2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（沪教版第24章相似三角形+25. 2 求锐角的三角比的值）解析版

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷

（沪教版）

（考试时间：100分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版第24章相似三角形+25.2求锐角的三角比的值。

5.难度系数：0.7o

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的）

1.在一幅地图上，用3cm表示150km,这幅地图的比例尺

为................................................()

A.1:50B.1:5000C,1:500000D.1:5000000

【答案】D

【详解】解：:150km=15000000cm,

・•.这幅地图的比例尺为3:15000000=1:5000000.

故选：D.

2.中，ZC=90°,NA:NB=1:2,贝!Jtan”的

值...........................................()

A.-B.—C.—D.V3

223

【答案】C

【详解】解：如下图：

B

.­.ZA=90°x-^30°,

3

tanZ.A=tan30°=——•

3

故选：c.

3.若2a=36,则下列比列式正确的

是................................................................................（）

aba2b223

A.—=—B.—=—C.—=—D.—

233ba3ab

【答案】c

【详解】解：A.由5=g得3。=26,故不符合题意；

B.由5=4得成=6,故不符合题意；

C.由2=3得2。=36,符合题意；

a3

D.由一2=［3得3。=26,故不符合题意；

ab

故选：C.

4.已知之、B为非零向量，下列判断错误的

是...........................................................................（）

A.如果〃=25，那么qB.如果卜卜W，那么a=B或°=

C.如果＜7+3=6，那么a〃6D.如果e为单位向量，且a=2e，那么卜卜2

【答案】B

【详解】解：A、如果之=2石，那么故本选项正确；

B、如果问=忖，没法判断£与B之间的关系，比如圆心为始点，终点在圆上的向量.故本选项错误;

C、如果£+刃=0，那么£〃书，故本选项正确；

D、如果）为单位向量，且£=2鼠那么同=2,故本选项正确；

故选：B.

5.在△48C中，点。、E分别在34G4的延长线上，已知A8:/D=3：2,下列各式不能判定。E〃圆的

是............................................................................................

.......................()

A.AE:CE=2:5B.AC:AE=3:2C.CB.DE=3):2D.AC:CE=3:5

【答案】C

【详解】解：A、根据NE:CE=2:5有/E:NC=2:3,结合43:4D=3:2则。石〃CB,故本选项正确，不符

合题意;

B、根据NC:/E=3:2和48:/。=3：2则有。£〃。8,故本选项正确，不符合题意;

C、由C8:D£=3:2,可知对应边成比例，但没有对应边的夹角这一条件，不能判定三角形相似，所以不能

判定DE〃C3,故本选项错误，符合题意;

D、根据NC:CE=3:5有/E:/C=2:3,结合48:4D=3:2则。E〃CB,故本选项正确，不符合题意;

故选：C.

6.已知线段a,b,c,求作线段x,使6x=ac,下列作法中正确的是)

【答案】D

Yn

【详解】解：A、土=:,即云=公，但x是未知线段，不能画出，故不符合题意;

cb

Xn

B、-=即仍=s,不符合题意；

bc

/7C

C、—=—,即办=6°,不符合题意；

bx

c,b

D、-=即加=反，符合题意；

xa

故选：D.

第二部分（非选择题共126分）

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

7.如果线段c是。、6的比例中项，且。=4,b=6,贝l|c=.

【答案】2屈

【详解】解：•.・线段c是。、b的比例中项，

/=ab，

Q=4,b=6,

■■-C2=4x6=24,

解得c=2直,c=—2灰’（舍去），

故答案为：2旗.

8.已知线段=2,如果点尸是线段"的黄金分割点，且NP>3P,那么丑的值为

【答案】V5-1

【详解】

解法一：・••点P是线段48的黄金分割点，且/P>BP，AB=2,

,AP

..-------------,

AB2

即AP=J^-X2=45-1.

2

解法二：•・•点P是线段4B的黄金分割点，且"〉BP,AB=2,

.BP_AP

AB-APAP

o即n-------=——，

APAB

.2-APAP

••=,

AP2

整理得/尸=-1+右或4P=-1-石（不合题意，舍去）

AP=-l+45,

故答案为：-1+^5.

9.在RtZ\/3C中，ZC=90°,cos/=；,贝.

【答案】30。

【详解】解：.•.在MA/BC中，ZC=90°,COSN=L,

2

...NA=60°，

:.ZB=90°-ZA=30°,

故答案为：30°.

3

10.如图，在此A4BC中，乙4c5=90。，CDLAB,tanzDC5=-,AC=129贝ljBC二

【答案】9

【详解】解：vz^CB=90°,

••24+48=90°,

-CDLAB,

.-.ZBCD+ZB=9O°,

二.乙BCD二AA,

在RtAACB中，

3--------BC

vtan/A=tanzBCD=—=-----,

4AC

33

：.BC=-AC=-xl2=9.

44

故答案为：9.

BE

11.如图，直线4。，3c交于点O,ABIIEFIICD.^AO=2fOF=l,尸。=2.则=的值为

【详解】vAB\\EF\\CDfAO=2,OF=1,

.BOAO_2

.而一而一T'

BO=2OE,

,,OEOF

・函―访一］，

/.EC=WE,

.BE__20E+0E_3

-；

•,菽一__2OE2

3

故答案为：—.

