2024-2025学年人教版九年级数学上册同步练习：解一元二次方程与实际应用（40题）（解析版）

专题第1讲解一元二次方程与实际应用(40题)

解一元二次方程(15题)

1.解方程：

⑴/+6尤-5=0；⑵(3x-2)2=⑵-3)2.

【分析】(1)利用配方法解出方程；

(2)利用平方差公式按原式变形，利用因式分解法解出方程.

【解答】解：(1)f+6x-5=0,

贝!]X2+6X=5,

；./+6x+9=5+9,

(x-3)2=14,

'.x-3=±VT4)

.'.XI=3+V14'尤2=3-V14;

(2)(3x-2)2=(2x-3)2,

则(3x-2)2-(2x-3)2=0,

/.(3x-2+2x-3)(3x-2-2x+3)=0,

/.(5x-5)(x+1)=0,

/.5x-5=0或x+l=0,

•»X1—1>X2=11.

2.解下列方程：

(1)x2-10x+16=0；(2)2x2-4x-1=0.

【分析】(1)利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；

(2)利用配方法解出方程.

【解答】解：(1)10x+16=0,

则(x-2)(%-8)=0,

Ax-2=0,x-8,=0,

•・xi=2,X2=8；

(2)2?-4x-1=0,

贝！J2X2-4x=1,

Ax2-2x=—,

2

/.x2-2x+l=—+1,

2

.*1=±迎，

2

22

3.解方程：

(1)X2-3X-4=0；(2)x(x-2)=1；

(3)x2-2x+l—9；(4)2?-2x-1=0.

【分析】(1)利用因式分解式解出方程；

(2)先把方程化为一般形式，再利用公式法解出方程；

(3)先把方程化为一般形式，再利用因式分解法解出方程；

(4)利用公式法解出方程.

【解答】解:(1)3x7=0,

(%-4)(x+1)=0,

XI=4,X2=-1;

(2)x(x-2)=1,

x2-2x-1=0,

A=(-2)2-4XlX(-1)=4+4=8,

.•.尸2士正=2*Xi=i±加，

22

Axi=1+5/2»xi—\-A/2；

(3)/-2%+l=9,

x2-2x-8=0,

(x-4)(x+2)=0,

Ax-4=0或x+2=0,

>.X1=4,xi~~~2；

(4)2?-2x-1=0,

•/A=(-2)2-4X2X(-1)=4+8=12,

.„_2±V12_2±273

2X24

4.解下列方程：

⑴x2-4x+2=0；(2)2X2-5x-1=0.

【分析】(1)利用配方法解一元二次方程；

(2)利用公式法解一元二次方程.

【解答】解:(1)V?-4x=-2,

.,.x2-4x+4=-2+4,即(x-2)2=2,

：.x-2=±^2,

.,.XI=2+^/2,X2=2-V2；

(2),:a=2,b=-5,c=-1,

A=(-5)2-4X2X(-1)=33>0,

._-b±Vb2-4ac5±V33

••X--------------------------------------,

2a4

即xi=5+^3=5-依3

44

5.解方程：

(1)f+8x-1=0；(2)x(尤-2)+x-2=0.

【分析】(1)先利用配方法得到(x+4)2=17,然后利用直接开平方法解方程.

(2)利用因式分解法把原方程转化为尤-2=0或x+l=0,然后解两个一次方程即可.

【解答】解：(1)/+8x-1=0,

x2+8x=1,

/+8x+16=1+16,

(x+4)2=17,

.r+4=±V17-

;

XI=-4+VI7，X2=-4-V17

(2)x(x-2)+x-2=0,

(x-2)(x+1)=0,

x-2=0或x+l=0,

XI=2,X2=-1.

6.解方程：

(1)x2-4x+3=0；(2)3x2-5x+l=0.

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)利用求根公式法解方程.

【解答】解：(1)/-4x+3=0,

(x-3)(x-1)=0,

.,.x-3=0或％-1=0,

•・=3,X2=1；

(2)3X2-5x+l=0,

这里〃=3,b--5,c=l,

J△=(-5)2-4X3Xl=13>0,

.„_5±V13_5±V13

••X---------------,

2X36

-rl-54V13„_5-V13

••Al-------,AZ---------•

66

7.用指定的方法解下列方程：

(1)/+6x-16=0(配方法)；(2)/+iox+9=o(公式法).

