2024-2025学年人教版八年级数学上册复习：轴对称压轴训练（构造等腰三角形、手拉手模型9类压轴）解析版

轴对称压轴训练

（构造等腰三角形、手拉手模型9类压轴）

01压轴总结

目录

压轴题型一利用平行线+角平分线构造等腰三角形................................................1

压轴题型二过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形................................................7

压轴题型三利用倍角关系构造新等腰三角形.....................................................15

压轴题型四等腰三角形中底边有中点时，连中线................................................21

压轴题型五等腰三角形中底边无中点时，作高..................................................26

压轴题型六巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形........................................32

压轴题型七共顶点的等边三角形手拉手模型....................................................40

压轴题型八共顶点的等腰直角三角形手拉手模型................................................46

压轴题型九共顶点的一般等腰三角形手拉手模型................................................51

02压轴题型

压轴题型一利用平行线+角平分线构造等腰三角形

例题：（23-24八年级下•陕西•期中）如图，在△/3C中，AB=AC,N4BC与N/C8的角平分线交于点

O,过点。作分别交48,NC于点N.

（1）证明：ABOC是等腰三角形；

（2）期与CN相等吗？对你的结论说明理由.

【答案】（1）见解析

⑵BM=CN,理由见解析

【知识点】等腰三角形的性质和判定

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义：

(1)根据等边对等角得到=再由角平分线的定义可得NO5C=NOCB,进而推出08=0C,

由此即可证明结论；

(2)根据等边对等角和平行线的性质推出=得到=据此可证明瓦l/=CN.

【详解】(1)证明：・・・/5=/C,

/ABC=/ACB,

又。与—4C5的角平分线交于点0,

・・・/ABC=2/0BC,ZACB=2/0CB,

・•.ZOBC=AOCB,

OB-0C,

・•.EOC是等腰三角形.

(2)解：BM=CN,理由如下：

vAB=AC,

：,/ABC=/ACB,

•:MN〃BC,

AAMN=ZABC,ZANM=ZACB,

・•.ZAMN=ZANM,

AM=AN,

・•.AB-AM=AC-AN,

^BM=CN

巩固训练

1.(2024下•湖南株洲•八年级校考期末)已知在。3C中，//C3的平分线CD交42于点。，DE//BC.

(1)如图1,求证：ACZJE是等腰三角形;

(2)如图2,若DE平分NADC交AC于E,ZABC=30°,在3c边上取点尸使3尸尸，若BC=12,求DE

的长.

【答案】(1)见解析

⑵4

【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的

性质是解决问题的关键.

(1)根据角平分线的定义得出/2。=乙4。，根据平行线的性质得出乙BCD=/EDC,进而得出

ZEDC=ZACD，根据等腰三角形的判定即可得出答案；

(2)利用角平分线的定义、平行线性质得出//DE=/CDE=30。，进而得出NOBC=30。+30。=60。，根

据含30度角的直角三角形的性质得出。尸=gpC,进而可得出答案.

【详解】(1)证明：・・・。是//C3的平分线，

ZBCD=ZACD,

•「DE//BC,

/./BCD=ZEDC,

/./EDC=/ACD,

:.ED=EC,

即△S石是等腰三角形；

(2)解：•••DE//BC,AABC=30°,

ZADE=/ABC=30°,

又YDE平分NADC,

ZADE=ZCDE=30°,

由(1)可知，ZACD=ZBCD=ZCDE=30°,

•:BF=DF,

ZB=ZBDF=30°,

.-.ZZ)FC=30o+30o=60o,

在RtZXMC中，ZFDC=90°,ZFCD=30°,

DF=-FC,

2

又•；DF=BF,BC=\2,

DF=-BC=-xU=4.

33

2.(2024•江西南昌•模拟预测)课本再现

(1)如图1,/C4E是△Z8C的外角，AD平分/CAE,AD//BC,则居AC.(填，，“=”或

“<”)

类比迁移

(2)如图2,在△4BC中，/D是△4BC的一条角平分线，过点。作。E〃N8交/C于点E,求证：

AE=DE.

拓展运用

(3)如图3,在△Z8C中，AB=AC,。是△Z8C角平分线皿上一点，延长8。至点X,使2O=(W,

过点/作MN〃/3交/C于点N,猜想&W与NC的数量关系，并进行证明.

【答案】(1)=；(2)见解析；(3)MN=NC,见解析

【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定

【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助

线是解答本题的关键.