12.两个相似三角形对应高的比为3:4,其中两个三角形的周长差是12,那么大三角形的周长是

【答案】48

【详解】解：•・・两个相似三角形对应高的比为3:4,即相似比为3:4,

・•.它们周长的比是3:4,

设小三角形的周长为3x,则大三角形的周长为4x,

由题意，可得4x-3x=12,

解得x=12,

贝lj4x=48,

・・・大三角形的周长为48.

故答案为：48.

AQ

13.在A4BC中，AB=AC,如果中线期与高仞相交于点G,那么不=_____.

AD

【答案】|2

【详解】-AB=AC,

是等腰三角形，

••,AD是BC边上的高

根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD也是BC边上的中线

•••中线W与高ZD相交于点G

・••点G为ZL4BC的重心

AG2

.•茄一3

2

故答案为：—

14.如图，在平行四边形/3C。中，E为对角线/C上一点，设就=3，赤=小若AE=2EC,则皮=

【详解】解：..・四边形是平行四边形，

DC//AB,DC=AB.

是4C上一点，AE=2EC,

AE=-AC,

3

\-AB=AE+EB=AE-BE=-a-b,

3

—►2一

DC=—ci—b,

3

2一

故答案为：-a-b.

15.如图△Z5C中，5C=12cm,高4Q=8cm,正方形尸QW如图所示，则正方形边长尸0=

【详解】解：如下图，设/。与尸N交于点/,设正方形的边长为、cm,

•・•四边形PQW为正方形，

PN=MN=QM-PQ-xcm,PN//BC,

•.•江为△/BC的高，即

・•.AI1.PN,

■:PN〃BC,

；,NAPN=/B,/ANP=/C,

/\APNs^ABC,

AIPN8-xx

——=——,即nn----=——

ADBC812

解得x=4.8cm,

・•.正方形边长4.8cm.

故答案为：4.8cm.

16.如图，在ZUBC中，AB=6,BC=8,BP=^AB,。是BC边上一个动点，当BQ=时，ABPQ

与△A4c相似.

oa

【答案】/或1

【详解】•.•/3=6,BC=8,BP=；AB,

BP=2

当与时，

,BP_BQ

.1_BQ

■-6-8'

解得：BQ=^.

当ABPQs^BCA与时，

,BPBQ

.2BQ

"8"6'

3

解得：BQ=f

Q3

综上所述：当?或7时，AAP。与相似.

。2.

oa

故答案为：m或1

17.如图，等边ZUBC被矩形DEFG所截，EF//BC,线段48被截成三等份.若△4BC的面积为12cm?,

图中阴影部分的面积为cm2.

【答案】4

【详解】••♦线段48被截成三等份，

,AK2AH1

"AB"3'~AB~1＞，

■：EF//BC,

FAKNSAABC,

.SAAKN__4

9

SAABC~^AB~9

.S“KN__&

•Q="

一口qAKN3，

•・•四边形。EFG是矩形，

EF//DG,

DG//BC,

:.AAHMSAABC,

.S&AHM_(4H2_j_

-S/一＜AB)q

4AHL

C1

.04AHM__1

,,^2—-~9,

.S=1

-24AHM3，

164

阴影部分的面积=Sw-S^AHM=----4.

故答案为：4.

18.已知，平行四边形45co中，点E是4B的中点，在直线40上截取/尸=2ED,连接跖，EF交4c

【答案】|2■或2

【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H,

­••AB//CD,

.-.AEAF-AHDF,

.-.HD：AE=DF：AF=1:2,

即HD=-AE,

2

•••AB//CD,

•••△CHG-AAEG,

.-.AG：CG=AE：CH,

•••AB=CD=2AE,

15

;.CH=CD+DH=2AE+-AE=-AE,

22

.-.AG：CG=2：5,

.-.AG：(AG+CG)=2：(2+5),

即AG：AC=2：7；

(2)点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H,

AEB

---AB//CD,

.-.△EAF-AHDF,

/.HD：AE=DF：AF=1：2,

即HD=-AE,

2

•••AB//CD,

/.AG：CG=AE：CH

vAB=CD=2AE,

13

.­.CH=CD-DH=2AE--AE=(AE,

22

/.AG：CG=2：3,

/.AG：(AG+CG)=2：(2+3),

即AG：AC=2：5.

22

故答案为：E或3.

57

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

cot45。

19.（10分）计算：3tan450-cot600+2|sin300-l|-----------------------------.

11tan600+2cos45°

cot45。

【详解】解：3tan45°.cot60°+2|sin30°-1|-------———

tan60+2cos45

111

=3xlx—+2x

326+2*4.....................................2分

=V3+1-(V3-V2).....................................4分

=1+0.....................................10分

(1hc

20.(10分)已知线段。、b、。满足大=:==，且Q+b+c=33,求线段。、b、。的长.

