与连结OB、OM,易得四边形OMDB为正方形. (这3点分别是M,M₁,M₂其中M是PB中垂线与⊙O的切点，2.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.(1)如图甲，已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗?若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连结三则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行割，称为2阶分割(如图2)…依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),①若△DEF的面积为10000,当n为何值时，2<Sn<3?②当n>1时，请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式(不必证明)图1(1阶)图3(3阶)[解](1)正确画出分割线CD(如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D,CD即是满足要求的理由：∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°= ∴当n=63.如图(1),AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB,点P是射线AT上的一个动点(P与A不重合),PC与⊙O相切于C,过C作CE⊥AB于(1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加(3)设过A、C、D三点的圆的半径是R,当CF=-R时，求∠APC的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹).所以AT是⊙O的切线.所以PA=PC.所以PD=PC=PA.两个三角形.所以AT//CE.所以CF=EF.(6分)可见△CEB也被PB三角形.(7分)所以EF/PA=1/4.P点的作图方法见图.(3)若(1)的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG²=BF·BO成立?试写出你的猜想，并说明理由。[解](1)连结OC,证∠OCP=90°即可结论BG2=BF·BO成立。要让此结论成立，只要证明△BFG∽△BGO5.已知：直线a//b,P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上为等腰梯形，其两腰PM=QN。请你参照图①,在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。(2)我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形， ab会有两条“曲线段相等”(曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”)。请你在图③中画出一种图形，使夹在一平行直线a和b之间的两条曲线段相等。a b(3)如图④,若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ=m,下底MN=n,且m<n。现计划把价格不同的两种花草种植在S₁、S₂、S₃、S₄四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草?请说明理由。或或故园艺师应选择S₁和S₂两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。6.已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作(1)当四边形ABCD是矩形时，见图1,请判断与匿的大小关系，并说明理由；?若存在，请求出满足条件的所有一的值；若不存在，请说明理由。∴四边形PEAM、PNCF也