(1)由角平分线的定义得ZZM£=ZZMC,由平行线的性质得=,ADAC=AC,等量代换得

NB=NC,进而可证4B=HC；

(2)由角平分线的定义得=由平行线的性质得加3=乙。£,等量代换得

ZDAC=ZADE,进而可证/E=OE；

(3)由角平分线的定义得4048=/CMC,根据SAS证明△480四ZUC。得ZABO=N4CO,OB=OC,然

后证明2CMN=ZMCN即可得出MN=NC.

【详解】(1),••40平分NC4E,

:.ZDAE=ZDAC.

■：AD//BC,

：.ADAE=NB,ZDAC=ZC,

:"B=NC,

・・・AB=AC.

故答案为：=；

(2)・・・皿平分NB/C,

：.NDAB=/DAC.

-DE//AB,

：・ZDAB=ZADE,

・•.ADAC=/ADE,

AE=DE；

(3)连接CM,CO.

A

图3

•••AD平分NBAC,

ADAB=ZDAC.

vAB=AC,AO=AO,

••.△Z30之△/CO(SAS),

・・.ZABO=/ACO,OB=OC.

・・・BO=OM,

：,OM=OC,

・・.ZOMC=ZOCM.

-MN//AB,

"ABO=40MN,

：./AC0=40MN,

・・.4CMN=4MCN,

:・MN=NC.

3.（23・24八年级上•河北石家庄•阶段练习）（1）如图1,AE//BC,4E平分ND4C,则ZX/BC的形状是

三角形；

(2)如图2,BC平分/ABD,AC//BD,AC=3,则/8=_.

(3)如图3,有△4BC中，BE是角平分线，DE〃BC交AB于点、D.若DE=7,AD=5,则=_.

(4)如图4,在△ABC中，/ABC与NNC5的平分线交于点尸，过点尸作。石〃8C,分别交/C于

点。，E.若/2=12,/C=18,2C=24,则△/£)£的周长为一

(5)如图，在△ABC中，BC=5cm,AP,C尸分别是248C和2NC8的平分线，且尸。〃/8,尸£〃/C则

△PDE的周长是一

D/4AA

BCBDE

图3

【答案】(1)等腰；(2)3；(3)12；(4)30；(5)5cm

【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和

判定

【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边.

(1)平行线的性质结合角平分线平分角，得到乙8=/C,即可得出结果；

(2)平行线的性质结合角平分线平分角，得至l]/"C=N4C3,进而得到=即可；

(3)同法(2)可得：BD=DE,利用4B=4D+AD,求解即可；

(4)同法(2)得到FD=BD,CE=EF,推出△/£)£的周长等于/8+/C,即可得出结果；

(5)同法(2)得到PD=BD,PE=CE,推出△尸DE的周长等于BC的长即可.

掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键.

【详解】解：(1)"AE//BC,

NDAE=乙B,NCAE=ZC,

•••4E平分/D/C,

ZDAE=NCAE,

ZB=ZC,

.•.△N8C是等腰三角形；

故答案为：等腰；

(2)•:BC平分NABD,AC//BD,

NABC=ZDBC,ZACB=ZDBC,

.-.ZABC=ZACB,

;.AB=AC=3；

故答案为：3；

(3)同法(2)可得：BD=DE=7,

.-.AB=AD+BD=5+1=12-

故答案为：12；

(4)同法(2)可得：FD=BD,CE=EF,

••.△ADE的周长=AD+/£+DE=AD+/E+Z)P+£F=AD+NE+8Z)+CE=/B+NC=30；

故答案为：30；

(5)同法(2)可得：PD=BD,PE=CE,

.-.APDE的周长MPA+PE+OEnBO+CE+OEnBCMScm；

故答案为：5cm.

压轴题型二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形

例题：(23-24八年级下•浙江金华•开学考试)已知，在等边三角形N3C中，点。在上，点尸在C3的延

长线上，且OP=OC.

(1)如图1,当点。为48的中点时，确定线段4?与总的大小关系，请你直接写出结论；

(2)如图2,当点。为边上任意一点，确定线段与总的大小关系，请你写出结论，并说明理由;

(3)在等边三角形N8C中，点。在直线48上，点尸在直线3c上，且。P=OC,若△4BC的边长为2,

AO=5,求CP的长.

【答案】(1)/。=%

(2)相等，见解析

(3)7或3

【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的

判定和性质

【分析】(1)利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可.

(2)过。作。0113c交/C于。，证明△NO。是等边三角形，以及〃05名AOCQ(AAS)即可证明.