【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；

(2)方程利用公式法求出解即可.

【解答】解：(1)方程变形得：/+6x=16,

配方得：/+6x+9=16+9,即(x+3)2=25,

开方得：x+3=±5,

解得：xi=2,X2=~8；

(2)?+10x+9=0,

这里〃=1,Z?=10,c=9,

VA=100-36=64>0,

.-io±V64

r-5±4,

2X1

••XI=-1,X2=19.

8.用适当的方法解下列方程:

(1)d+4尤-6=0；(2)(x+4)2=5(x+4).

【分析】(1)利用公式法解方程即可；

(2)整理后，利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：(1)/+4x-6=0

b—4,c--6,

：.A=42-4X1X(-6)=40,

...唁①=-4±严=_2±折，

NaZ

•\xi=-2+-/10，X2=-2-V10；

(2)(x+4)2=5(九+4)

/.(x+4)2-5(x+4)=0,

贝!I(x+4)(x+4-5)=0,

・•・(x+4)(x-1)=0,

贝Ux+4=0或x-1=0,

；・xi=-4,X2=l.

9.用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)/+x-4=0；(2)(2x+l)2+15=8(2x+l).

【分析】(1)利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

【解答】解：(1)/+x-4=0,

VA=12-4X1X(-4)=1+16=17>0,

._-l±V17

••A--------------,

(2)(2x+l)2+15=8(2x+l),

⑵+1)2-8(2x+l)+15=0,

(2x+l-3)⑵+1-5)=0,

(2x-2)(2x-4)=0,

2x-2=0或2x-4=0,

xi=1,xi—2.

10.(27+3x)2-4(2f+3x)-5=0.

【分析】把(2/+3无)看作一个整体，利用十字相乘分解因式，即可求解.

【解答】解：(2?+3x)2-4(2/+3无)-5=0,

[-5][(2?+3无)+1]=0,

(2x+5)(x-1)(2x+l)(x+1)=0,

51="11

乂1=方，x2-1,X3=^2'X4-

11.计算：

(1)3?-5x-3=0；(2)3x(x-1)=2(x-1).

【分析】(1)利用解一元二次方程中的公式法计算即可；

(2)利用解一元二次方程中的因式分解法计算即可.

【解答】解：(1)3?-5%-3=0,

•*ct~^39-51c=-3,

・・.A=02-4〃C=(-5)2-4X3X(-3)=61,

._-b±Vb2-4ac_5±V61_5±V61

,,X==='

2a2X36

.5+V615-后

X1626

(2)3x(x-1)=2(x-1),

3x(x-1)-2(x-1)=0,

(x-1)(3x-2)=0,

/.x-1=0或3x-2=0,

、n

=l或X2号

12.解下列方程：

(1)?+4x-1=0；(2)(x-3)2+2X(x-3)=0.

【分析】(1)配方法求解可得；

(2)因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)?+4^-1=0,

X2+4X=1,

W+4x+4=5,

(x+2)2=5,

X+2=±V5»

解得：XI=-2+JM，X2=-2-5/5；

(2)分解因式得：(％-3)(x-3+2x)=0,

可得x-3=0或3x-3=0,

解得：Xl=3,X2=l.

13.解下列方程：

⑴[(2X-5)2=1；(2)/-6X=4；

(3)3x(2x+l)=2(2x+l)；(4)2/-7x+3=0.

【分析】(1)利用直接开平方法解一元二次方程即可；

(2)利用配方法解一元二次方程即可；

(3)利用因式分解法解一元二次方程即可；

(4)利用公式法解一元二次方程即可.

【解答】解：(1)原方程化为(2%-5)2=4,

两边开平方，得2尤-5=±2,

.73

「IkX2方

(2)酉己方，得尤2-6^+32=4+32,

则(%-3)2=13,

开平方，得x-3=士后，

=;

,,xj=3+\/13.X23-V13

(3)移项，得3无(2尤+1)-2(2尤+1)=0,

贝ij(2x+l)(3x-2)=0,

•*.2x+l=0或3x-2=0,

-1_2

「方，

,•xx2-y

(4)对于方程2?-7x+3=0,a—2,b--7,c—3,

贝！JA=廿-4ac=49-4X2X3=25,

./±5

14.请用合适的方法解下列方程：

(1)3x(%-2)=2(%-2)；(2)2X2-3X-14=0.

