2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直习题含解析新人教A版必修第二册

.6.3平面与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为()A.90° B.60° C.45° D.30°解析∵PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,故选A.答案A2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中相互垂直的平面有()A.1对B.2对C.3对D.5对解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.答案D3.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部解析因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又因为平面ABC∩平面ABC1=AB,所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,即H在直线AB上.答案A4.(2024全国高一课时练习)如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=.

解析取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案25.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.

解析过A作AO⊥BD于点O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADO=45°.答案45°6.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为.

解析取BD中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.∴∠AOC=90°.又∠BAD=∠BCD=90°,∴△BAD与△BCD均为直角三角形.∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,∴△ACD为等边三角形.∵E为CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.答案90°7.(2024江西新余一中高一月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面B1BCC1是正方形,M,N分别是A1B1,AC的中点,AB⊥平面BCM.(1)求证:平面B1BCC1⊥平面A1ABB1;(2)求证:A1N∥平面BCM;(3)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10,求三棱锥C1-BB1M的体积.(1)证明∵AB⊥平面BCM,BC⊂平面BCM,∴AB⊥BC.在正方形B1BCC1中,BB1⊥BC,∵AB∩BB1=B,∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC⊂平面B1BCC1,∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1.(2)证明设BC中点为Q,连接NQ,MQ,如图所示.∵N,Q分别是AC,BC的中点,∴NQ∥AB,且NQ=AB.又点M是A1B1的中点,∴A1M=A1B1.∵AB∥A1B1,且AB=A1B1,∴NQ∥A1M,且NQ=A1M,∴四边形A1MQN是平行四边形,∴A1N∥MQ.∵MQ⊂平面BCM,A1N⊄平面BCM,∴A1N∥平面BCM.(3)解如图所示,连接A1B,则,∵M为A1B1的中点,∴三棱锥C1-BB1M的体积.8.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)证明如图所示,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又因为AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又因为BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.实力提升练1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.答案D2.(2024全国Ⅲ高考)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线解析如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,解除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=,ON=1,MF=,BF=,则EN==2,BM=,∴BM≠EN.故选B.答案B3.(多选题)(2024山东高三月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P-BC-A的大小为45°D.BD⊥平面PAC解析如图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM⊂平面PMB,∴AD⊥平面PMB,故A正确;对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=,PM=,在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确;对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.答案ABC4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满意时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析连接AC,则AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一)5.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=.

解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案26.(2024全国Ⅲ高考)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.7.(2024内蒙古自治区包钢一中高二月考)如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,点D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.(1)求证:EF⊥PD;(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.(1)证明连接BD,在△ABC中,∠B=90°.∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC.又∵PB⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AC⊥PB.∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD,∵PD⊂平面PBD,∴EF⊥PD.(2)解连接BD交EF于点O,由(1)知EF⊥平面PBD,∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,且PO⊂平面PBD,∴EF⊥PO.∵PB⊥平面ABC,BC,AB⊂平面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC.∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2.∵OF=AC=,∴PF=.在Rt△FPO中,sin∠FPO=,∴直线PF与平面PBD所成的角的正弦值为.(3)解过点B作BM⊥PF于点M,连接EM.∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B,∴AB⊥平面PBC,∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC.∵PF⊂平面PBC,∴PF⊥BE.又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME,∵EM⊂平面BME,∴PF⊥EM,∴∠BME为二面角E-PF-B的平面角.在Rt△PBF中,BM=,∴tan∠BME=.∴二面角E-PF-B的平面角的正切值为.素养培优练(2024全国高一课时练习)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满意BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F为侧棱PC上的随意一点.(1)求证:平面AFD⊥平面PAB;(2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.(1)证明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA⊂平面PAC,∴PA⊥平面ABCD.又AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD.又AB⊥AD,PA∩AB=A