(3)分为点。在射线上或点。在射线切上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明.

【详解】(1)解：40=PB,理由如下：

•.•△NBC为等边三角形，点。为的中点，

ZABC=ZACB=60°,CO平分，/C8,AO=BO,

:.ZOCB=-ZACB=30°,

2

OP=OC,

NP=NOCB=30°,

ZABC=ZP+ZPOB,

ZPOB=ZABC-ZP=30°,

ZP=ZPOB,

PB=BO,

AO=PB；

(2)解：相等，即=理由如下：

如图，过。作。QU8C交/C于。，

•.•△4BC是等边三角形,

ZABC=ZACB=ZA=60°,AB=AC=BC,

ZAOQ=ZABC=60°,AAQO=ZACB=60°,

即ZAOQ=ZAQO=ZA=60°,

.“N。。是等边三角形,

/.AO-AQ=OQ,

•「ZABC=ZACB=ZAQO=60°,

ZPBO=ZOQC=120°,ZP+ZBOP=Z.QCO+Z.OCP=60°,

•・•PO=OC,

:.ZP=ZOCP,

,\ZBOP=ZOCQ,

APBO=ZOQC

在△尸08和△OC0中，＜ZPOB=ZOCQf

PO=OC

/AR1^TX^(AAS),

?.PB=OQ,

:.AO=PB.

(3)解：如图③，当点。在射线48上时，过。作。0118c交4。的延长线于。,

则△/OQ为等边三角形，NQ产=N®,

AQ=A0=0Q=5,ZQ=60°,

•••PO=CO,

:"P=/OCP,

ZCOQ=ZP,

•.•△48C是等边三角形，

；.BC=AC=2,ZABC=60°,

NPBO=NABC=60°,

/.AQ=ZPBO,

AQ=ZPBO

在△CO0和△OPB中，＜ZCOQ=ZP,

OC=PO

.\zJn^tX^(AAS),

..BP=OQ=5,

.\CP=BP+BC=2+5=7；

如图，当点O在射线A4上时，・・・氏4=2,4。=5,

OB=7,

・・・△Z3C是等边三角形，

Z5=60°,BC=BA=2,

过点O作。。13P,则/3。。=30。,

17

：.BD=-OB=-,

22

73

：.CD=BD-BC=——2=-,

22

又「OC=OP,

：.PC=2CD=3；

综上所述，尸C长为7或3.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三

角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键.

巩固训练

1.(2024上•天津滨海新•八年级校考期末)已知直线切，”相交于点8,点A,C分别为直线加，”上的

点，AB=BC=1,且N45c=60。，点£是直线打上的一个动点，点。是直线”上的一个动点，运动过程

(1)如图1,当点E运动到线段43的中点，点。在线段C3的延长线上时，求的长.

(2)如图2,当点E在线段上运动，点D在线段C3的延长线上时，试确定线段3。与/E的数量关系，并

说明理由.

【答案】⑴!

(2)BD=AE,理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；

(1)证明。3C为等边三角形，得出乙4c2=/48C=60。，由等边三角形的性质得出

NECB=g/ACB=3Q。,由等腰三角形的性质得出/EDB=30。,由三角形的外角性质得出ZDEB=ZEDB,

即可得出结论；

(2)过点£作E尸〃3c交/C于点/，由平行线的性质得出乙4尸£=乙4。2=60。，证出

NEFC=120。,NAFE=NA,得出斯=E4,ffitB^DEB=AECF,由AAS证明GACEF,得出

BD=EF,即可得出结论.

【详解】(1)解：•.•N/8C=60o,AB=2C,

.♦.A/8C为等边三角形，

.-.ZACB=ZABC=60°,

•・•点£是线段的中点，

.-.ZECB=-ZACB=30°,

2

DE=CE,

ZEDB=ZECB=30°,

•••ZABC=ZEDB+ZDEB

ZDEB=30°=ZEDB,

:.BD=DE=-AB=--

22

(2)解：BD=AE,理由如下：

过点£作斯〃BC交/C于点尸，如图，

NAFE=ZACB=60°,

ZEFC=120°,NAFE=N/,

EF=EA

ZABC=60°,

:.ZEBD=nO0,

/EFC=ZEBD,

CE=DE,

ZEDB=ZECB,

NEDB+ZDEB=NECB+ZECF=60°,

ZDEB=ZECF,

在AEDB和△CEF中,

■:NDEB=ZECF,ZEBD=ZEFC,DE=CE,

“EDB、CEF（AAS）,

:.BD=EF,

•••EF=EA,

BD=AE.