【分析】(1)先移项得到3x(x-2)-2(尤-2)=0,再利用因式分解法把方程转化为x-2=0或3x-

2=0,然后解两个一次方程即可；

(2)利用因式分解法把方程转化为2x-7=0或x+2=0,然后解两个一次方程即可.

【解答】解：(1)3x(尤-2)=2(尤-2),

3x(尤-2)-2(x-2)=0,

(%-2)(3x-2)=0,

x-2=0或3x-2=0,

所以Xl=2,X2=—；

3

(2)2?-3x-14=0,

(2x-7)(x+2)=0,

2x-7=0或x+2=Q,

所以XI=—,X2=-2.

2

15.解方程：

(1)/+8尤=9(用配方法解);(2)3/-5x=2(用公式法解);

(3)(x-4)2=9；(4)x2-7x+6=0；

(5)(x+3)2=2X+6；(6)(x+3)2=(1-2无)2.

【分析】(1)把方程两边都加上一次项系数的平方，得f+8x+(&)2=9+(S)2,即(x+4)2=25,

22

然后利用直接开平方法求解；

(2)先变形为一般式3/-2=0,再计算出A=(-5)2-4X3X(-2)=49,然后代入一元二次

方程的求根公式进行计算即可；

(3)利用直接开平方法求解；

(4)用因式分解法直接求解即可；

(5)先把方程转化为一般式，再用因式分解求解即可；

(6)先两边开方得到彳+3=土(1-2x),然后解两个一次方程即可.

【解答】解：(1)；/+8>=9,

.../+8x+(―)2=9+(―)2,即(x+4)2=25,

22

；.x+4=±5,

••XI1,X2=-9;

(2)原方程变形为3/-5x-2=0,

VA=(-5)2-4X3X(-2)=25+24=49,

._5±V49_5±7

••X-------------------,

2X36

**•=2,xi=-；

3

(3)•・・(x-4)2=9；

Ax-4=±3,

•・XI=7,X2=1；

(4)x2-7x+6=0,

(x-6)(x-1)=0,

/.x-6=0或％-1=0,

••XI=6,X2~~1;

(5)(x+3)2=2X+6,

.9.X2+6X+9-2X-6=0,

/.X2+4X+3=0,

/.(x+1)(x+3)=0,

，x+l=0或x+3=0,

••XI=-1,X2=13;

(6);(尤+3)2=(1-2x)2,

；.x+3=±(1-2x),

.\x+3=l-2x或x+3=-l+2x,

，xi=--,X2=4.

3

一元二次方程的实际应用(25题)

16.用12加长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20帆2,并且在垂直于墙的一边开

一个1加长的小门(用其它材料)，若设垂直于墙的一边长为X7",那么可列方程为()

JU____________T

A.x12'x-l=20B.x12-、+1=20

C.无(12-2x+l)=20D.X(12-2x-1)=20

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为初2可以得出平行于墙的一边的长为(12-2x+l)m.根据矩

形的面积公式建立方程即可.

【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1根可以得出平行于墙的一边的长为(12-2x+l)m,由

题意得x(12-2x+l)=20,

故选：C.

17.2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要

场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末

累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为无，则可列方程为()

A.600(1+2%)=2850

B.600(1+x)2=2850

C.600+600(1+龙)+600(1+x)2=2850

D.2850(1-%)2=600

【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月

的进馆人次等于2850,列方程即可.

【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意得：

600+600(1+x)+600(1+x)2=2850.

故选：C.

18.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元,

设平均每次降价的百分率是尤，则根据题意，下列方程正确的是()

A.16(1-x)2=9B.16(1-x2)=9C.9(1-x)2=16D.9(1+x2)=16

【分析】设该药品平均每次降价的百分率为无，根据降价后的价格=降价前的价格X(1-降价的百分率),

则第一次降价后的价格是16(1-尤)，第二次后的价格是16(1-%)2,据此即可列方程求解.

【解答】解：根据题意得：16(1-%)2=9,

故选：A.

19.某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为尤，

由题意列方程应为()

A.200(1+x)2=1000

B.200+200X2x=1000

C.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

D.200口+尤+(1+无)2]=1000

【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+

三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可.

【解答】解：...该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为尤，

该超市二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)2万元，

又•.•第一季度的总营业额共1000万元，

Z.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000,

BP200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000.

