2024-2025学年人教版六年级上册 第八单元数学广角-数与形（单元复习讲义）

2024-2025学年六年级数学上册单元复习讲义（人教版）

第八单元数学广角一一数与形

（思维架构+知识精讲+习题精练+知识拓展）

从简单图形入手分析

总结数的规律

用规律解决图形问题

数与形

数形结合

根据题意，画出图形

找出规律，根据规律计算

知识点01：探索并发现规律

数与形是有联系的，这种联系称之为数形结合。数与形常常从各

自不同的角度互通互助，数用来揭示图形的本质，图形可以蕴含数

量关系。数形结合的方法是一种很好的数学思想方法，它能帮助我们

把复杂的问题简单化，把抽象的问题直观化、形象化。

1.有些问题利用画图的方法解决起来更简单。从上图中可以直观

地看出随着加数的不断增加，圆的面积和线段的长度越来越接近1,

当有无限多项相加时其结果为1。

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2.数形结合的方法确实是一种很好的数学方法，它能帮助我们把

复杂的问题简单化，把简单的问题直观化、形象化。

【例1】用小棒按照如下方式摆图形，用2024根小棒可摆（）

个正八边形。

【答案】289

【分析】摆1个正八边形需要的小棒数为8根，即7义1+1;摆2个正八边形需

要的小棒数为15根，即7x2+1；摆3个正八边形需要的小棒数为22根,即7

x3+l；……摆n个正八边形需要的小棒数为：7n+lo求用2024根小棒可摆多

少个正八边形，就是当7n+1=2024时，求n的值。

【详解】摆n个正八边形需要的小棒数为:7n+l,由此列方程得：

7n+1=2024

解：7n+1-1=2024-1

7n=2023

7n+7=2023+7

n=289

所以用2024根小棒可摆289个正八边形。

【例2】观察下面的图形，按照规律，第6堆有（）个棋子；第n

堆有（）棋子。

OOOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOOOOOQOO

第1堆第2堆笫3堆第4堆

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【答案】142n+2/2+2n

【分析】每堆有两排棋子，第一排棋子个数分别是1、2、3、4……,第二排棋

子个数分别比第一排多2个即3、4、5、6……。根据棋子的数量关系解答。

【详解】第n堆的第一排有n个棋子，第二排有(n+2)个棋子，共有(2n+

2)个棋子。

当n=6时，棋子数是2x6+2

=12+2

=14(个)

第6堆有14个棋子，第n堆有(2n+2)个棋子。

【例3】一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。

(1)3张桌子拼在一起可坐()人，5张桌子拼在一起可坐

()人。

(2)依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可

以坐多少人？

【答案】⑴10；14

(2)(2n+4)人

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【分析】1张长方形桌子可坐6人，6=2x1+4；2张桌子拼在一起可坐8人,

8=2x2+4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可

坐（2n+4）人。据此解答即可。

【详解】⑴2x3+4

=6+4

=10（人）

2x5+4

=10+4

=14（人）

则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。

（2）nx2+4=（2n+4）人

答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n+4）人。

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:习题精炼I

一、选择题

1.将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆（）个棋

子。

A.463B.191C.441D.420

2.观察下列的图形，照这样摆下去，第n个图形中有（）个白色方块。

A.n+4B.3nC.3n+2D.6n—1

3.如图，图1有1个阴影三角形，图2有3个阴影三角形,图3有6个阴影三角形,

按此规律，图11有（）个阴影三角形。

D.50

4.如图，按照规律，在图10中，阴影小正方形与空白小正方形相差（）个。

sS

H•••

图1图2图3图4

A.49B.47C.41D.39

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二、填空题

5.如图，3个同样的杯子叠在一起高20厘米，5个这样的杯子叠起来高24厘米，7个这

样的杯子叠起来的高度是______厘米，n个这样的杯子叠在一起的高度是_______厘米。

6.如图所示图案是我国古代窗格的一部分，其中代表窗纸上所贴的剪纸，则第5幅图

中的个数为个，第n幅图中“O”的个数为个。

7.根据下图中的规律，括号里应该填（

4916

三、判断题

8.下面图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。

rcn।LiLi11uuLTI

inntiznnrntLnTti....

黑色：123

白色：81318-

照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43。（）

9.如图，用小棒摆图形，摆第8个用了17根小棒。（）

△0ZSZS7

①②③④

10.同一平面内的6条直线，最多有15个交点。（）

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四、解答题

OOOO

OOOo••oo•••o

11.oeoo••oo•••o

ooooooo

①②③④

（1）找规律，在横线上画出第四幅图。

（2）第12幅图中有（）个。，有（）个・。

12.为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。

①②③

（1）按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要（）根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（）

根火柴棒。

（2）如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备（）根火柴棒。

⑶准备88根火柴棒最多能摆（）条这样的“金鱼”。

13.下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？

32-1=852-32=1672-52=24

照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形?