2.（23-24八年级下广东茂名•期中）（综合与实践）己知，在等边三角形中，点£在M上，点。在CB

的延长线上，且EZ）=EC.

图1图2图3

（1）【特殊情况，探索结论】如图1,当点E为奶的中点时，确定线段功与DZ?的大小关系，请你直接写

出结论：AEDB（填或"="）；

（2）【特例启发，解答题目】如图2,当点£为边上任意一点时，确定线段/£与。2的大小关系，请你

直接写出结论，AEDB（填“>”、“<”或“="）；理由如下，过点E作E/〃3C,交/C于点尸.（请

你完成以下解答过程）：

（3）【拓展结论，设计新题】如图3,在等边三角形23C中，点£在直线N3上，点。在线段C2的延长线上,

且ED=EC,若ZUBC的边长为1,AE=2,求CD的长（直接写出结果）.

【答案】（1）=

⑵二

（3）3

【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质

【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：

(1)根据等边三角形三线合一，结合三角形外角的性质，得到/E=8£=O5即可；

(2)过点E作E尸〃3C,交/C于点尸，易得尸为等边三角形，证明A/MEZAEFC,即可得证；

(3)作EFC,易得△EEB为等边三角形，证明△D3E之△<?/?£,得到BD=CF,进一步求解即可.

【详解】(1)解：•••等边三角形4BC,

.-.ZA=ZABC=NACB=60°,AB=AC=BC,

•・•点£为48的中点

NBCE=-NBCA=30。，BE=AE,

2

•••ED=EC,

.-.ZD=ZBCE=30°,

•；NABC=NBDE+/DEB,

."DEB=30°=ZBDE,

*，•AE=BE-DB；

故答案为：-;

(2)AE=DB,理由如下：

过点后作£尸〃3C,交/。于点尸,

-LABC为等边三角形，

・・.NA=/ABC=ZACB=60。,AB=AC,

•・•EF//BC,

AAEF=/ABC=60°,ZAFE=ZACB=60°,

・・・△4•为等边三角形，

**.AE=EF=AF，

：,BE=CF,

•；ED=EC,

・•・ZD=/ECD,

•・•/DEB=60°-/D,ZECF=60°-/ECD,

・•・/DEB=ZECF,

在ADBE和△石尸C中,

'DE=CE

</DEB=ZECF,

BE=FC

小DBE”八EFC(SAS),

DB=EF,

*'•AE=DB；

故答案为：=;

(3)由题意，点E在线段Z3的延长线上，作EF〃4C,则N耳%=44以=60。,/人阳=44=60\

-ZFBE=ZABC=60°,

・•・△/咕为等边三角形，

*'.BE=EF=BF,

同(2)可得LDBE注LCFE,

；.BD=CF,

VAB=T,AE=2,

*'.BE=19

・•・BE=EF=BF=\,

•；DB=FC=FB+BC=2,

CD=BC+DB=BA+DB=3.

压轴题型三利用倍角关系构造新等腰三角形

例题：(2023上•河南信阳•八年级统考期中)阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添

加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一

长边相等，解答下列问题：如图1,在“3C中，交3C于点D,4。平分/B/C,且4B=2NC.

(1)为了证明结论“/2+8O=/C"，小亮在NC上截取/E,使得，E=”，解答了这个问题，请按照小亮的

思路写证明过程；

(2)如图2,在四边形/BCD中，已知NR4Z)=58。，ZD=109°,ZACD=42°,ZACB=S0°,AD=10,

CELABEB=3,求4B的长.

【答案】(1)见解析

⑵16

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

(1)在/C上截取NE,使得4E=4B,连接。E,根据角平分线的定义可得=/CMC,再利用SAS证

明当/ED,从而可得NB=N4EQ,BD=DE,进而可得44£D=2NC,然后利用三角形的外角性质

可得/4ED=NC+NEDC,从而可得/C=/EDC,进而可得。E=CE,再根据等量代换可得3。=EC,

最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；

(2)在4E上截取=连接。，先利用三角形内角和定理可得/D/C=29。，从而可得

ZDAC=ZFAC=29°,再利用SAS证明AZMC会AE4C,从而可得ZAFC=ZD=109。，进而可得NCFE=71。，然

后利用三角形内角和定理可得4=NC/芯=71。，从而可得C尸=2C,再利用等腰三角形的三线合一性质可得

BF=2BE=6,最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】(1)解：证明：在/C上截取4E,使得4E=/B,