故选：C.

20.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场

调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元.若设店主把该商品每件售

价降低x元，则可列方程为()

A.(60-%)(200+8%)=8450B.(20-x)(200+%)=8450

C.(20-x)(200+40x)=8450D.(20-%)(200+8尤)=8450

【分析】当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60-X-40=(20-x)元，每星期可

卖出(200+8x)件，利用每星期的销售总利润=每件的销售利润X每星期的销售量，即可得出关于龙的

一元二次方程，此题得解.

【解答】解：当店主把该商品每件售价降低尤元时，每件的销售利润为60-尤-40=(20-%)元，每星

期可卖出(200+8%)件，

根据题意得：(20-%)(200+8元)=8450.

故选：D.

21.《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上

端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳

索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为()

A.8?+/=(x-3)2B.82+(x+3)2=x2

C.82+(x-3)2=，D./+(x-3)2=82

【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可.

【解答】解：设绳索长为无尺，可列方程为(X-3)2+82=/,

故选：C.

22.为了满足师生的阅读要求，某校图书馆的藏书逐年增加，从2018年年底至2020年年底该校的藏书由

4.5万册增加到6.48万册,设某校2018年年底至2020年年底藏书的年平均增长率为尤,则可列方程为()

A.4.5+4.5(1+x)+4.5(1+x)2=6.48

B.4.5X2(1+x)=6.48

C.4.5(l+2x)=6.48

D.4.5(1+x)2=6.48

【分析】利用2020年年底该校的藏书量=2018年年底该校的藏书量X(1+年平均增长率)2,即可得出

关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得：4.5(1+x)2=6.48.

故选：D.

23.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得()

A.2(x+1)=121B.x+x(1+x)=121

C.1+x+x(1+x)=121D.1+(l+无)2=121

【分析】由每轮传染中平均一个人传染了尤个人，可得出第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中

有X(1+X)个人被传染，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感”，即可得

出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：•••每轮传染中平均一个人传染了x个人，

第一轮传染中有无个人被传染，第二轮传染中有无(1+x)个人被传染，

又•••有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，

可列出方程l+x+尤(1+x)=121.

故选：C.

24.某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18相、10根的矩形菜园(如图)，作为劳动教育系列课程的实

验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积

为1447/,设小道的宽为WJ,根据题意可列方程为()

B.2/=144

C.(18-x)(10-2x)=144D.(18-2x)(10-2x)=144

【分析】由小道的宽为；mi,可得出剩下的用于种植的部分可合成长为（18-2元）m,宽为（10-x）用的

矩形，结合种植面积为144MA即可得出关于尤的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：•••小道的宽为xm,

剩下的用于种植的部分可合成长为（18-2无）m,宽为（10-x）机的矩形.

根据题意得：(18-2x)(10-x)=144.

故选：A.

25.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3

株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每

盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（）

A.(x-3)(10-%)=40B.(尤+3)(10-%)=40

C.(%-3)(10+无)=40D.(x+3)(10+x)=40

【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（10-x）元,

根据每盆花苗株数义平均单株盈利=每盆的总盈利即可得出方程.

【解答】解：由题意得：（尤+3）（10_x）—40,

故选：B.

26.在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60c〃z,宽40c〃z,中间镶有宽度

相同的三条丝绸条带.若丝绸条带的面积为6505？，求丝绸条带的宽度;

x的一元二次方程，解方程即可.

【解答】解：设丝绸条带的宽度为xcm,

由题意得：2xX40+（60-2无）x=650,

整理得：?-70x+325=0,

解得：xi=5,%2=65（不合题意，舍去），

答：丝绸条带的宽度为5c7".

27.昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，

进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则

月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价尤元.

（1）用含有x的代数式表示月销售量y；

（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少

元/个？

【分析】（1）利用月销售量=600-10X售价在40元/个的基础上涨的钱数，即可用含x的代数式表示出

月销售量y；

（2）利用月销售利润=每个头盔的销售利润X月销售量，可列出关于龙的一元二次方程，解之可求出x

的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，可确定x的值，再将其代入（40+x）中，即可求出结论.

【解答】解：（1）根据题意得：y=600-10%；

（2）根据题意得：（40+X-30）（600-10%）=10000,

整理得：/-50x+400=0,

解得：xi=10,%2=40,

又：要尽可能让顾客得到实惠，

.*.x=10,

40+x=40+10=50.