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参考答案：

1.A

【分析】根据图示可知：

第1幅图棋子个数：22+3=4+3=7个；

第2幅图棋子个数：32+4=9+4=13个；

第3幅图棋子个数：42+5=16+5=21个；

第4幅图棋子个数：52+6=25+6=31个；

第n幅图棋子个数：(n+1)2+(n+2),据此解答。

【详解】由分析可得：第n幅图棋子个数：(n+1)2+(n+2)。

当n=20时，

(20+1)2+(20+2)

=441+22

=463(个)

第20个图形需要摆463个棋子。

故答案为：A

【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能

力。

2.C

【分析】第一个图形有5个白色方块，第二个图形由8个白色方块，第三个图

形由11个白色方块；5、8、11、……后面每个图形依次增加3个白色方块。

【详解】5=3x1+2

8=3x2+2

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11=3x3+2

第n个图形是（3n+2）个。

照这样摆下去，第n个图形中有（3n+2）个白色方块。

故答案为：C

【点睛】解答此题的关键是根据图形的序数与白色方块的个数找出规律，然后

再根据规律解答。

3.B

【分析】根据图形的规律：

图1：阴影三角形有1个；

图2：阴影三角形有1+2=3（个）；

图3：阴影三角形有1+2+3=6W；

图4：阴影三角形有1+2+3+4=10（个）；

图n:阴影三角形有1+2+3+……+n（个）

几个连续的自然数相加=（首项+末项）x项数+2

【详解】1+2+3+4+■■■+11

=（1+11）xii-2

=12x11-2

=66（个）

按此规律，图［［有66个阴影三角形。

故答案为：B

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4.C

【分析】从图中分析：

图1：阴影小正方形有8个，空白小正方形有1个；

图2：阴影小正方形有8个，空白小正方形有16个；

图3:阴影小正方形有24个，空白小正方形有16个；

图4：阴影小正方形有24个，空白小正方形有32个；

从图中发现，从图2开始，新增的外圈都比内圈增加了8个。

图2：有3层，除了第一层，有2层，顺序是：阴影部分、空白部分，增加了8

个，则相差9个；

图3：有4层，除了第一层，有3层，顺序是：阴影部分、空白部分、阴影部

分，空白的部分没有变，则相差9个；

图4：有5层，除了第一层，有4层，顺序是：阴影部分、空白部分、阴影部

分、空白部分，阴影的部分没有变，则相差17个；

也就是当图n中，n是偶数的情况下，相差的数量=4n+l；如果是奇数的情况

下，相差的数量是4(n-l)+1

图10时，10是偶数，利用4n+l公式得出相差的数量。

【详解】4x10+1

=40+1

=41(个)

阴影小正方形与空白小正方形相差41个。

故答案为：C

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5.2814+2n

【分析】(1)具体思路是先求出单个杯子的高度，再根据与已知条件的关系逐

步计算其他情况的高度。求单个杯子的高度：5个杯子比3个杯子多了2个

杯子，高度多了24-20=4厘米，所以一个杯子的高度是4+2=2厘米。求

7个杯子的高度：3个杯子高20厘米，那么7个杯子比3个杯子多4个

杯子，多4x2=8厘米，所以7个杯子叠起来的高度是20+8=28厘米。

(2)已知杯子总高度为20厘米，第一个杯子的高度是：杯子总高度一间隔高

度即为：20-4=16厘米，已知杯子与杯子间隔高度是2厘米，3个杯子有2

个间隔，以此类推，n个杯子就有n-1个间隔，每个间隔的高度是2厘

米，有n-l个间隔，所以间隔的总高度就是(n-1)x2,最后可列式为：

16+(n-l)x2,算出结果即可。

【详解】(1)两个杯子的高度为：24-20=4(厘米)

一个杯子的高度为：4+2=2(厘米)

3个杯子叠一起20厘米，那么最下面一个杯子的高度为20-2x2=16(厘

米)

7个杯子叠起来的高度为16+2x(7-1)=16+12=28(厘米)

7个这样的杯子叠起来的高度是28厘米。

(2)16+(n-l)x2

=16+2n-2

=14+2n

n个这样的杯子叠在一起的高度是14+2n厘米

6.173n+2

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【分析】根据题意发现：一个窗格需要5个，每多1个窗格就增加3个