；AD平分/R4c,

:"BAD=ADAC,

AD=AD,

・•・△4502△NE7)(SAS),

：・/B=/AED,BD=DE,

•・•ZB=2ZC,

・・・ZAED=2/C,

・・・NAED是ADEC的一个外角，

,,"AED=NC+/EDC,

：,ZC=ZEDC,

・•.DE=CE,

・•.BD=EC,

•・,AE+EC=AC,

：,AB+BD=AC；

(2)在上截取=连接CF,

vZZ)=109°,ZACD=42°,

・•・ADAC=180。一N。-ZACD=29°,

・・・/BAD=58。，

ZFAC=ABAD-ZJDAC=29°,

ZDAC=ZFAC=29°f

•:AC=AC,

.-.ADAC^AFAC(SAS),

.-.ZAFC=ZD=109°,

ZCFE=180°-ZAFC=71°,

vZACB=80°,ZFAC=29°,

/.ZB=180°-ZACB-ZFAC=71°,

・•・/B=/CFE,

:,CF=BC,

-CE1AB,

BF-2BE=6,

AB=AF+BF=10+6=16,

■■AB的长为16.

巩固训练

1.在RM/8C中，/B/C=90。，点。在边3c上，AB=AD,点E在线段班上，/BAE=3/EAD.

图1图2

(1)如图1,若点。与点C重合，则0；

(2)如图2,若点。与点C不重合，试说明/C与NE4D的数量关系；

(3)在(1)的情况下，试判断班，CD与4C的数量关系，并说明你的理由.

【答案】⑴67.5

⑵NC=2NEAD

(3)BE+CD=AC,理由见解析

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到乙0=45。，根据题意求出NE4D,根据三角形的外角性质计

算，得到答案；

(2)根据直角三角形的两锐角互余得到乙8=90。-/(1根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到

ABAD=2AC,进而证明结论；

(3)在3。上截取防=£)£,连接加，证明4/台尸三ZUOE,根据求等三角形的性质得到

N切尸=根据三角形的外角性质得到/C4F=/CE4,得到/C=W,进而得出结论.

【详解】(1)解：在RtAB/D中，NBAD=90。,AB=AD,

则ZD=45°,

ZBAD=90°,ZBAE=3/EAD,

:.ZEAD=22.5°,

NAEB=ZEAD+ZD=67.5°,

故答案为：67.5；

(2)解：NC=2NEAD,

理由如下：■：ABAC=90°,

ZS=90°-ZC,

•・•AB=AD,

ZADB=ZB=90°-ZC,

/BAD=180。-2(90。-ZC)=2ZC,

/BAE=3/EAD,

/.ABAD=4NEAD,

/.ZC=2ZEAD；

(3)解：BE+CD=AC9

理由如下：如图2,在班上截取跳连接好\

A

图2

则BE=BF+EF=DE+EF=DF,

:.BE+CD=DF+CD=CF,

在△45b和△/£)£1中，

AB=AD

</B=ZADE,

BF=DE

,\AABF=^ADE(SAS),

ZBAF=ZDAE=-ZC,

2

ZCAF=90°-NBAF=90°--ZC,

2

•・・/CE4是AZB9的外角，

ZCFA=ZB+ZBAF=90°-ZC+-ZC=90°--ZC,

22

ZCAF=ZCFA,

：.AC=CF=BE+CD.

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是

解题的关键.

2.(2023上•辽宁大连•八年级大连市第三十四中学校考期中)已知，在。3c中，点G是43边上一点，点

£是8c延长线上一点，GE交/C于点点尸是4D上一点，连接

GF,ZGFC=2NBAC/FGE=2NBEG,AC=GE,GH±BC于点H.

图1图2

(1)写出图1中与/B/C相等的角，NBAC=；

(2)如图1,若NGFC=ZFGE,在图中找出与/G相等的线段并证明;

(3)如图2,若HC=2,CE=3,求BC的长度.

【答案】(1)//GF

(2)AG=CE,证明见解析

【分析】(1)运用三角形外角性质即可求得答案；

(2)利用AAS证明△加CGABEG,可得3C=2G,AB=EB,即可得出答案；

(3)延长FG交C5的延长线于M,过点/作MV〃AC交AB的延长线于N,可证得ANBM0A/3C(AAS),

则没BH=X,再根据等腰三角形性质可得=建立方程求解即可得出答案.