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

28.道州脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益

的矿物质，深受消费者的喜爱.某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均

亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量

达到2880千克.

（1）若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？

（2）2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发

现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下

降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？

【分析】（1）设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x,第2021年脐橙平均亩产量为1000

（1+x）千克，第2022年脐橙平均亩产量为1000（1+x）2千克，据此列出方程求解即可；

（2）设增加脐橙种植面积。亩，根据成本不变列出方程求解即可.

【解答】解：（1）设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x,

根据题意，得2000（1+x）2=2880,

解得尤1=0.2,xi--2.2(不合题意，舍去)，

答：脐橙平均亩产量的年增长率为20%.

(2)设增加脐橙种植面积。亩.

根据题意，得(100+a)(1200-10a)=1200X100.

解得。1=0(不合题意，舍去)，"2=20.

答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变.

29.2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢.某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆.据统计，

该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件.

(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；

(2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰

墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少

10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？

【分析】(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x,由题意可列方程为IX(1+x)2=1.21,求解

即可.

(2)设每件商品的售价应该定为加元，根据题意可列方程为(根-80)(1500-10/〃)=12000,求出机

的值，再使其满足销量尽可能大即可.

【解答】解：(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为X,

由题意可得，IX(1+x)2=1.21,

解得xi=0.1,X2=-2.1(舍去)，

答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%.

(2)设每件商品的售价应该定为m元，

则每件商品的销售利润为80)兀，

每天的销售量为500-10(.m-100)=(1500-10m)件，

依题意可得-80)(1500-10m)=12000,

解得7〃1=110,m2=120,

••.要使销量尽可能大，

答：每件商品的售价应该定为110元.

30.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素.某汽车零部件生产企业的

利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元.

(1)求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；

(2)若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？

【分析】(1)设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x,根据题意列一元二次方程求解即

可；

（2）根据该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率求出该企业2022年的利润即可作答.

【解答】解：（1）设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x,

根据题意得：2（1+x）2=3.92,

解得：xi=0.4=40%,Xi—-2.4（不合题意，舍去），

即该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为40%；

（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，

该企业2022年的利润为:3.92X（1+40%）=5.488<5.5,

故该企业2022年的利润不能超过5.5亿元.

31.随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为

12.5万人.

（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；

（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率.已知北

湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多

少万人？

【分析】（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x,利用5月份游客人数=3月份游

客人数X（1+这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率）2,可列出关于x的一元二次方程，解

之取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，根据6月份游客人数不超过12.5X（1+25%）万人，

可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.

【解答】解：（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为X,

根据题意得：8（1+x）2=12.5,

解得：xi=0.25=25%,xi--2.25（不符合题意，舍去）.

答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为25%；

（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，

根据题意得：6.625+20yW12.5X（1+25%）,

解得：yW0.45,

的最大值为0.45.

答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人.

32.某商店经销一种销售成本为每千克30元的水产品.据某乐同学在市场分析，若按每千克40元销售，

一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.

（1）当销售单价是定为每千克45元时，求月销售利润；

（2）某商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多

少？

【分析】（1）利用月销售利润=每千克的销售利润X月销售量，即可求出结论；

（2）设销售单价定为x元/千克，则每千克的销售利润为（x-30）元，月销售量为（900-10%）千克，

利用月销售利润=每千克的销售利润X月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，

再结合月销售成本不超过9000元，即可确定结论.

【解答】解：（1）根据题意得：（45-30）X[500-10X（45-40）]

=15X[500-10X5]

=15X[500-50]

=15X450

=6750（元工

答：月销售利润为6750元；

（2）设销售单价定为x元/千克，则每千克的销售利润为（龙-30）元，月销售量为500-10（x-40）=

（900-10%）千克，

根据题意得：（%-30）（900-10%）=8000,

整理得：/-120^+3500=0,

解得：xi=50,X2=7O,

当x=50时，30（900-10x）=30X（900-10X50）=120009000,不符合题意，舍去；

当尤=70时，30（900-10x）=30X（900-10X70）=6000<9000,符合题意.

答：销售单价应定为70元/千克.

33.台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天

收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元.

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数X（1+每次增长的百分率）2=第三天收

到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；

（2）第三天收到捐款钱数X（1+每次增长的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.

