第14章 函数的奇偶性-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第14章函数的奇偶性【知识衔接】————初中知识回顾————正比例函数：图象关于原点对称一次函数：当时，图象关于原点对称反比例函数：图象关于原点对称二次函数：当时，图象关于轴对称————高中知识链接————奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【经典题型】初中经典题型1．已知点、是正比例函数图象上关于原点对称的两点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A故选A2．反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m＞0故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；将A（﹣1，h），B（2，k）代入得到h=﹣m，2k=m，∵m＞0∴h＜k故③正确；将P（x，y）代入得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入得到m=xy，故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上故④正确，故选：C．3．已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵抛物线开口向上，对称轴为直线（即y轴），点比点到对称轴的距离近，∴．点睛：（1）当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大．4．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（）A．都关于轴对称B．开口方向相同C．都经过原点D．互相可以通过平移得到【答案】A故选A．高中经典题型1．下列函数为奇函数的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x【答案】D【解析】A，B中显然为非奇非偶函数；C中为偶函数．D中函数定义域为R，又，∴为奇函数．2．已知定义域为的函数是奇函数，求的值．【答案】【解析】，，．3．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，得，解得故，为上的增函数，，故．4．若函数是奇函数，函数是偶函数，则()A．函数是奇函数B．函数是奇函数C．函数是奇函数D．是奇函数【答案】B【解析】若函数是奇函数，函数是偶函数，对于选项A．设，则函数为非奇非偶函数，对于选项B．设，则，故函数是奇函数，选项B正确；对于选项C．设，则函数是偶函数，故选项C不正确；对于选项D．设，是偶函数，故选项D不正确；综上，正确的只有选项B,故选B．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．抛物线y＝2x2－3的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴【答案】D【解析】试题分析：b=0，抛物线的对称轴是y轴，所以顶点在y轴上，故选D．2．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x2【答案】C3．如图，直线y=x与双曲线的一个交点为A，且OA=2，则k的值为．【答案】2．【解析】∵点A在直线y=x，且OA=2，∴点A的坐标为，把代入得，，∴k=2．4．如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为_______．【答案】（4，1）【解析】试题分析：∵点A（2，2）在函数（x＞0）的图象上，∴2=，得k=4，∵在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC=2，∴点B的横坐标是4，∴y==1，∴点B的坐标为（4，1），故答案为：（4，1）．5．如图，直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转a度角（0°＜a≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是__．【答案】平行四边形【解析】分析：本题考查的反比例函数图像的对称性和平行四边形的判定定理得出即可．解析：因为反比例函数是中心对称图形，所以OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形．故答案为平行四边形．6．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（2，5），则另一个交点坐标为________．【答案】（﹣2，﹣5）【解析】∵另一个交点的坐标与点（2，5）关于原点对称，

∴另一交点的坐标为（-2，-5）．故答案是：(-2,-5)．7．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，（1）求k的值；（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．【答案】（1）8；（2）﹣4＜x＜0和x＞4．（3）点P的坐标为（8，1）或（2，4）．详解：（1）∵直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，∴×4=2，即：A点的坐标为（4，2），∴k=4×2=8，即：k的值为8．（2）∵点A与点B关于原点O对称，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2），又∵不等式x＞的解，是函数图象上直线位于双曲线上方的部分对应的x的取值，∴由图象可知：不等式x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．（3）作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，）．∵P、Q关于O点对称，A、B关于O点对称，∴四边形APBQ为平行四边形，∴4S△OAP=24∴S△OAP=6．学科！网①当点P在直线AB的下方时，如图1所示，S△OAP=×4×2+（+2）（a﹣4）﹣a•=6，∴a2﹣6a﹣16=0，解得：a1=﹣2，a2=8，∴此时点P的坐标为（8，1）；②当点P在直线AB的上方时，如图2所示，S△OAP=a•+（+2）（4﹣a）﹣×4×2=6，∴a2+6a﹣16=0，解得：a1=2，a2=﹣8，∴此时点P的坐标为（2，4）．综上所述：点P的坐标为（8，1）或（2，4）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图像解不等式，平行四边形的判定与性质及分类讨论的数学思想，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）利用两函数图象的上下位置关系解不等式；（3）找出关于a的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键．————再战高中题——能力提升————B组1．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）【答案】（1）为奇函数；(2)为奇函数2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3) C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【答案】B【解析】依题意，且，∴，则．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx【答案】D4．已知函数对一切，都有，则为()A．偶函数 B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数D