【详解】(1)；NGFC=NBAC+NAGF,NGFC=2NBAC,

ABAC+ZAGF=2ABAC.

ABAC=ZAGF,

故答案为：ZAGF；

(2)AG=CE,理由如下，

vZGFC=2ZBAC,NGFC=NFGE,ZFGE=2ABEG,

ABAC=ZBEG,

在AB/C和ABEG中，

/B=/B

</BAC=/BEG

AC=GE

£G(AAS),

：.BC=BG,AB=EB.

AB-BG=EB-BC,

即/G=CE；

(3)如图2,延长尸G交CB的延长线于M,过点M作MN〃力。交43的延长线于N,

/MGN=ZAGF=ABAC,

则/N=/BZC,

:"N=/MGN,

:.MG=MN,

•・•ZFGE=2/BEG=/BEG+ZGME,

/BEG=ZGME,

:.MG=GE,

AC=GE,

:.MN=AC,

在△NBM和△Z3C中，

ANBM=/ABC

<ZN=ABAC

MN=AC

BM=BC,

设BH=x,

,:HC=2,CE=3,

：.BM=BC=x+2,EH=5.

:.MH=BM+BH=2x+2,

,:MG=GE,GH1BC,

/.MH=EH.

2x+2=5,

3

解得：x=-

3

2

37

BC=BH+HC=-+1=~,

22

7

故3c的长度为

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角

的性质，全等三角形的性质与判定，构造全等三角形是解题的关键.

压轴题型四等腰三角形中底边有中点时，连中线

例题：（2023上•浙江宁波•八年级统考期末）如图，在中，NB4c=120。,48=/C,。为8c的中点,

DEJ.AC于E.

⑴求/EOC的度数；

（2）若ZE=2,求CE的长.

【答案】（1）60。

⑵6

【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30。角的直角三角形的性质等知识,

（1）连接2。，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；

（2）根据含30。角的直角三角形的性质即可作答.

【详解】（1）连接4）,

/.AD1BC,平分/a4C,

ZDAC=-ZBAC=60°,ZADC=90°,

2

-DEIAC^E,

ZAED=ZCED=90°,

・•.ZEDC=90°-30°=60°；

(2)-ZAED=90°,ZDAE=60°,

・•・/ADE=30°,

在RtaNDE中，AE=2,

*'•AD=2AE=4,

在RM/DC中，AD=4,ZC=30°,

:.AC=2AD=S,

]Sl|CE=NC-/E=8-2=6.

巩固训练

1.(2023上•辽宁葫芦岛•八年级统考期末)如图，在AASC中，48的垂直平分线跖交BC于点£,交AB

于点尸，。为线段CE的中点，且8£=ZC.

⑴求证：AD1BC.

（2）若/3/C=90。，DC=2,求8D的长.

【答案】（1）见解析

⑵6

【分析】（1）连接/E,根据线段垂直平分线的性质得到BE=4E,证明ZE=/C,根据等腰三角形的三线

合一证明结论；

（2）证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可.

【详解】（1）证明：连接NE,

•••EF是AB的垂直平分线，

BE=AE,

'：BE=AC,

AE=AC,

.•.△AEC是等腰三角形，

为线段的中点，

AD1BC；

（2）解：•：BE=AE,

/.AEAB=4B,

/.NAEC=ZEAB+NB=2Z5,

vAE=AC,

:.ZAEC=ZC9

/C=2/B,

・・•NB4c=90。,

?.ZC=60°,

・.△AEC为等边三角形，

•・•DC=ED=2,

AE=EC=BE=2DC=4,

:.BD=BE+ED=4+2=6.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰

三角形的三线合一是解题的关键.

2.（2023上•全国•八年级专题练习）如图，已知。3c中，AB=AC,/84C=90。，点。为的中点，

点、E、尸分别在直线48、/C上运动，且始终保持/E=C尸.

(1)如图①，若点E、尸分别在线段48、AC±,OE与。尸相等且。E与。尸垂直吗？请说明理由;

(2)如图②，若点£、尸分别在线段/反C4的延长线上，(1)中的结论是否依然成立？说明理由.

【答案】(1)DE=DF且DE工DF,见解析

(2)成立，见解析

【分析】(1)先利用等腰直角三角形的性质得到/840=/以。=48=/。=45。和40=80=。。，再证明

"ED"ACFD(SAS),利用全等三角形的性质即可求解；

(2)利用等腰直角三角形的性质得到/840=/。4。=48=/。=45。和40=80=。。，再证明

“EDmACFD(SAS),利用全等三角形的性质即可求解.