【解答】解：（1）设捐款增长率为无，根据题意列方程得，

3000X（1+无）2=4320,

解得xi=0.2,X2=-2.2（不合题意，舍去），

答：捐款增长率为20%.

（2）4320X（1+20%）=5184元.

答:第四天该单位能收到5184元捐款.

34.2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为

“冰墩墩”.

（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生

产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？

（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情

况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？

■7

【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为龙，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂

二月份生产“冰墩墩”的数量x（1+该工厂平均每月生产量的增长率）2,即可得出关于X的一元二次方

程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40-y）元，平均每天可售出（20+5y）个，利用总利润

=每个的销售利润X日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.

【解答】解：（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为尤，

依题意得：500（1+x）2=720,

解得：xi=0.2=20%,X2=~2.2（不符合题意，舍去）.

答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%.

（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40-y）元，平均每天可售出20+10义工=（20+5y）个，

2

依题意得：（40-y）（20+5y）=1440,

整理得：/-36y+128=0,

解得：yi=4,”=32（不符合题意，舍去）.

答：每个“冰墩墩”应降价4元.

35.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，某家小型“大学生自主创业”的

快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月

的投递总件数的增长率相同.

（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；

（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今

年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为X,利用今年五月份完成投递的快递总件

数=今年三月份完成投递的快递总件数X（1+该快递公司投递快递总件数的月平均增长率）2,即可得出

关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）求出今年6月份的快递投递任务及20名快递投递业务员一个月的最大投递量，比较后可得出该公

司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，设需要增加y名快递投递员，根据

一个月的投递量不少于13.31万件，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再

取其中的最小整数值即可得出结论.

【解答】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为X,

依题意得：10（1+x）2=12.1,

解得：xi=0.1=10%,Xi—-2.1（不符合题意，舍去）.

答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.

（2）12.1X（1+10%）=13.31（万件），

V0.6X16=9.6（万件），9.6<13.31,

该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务.

设需要增加y名快递投递员，

依题意得;0.6（20+y）>13.31,

解得：声整1,

60

又为正整数，

的最小值为3.

答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加3业务员.

36.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够

长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园A8CD（篱笆只围AB,两边）.

（1）若花园的面积为400平方米，求A8的长；

（2）若在直角墙角内点尸处有一棵桂花树，且与墙8C,CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围

在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若

不能，请说明理由.

【分析】（1）设A3的长为x米，则BC的长为（50-%）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可

得到答案；

（2）设的长为x米，则的长为（50-尤）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案.

【解答】解：⑴设的长为尤米，则BC的长为（50-%）米，

由题意得：无（50-尤）=400,

解得：xi=10,X2—40,

即AB的长为10米或40米；

（2）花园的面积不能为625米2,

理由如下：

设AB的长为x米，则8C的长为（50-尤）米，

由题意得：

x（50-%）=625,

解得：XI=%2=25,

当尤=25时，BC=50-x=50-25=25,

即当AB=25米，BC=25米＜30米，

二花园的面积不能为625米2.

37.“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25-10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球

服.6月份平均每天售出100件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价

措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件.

（1）若降价5元，求平均每天的销售数量；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？

【分析】（1）利用平均每天的销售量=100+10义每件商品降低的价格，即可得出结论；

（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40-x）元，平均每天可售出（lOO+lOx）元，利用总利润=每

件盈利X平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可.

【解答】解：（1）平均每天的销售数量为：100+10X5=150（件），

答：平均每天的销售数量150件；

（2）设每件商品降价x元，

根据题意，得：（100+lOx）（40-x）=6000,

解得：xi=10,X2—20,

答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元.

38.2018-2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，2020

年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场

监督等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少，

市场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上

涨了5a%,市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元.

（1）求。的值；

（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售

出150千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克

下降1元，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽

可能让消费者得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？

【分析】（1）根据在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元得：32X（l+5a%）X4.5=324,

解方程可得a的值为25；

（2）设精品瘦肉的售价应为x元，2020年1月18号的价格为32义（1+寿空.）=72（元/千克），根据

100

每天有3040元的利润得（x-52）[150+10X（72-%）]=3040,解方程并检验可得精品瘦肉的售价应为

每千克68元.

【解答】解：（1）根据题意得：

32X（1+5«%）