"O",则第n个图形有0:5+（n-1）x3=（3n+2）个，据此解答即可。

【详解】3x5+2

=15+2

=17（个）

第n个图形有0:5+（n-1）x3=5+3n-3=（3n+2）个

第5幅图中“O”的个数为17个，第n幅图中“O”的个数为（3n+2）个。

7.—

36

【分析】由图可知，分数的分母表示三角形的总数，分子表示阴影三角形的总

数。第1个图中共有（2x2=4）个小三角形，阴影的三角形有3个，阴影三角

形占三角形总数的1；第2个图中共有（3x3=9）个小三角形，阴影的三角形

有5个，阴影三角形占三角形总数的g；第3个图中共有（4x4=16）个小三

角形，阴影的三角形有7个，阴影三角形占三角形总数的由此可知第4个

16

图中共有（5x5=25）个小三角形，阴影的三角形有7+2=9个，阴影三角形

占三角形总数的《，……,据此再用同样的方法写出分数。

【详解】6x6=36

9+2=11

所以用分数表示是上括号里应该填

Jo36

【点睛】此题的关键是了解分数分母表示的是三角形总数，分数分子表示的是

阴影三角形的个数。

8.V

【分析】根据题意，黑色正方形的数量=图形序号数，第n个图形就有n个黑

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色正方形；白色正方形数量与序号数n(黑色数量)的数量关系是：白色数量

=5n+3,据此解答。

【详解】当n=8是，5x8+3=43；

照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43,故说法正确。

【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够根据已知图形数量找出数量关

系。

9.V

【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小

棒(3+2)根；摆3个三角形需要小棒(3+2+2)根；……摆n个三角形需要

小棒的根数是3+2(n-l)。据此解答。

【详解】摆n个三角形需要小棒

3+2(n-1)

=3+2n-2

=(2n+1)根

当n=8时，

2x8+1

=16+1

=17(根)

用小棒摆图形，摆第8个用了17根小棒。此说法正确。

故答案为：7

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规

律，并运用规律做题。

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10.7

【分析】2条直线相交，最多有1个交点。3条直线两两相交，最多增加2个交

点，最多有3个交点。1+2=3个。4条直线两两相交，最多增加3个交点，

最多有6个交点。1+2+3=6个。5条直线两两相交，最多增加4个交点，最

多有10个交点。1+2+3+4=10个。6条直线两两相交，最多增加5个交

点，最多有15个交点。1+2+3+4+5=15个。根据以上规律可知，n条直线

两两相交，最多有1+2+3+4+…+(n-1)个交点。

【详解】由分析可知：

1+2+3+4+5

=3+3+4+5

=6+4+5

=10+5

=15(个)

则同一平面内的6条直线，最多有15个交点。原题干说法正确。

故答案为：7

11.(1)见详解；

(2)52；144

【分析】(])观察图形可知，第①幅图中一共有9个图形，表示为32,•有

1个，表示为12；。有8个，表示为32-12；

第②幅图中一共有16个图形，表示为42,•有4个，表示为22；。有12

个，表示为42-22；

第③幅图中一共有25个图形，表示为52,•有9个，表示为32；。有16

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个，表示为52-32；

由此可知，第n幅图•有n2,。有(n+2)2-n2；第四幅图•有42=16

个，。有62-42=20个，据此画出第④幅图；

(2)根据以上规律，第12幅图中，。个数有(12+2)2-122个；•个数有

122个,据此解答。

【详解】分析可知：

OOOOOO

OOOOOO••••O

OOOOO•••OO••••O

⑴OOOO•••O

fO•OO••OO•••OO••••O

OOOooooooooooooooo

①②③

(2)。的个数：(12+2)2-122

=142-144

=196-144

=52(个)

・个数：122=144(个)

第12幅图中有52个O,有144个・。

【点睛】本题主要考查数与形，关键是根据所给图形找出规律，并利用规律解

答问题。

12.(1)386n+2

⑵200

(3)14

【分析】(1)根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼

都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的

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根数为8+(n-1)x6根；据此解答。

(2)根据(1)求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，

进而求出4组需要的火柴棒。

(3)我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火

荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6,就可以得到

88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条

“金鱼”。

【详解】⑴8+(6-1)x6

=8+5x6

=8+30

=38(根)

8+(n-1)x6

=8+(6n-6)

=8+6n-6

=(6n+2)根

按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要

(6n+2)根火柴棒。

(2)当n=8时，

6n+2

=6x8+2

=48+2

=50(根)

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50x4=200（根）

如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴

棒。

（3）（88-2）+6

=86+6

-14（条）

准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。

13.40个

【分析】观察题意可知，图①的最外圈正方形个数=8x1,图②的最外圈正方

形个数=8x2,图③的最外圈正方形个数=8x3,……,据此推出图n的最外圈

正方形个数=8n,据此可得第5个图形最外圈有多少个小正方形。

【详解】图①的最外圈正方形个数：8=8x1

图②的最外圈正方形个数：16=8x2

图③的最外圈正方形个数：24=8x3

图n的最外圈正方形个数：8n

当n=5时，

8n

=8x5

=40（个）

答：第5个图形最外圈有40个小正方形。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规

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律，并运用规律做题。

知识拓展

“数形结合”是我们学习数学的重要方法之一。请你结合图形回答。

)

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11,

-+——=14—()=()

H816'

那么:+;+"+-+)=()o

［卷案］121ZX1_t

［,44881616nn

【分析】

表示把大正方形看作单位’T,把它平均分成2份，深