【详解】(1)DE=DF且DE1DF,理由是：

如图①，连接4D,

■：ABAC=90°,AB=AC,。为BC中点，

ABAD=ADAC=ZB=ZC=45°,

AD=BD-DC,

'AE=CF

在和△(功中，\ZEAD=ADAC

AD=DC

・•・"EDaCFD(SAS),

:.DE=DF,/ADE=/CDF,

又•・♦/CDF+/ADF=90。,

ZADE+ZADF=90°f

・•・NEDF=90。，

-DEIDF.

图①

（2）若点£、尸分别在线段C/的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接理由如下:

AB=AC,/胡C=90。，点。为3c的中点，

,"BAD=ADAC=/B=/C=45°,

AD=BD=DC,

AE=CF

在△ZE。和△CTO中，\ZEAD=ZDAC

AD=DC

:,八AED/小CFD(SAS)；

：.DE=DF,/ADE=/CDF,

又•・•/CDF-ZADF=90°,

.-.ZADE-ZADF=90°,

・・・/EDF=9。。,

•­DEIDF.

图②

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造

全等三角形.

压轴题型五等腰三角形中底边无中点时，作高

例题：（2023上•福建厦门•八年级厦门一中校考期中）如图，已知/4。8=60。，点尸在边04上，0P=12,

点M、N在边OB上,PM=PN,若。河=5,求九CV的长.

'A

p

dMNB

【答案】2

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质.作PCLO2交08于C,由等腰三

角形的性质可得CM=CN,由含30。角的直角三角形的性质得出OC=^OP=6,计算出CM即可得到答

案.熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键.

CM=CN,

在AOPC中，/PCO=90°,ZPOC=30°,OP=12,

OC=-OP=6,

2

•・・(W=5,

CM=OC-OM=6-5=1,

CN=CM=\,

:.MN=CM+CN=\+\=2.

巩固训练

1.（2023上•河南省直辖县级单位•八年级校联考期末）在力BC中，点是边上的两点.

A

AA

图1图2备用图

(1)如图1,若4B=/C,AD=AE.求证：BD=CE；

(2)如图2,若/胡C=90°,BA=BD,设/3=x°,^CAD=.

①猜想》与》的数量关系，并说明理由；

②在①的条件下，CA=CE,请直接写出NONE的度数.

【答案】(1)见解析

⑵①x=2y；②45。

【分析】(1)过/作“尸［8。于凡根据三线合一得到=DF=EF,利用线段的和差可得结果；

(2)①根据等边对等角和三角形内角和求出/840=/氏0/=90。-；廿，再根据ZB/。+NC4。=90。，整

理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出NC4E=NCE/=90O-gNC,再根据

ZDAE=ZBAD+ZCAE-90°,代入化简可得结果.

【详解】(1)解：如图，过N作《尸」3c于R

AB=AC,AD=AE,

BF=CF,DF=EF,

：.BF-DF=CF-EF,§PBD=CE-

图1

(2)①猜想：x=2y,理由是:

■：BA=BD,ZB=x°,

ZBAD=ABDA=g(180。-ZB)=90。-；x。

■：ABAC=90°,ZCAD=y°,

ABAD+ACAD=90°,即90°一=90°,

整理得：x=2y-

②•••CA=CE,

ACAE=NCEA=1(1800-ZC)=90°-1zC,

ABAD=ABDA=1(180°-ZS)=90°-1zS,

ZDAE=ABAD+NCAE-90°

=90°--ZB+900--ZC-90°

22

=90°-g(/3+/C)

=90°-1(180°-Z5^C)

=90°-1(180°-90°)

=45°.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关

键是利用这些性质找出角的关系.

2.（2023上•河南商丘•八年级校考阶段练习）在&ABC中，”=4C,过点C作射线,使ZACB'=ZACB

（点9与点2在直线/C的异侧）点。是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段3C上，且

ZDAE+ZACD=90°.

图1图2

（1）如图1,当点£与点C重合时，4D与C8'的位置关系是_,若BC=a,则CO的长为二（用含°的式子

表示）

⑵如图2,当点E与点C不重合时，连接OE.

①用等式表示/A4c与ND4E之间的数量关系，并证明；

②用等式表示线段BE,CD,OE之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）互相垂直；

（2）①NBAC=2ND4E,证明见解析；②BE=CD+DE,证明见解析

【分析】（1）根据三角形内角和定理可得40与C8'的位置关系是互相垂直，过点/作于点根

据等腰三角形性质得到利用AAS证明根据全等三角形性质即可

22

得出CD=CM=ga；

（2）当点E与点C不重合时，①过点/作于点M、ANLCB'于点N,利用AAS证明

“ACD%ACM,根据全等三角形性质即可得到NBAC=2ZDAE；

②在3c上截取2尸=8,连接相，利用SAS证明A4B/丝ZUCZ）,根据全等三角形性质得到/尸=ND,

ZBAF=ZCAD,根据角的和差得到=再利用SAS证明△9石,根据全等三角形性

质及线段和差即可得到BE=CD+DE.

【详解】（1）解：当点E与点。重合时，NDAE=ZDAC，

•・•ZDAE+ZACD=90°,

ZDAC+ZACD=90°,

・・・/ZQC=90。，

AD_LCB',

即AD与CBr的位置关系是互相垂直，

若BC=a,过点4作于点如图：

•・•AB=AC,

：,CM=BM=-BC=-a,

22

在△4CZ）与△4CM中，

AADC=ZAMC

<NACD=NACM

AC=AC

,-.AACD^AACM(AAS),

:.CD=CM=—a,

2

即CO的长为

2

故答案为：互相垂直；\a-

2

(2)解：①当点E与点C不重合时，用等式表示NB4C与2D4E之间的数量关系是：ZBAC=2ZDAE,

证明如下：

过点/作NATEC于点〃、AN1CB'千&N,如图：

ZCAN+ZACB'=90°,

VZDAE+ZACD=90°,

即ND4E+ZACB'=90。,

/DAE=ZCAN,

vAB=AC,AMLBC,

ABAC=2ZCAM=2ZBAM,

在△ZCN与△4CM中，

ZNC=ZAMC

</ACN=/ACM,

AC=AC

AACN^AACM(AAS),

・•.ZCAN=ZCAM,

ABAC=2ZCAM=2ZCAN=2ZDAE；

②用等式表示线段正，CD,之间的量关系是：BE=CD+DE,证明如下:

在5C上截取5b=8,连接相，如图：

A

C

•••AB=AC,

・•.ZB=ZACB,

•・•ZACBr=ZACB,

・・.ZB=/ACB'=/ACD,

在Aasb和△/CQ中，

AB=AC

<AB=NCD,

BF=CD

“ABF知ACD（SAS）,

・•.AF=AD,ZBAF=ACAD,

・•.ZBAF+ZCAE=/CAD+NCAE=/DAE,

由①知：/BAC=2/DAE,

^ZDAE=-BAC,

2

・•.ZBAF+ZCAE=-ABAC,

2

・•.ZFAE=ABAC-[ABAF+ZG4E）=|ABAC,

・•・ZFAE=/DAE,

在&FAE和ADAE中，

AF=AD

</FAE=/DAE,

AE=AE

・•・△融强△/）阻SAS）,

・•・FE=DE,

BE=FE+BF=CD+DE.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、

垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关

键.

压轴题型六巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形

例题：(2022春•上海普陀•八年级校考期中)如图，在中，AD平分/BAC,E是5c的中点，过点E

作尸GL4D交4D的延长线于交AB于F,交/C的延长线于G.

求证：

⑴4F=/G；

(2)BF=CG.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据ASA证明即可得出AF=/G；

(2)过点C作。/〃23交尸G于点由咨A/HG可得//F"=/G,根据平行线的性质得出

ZCMG=ZAFH,可得/CMG=/G,进而得出CM=CG,再根据据ASA证明好也ACEN,得出

BF=CM,等量代换即可得到BF=CG.

【详解】(1)证明：:4刀平分/A4C,

:"FAH=ZGAH,

•••FGVAH,

：.AAHF=ZAHG=90°,

NFAH=ZGAH

在△4HF和AZ//G中，lAH^AH

ZAHF=ZAHG

A4HFAHG(ASA),

；.AF=AG；

(2)证明：过点C作。0〃48交尸G于点M,

“AHF知AHG,

,,"AFH=4G,

-CM//AB,

.・"CMG=/AFH,

.♦"CMG=/G,

:.CM=CG,

・・上是5C的中点，

・•.BE=CE,

-CM//AB,

・•・/B=/ECM,

ZB=ZECM

在石尸和△CEM中，=

/BEF=/CEM

・•.AS£F^ACW（ASA）,

BF=CM,

：.BF