245

nhc

【详解】解：设==—=：=碎。0),则。=2左,6=4左,。=5左..................2分

245

,••。+6+。=33,

・•.2左+4左+5左=33,

解得后=3,.....................................4分

：.a=6,b=12,c=15....................................10分

21.（10分）如图：在△/8C中，点。、E分别是六、/C的中点，设丽=[,BC^b.

A

⑴用向量£、B分别表示下列向量：CD=,或=;

（2）在图中作出向量痴分别在£、♦方向上的分向量.（不写作法，保留痕迹，写出结果）

【详解】（1）解：,・・点。、K分别是48、NC的中点，设强=3，BC^b.

—1—1--1—

；.BD=-BA=—a,CE=—CA,

22

CD=BD-BC

2

■■CA^BA-BC，

-.CE=^a-b),

..屈=」"$)=_£+/

2、,22

(2)解：如图，过E作EM〃/2交2C于X,

BMC

•••点。、£分别是48、/C的中点,

DE//BC,

.•.四边形DBME是平行四边形，

二向量而，丽？是向量而分别在2、办方向上的分向量;10分

22.（10分）如图，在zX/BC中，。是BC上的点，E是4D上一点，^.―=—,ZBAD=ZECA.

A

⑴求证：/C2=3C.CQ；

⑵若£是15。的重心，求AC%功2的值.

【详解】(1)证明：在△AW和中，

ABAD

<^4C~~CE9

ABAD=/ECA

••・ABADs4ACE中，

；"B=NEAC,

在4ABC和4DAC中'

J/5=NEAC,

[ZACB=ZDCAf

.・./\ABC^/\DAC,

ACBC

，~CD~^4C，

-AC2=BCCD；................................5分

(2)解：・〕BADs八ACE,

ABDA=NAEC,

；"CDE=NCED,

；.CD=CE,

・•・E是△45。的重心，

2

/.BC=2BD=2CD,AE=-AD,

3

-AC2=BCCD=2CD2,

,/△BADs"CE,

AD_BD

''~CE~~AE'

：.-AD2=BDCE,

3

.・.AD2=-CD2,

2

AC2_4

...............................10分

AD7-3

23.(12分)如图，在直角梯形4BCA中,AB//DC,NDAB=90°,AB=16,CD=10,BC=645.

⑴求梯形/BCD的面积；

(2)连接班，求ND3C的正切值.

【详解】(1)解：过C作CE1A8于E,

NADC=90°,

.-.ZA=ZADC=ZAEC=90°,

四边形4DCE是矩形，

AD=CE,AE=CD=\0,

BE=AB—AE=6,

BC=6y/5,

■■CE=^BC2-BE2=12.

梯形4BCZ)的面积;=1x(10+16)xl2-156

:...............................6分

(2)解：过C作CHLBO于H,

AEB

•・•CD//AB,

；"CDB=/ABD,

•；/CHD=NA=9。。，

二公CDHs公DBA,

CHCD

,•万一茄’

'-BD=ylAB2+AD2=7162+122=20,

CH10

~V2~20

CH=6,

由勾股定理得：BH=^BC2-CH2=12,

_CH_6

tan/D5C.................12分

~BH~12~2

24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，A、3两点的坐标分别为（20,0）和（0,15）,动点尸从点A出发在

线段NO上以每秒2个单位长度的速度向原点。运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向

上平行移动（即£尸〃无轴），分别与，轴、线段48交于点£、F,连接EP、FP,设动点尸与动直线斯

同时出发，移动时间为fs.

⑴求/=9时，△尸防的面积.

（2）移动过程中，是否存在这样的/使得APE尸的面积等于40?若存在，请求出/的值；若不存在，请说明理

由.

⑶移动过程中，是否存在/值使得以点E,O,P为顶点的三角形与△3CM相似？若存在，请直接写出所有

满足条件的/值；若不存在，请说明理由.

【详解】（1）-：EF//OA,

ZBEF=NBOA

又；NB=NB,

:.ABEFS公BOA,

.EFBE

'~OA~~BO'

当％=9时，OE=9,OA=20,05=15,BE=OB—OE=15—9=6,

5等3

:.Sp.=-EFOE^-xSx9=36；4分

M22

(2)不存在.

理由：;ABEFSABOA,

.所=些0=(157).2O2,

BO153V7

i4

.-.-x-(15-/)x/=40,

整理，得「一151+60=0,

•1•A=(-15)2-4x1x60=-15<0,

二方程没有实数根.

二不存在使得△PEF的面积等于40的f值；.................8分

(3)当/£尸0=/3/。时，AEOPsABOA,

OPOE20-2Zt

：■——=——，即pn------=—,

OAOB2015

解得/=6；

当=时，AEOPs"OB,

OPOE20-2Zt

：.——=——，即Bn------=—,

OBOA1520

解得f书.

on

二当/=6$或/=曰$时，△£(?尸与△BO/相似..................12分

25.(14分)如图，RtZ\23C中，乙4。8=90。,4。=6,3。=8.点。为斜边4B的中点，EDVAB,交边BC

于点E,点尸为射线/C上的动点，点0为边3C上的动点，且运动过程中始终保持尸

备用图

⑴求证：△皿3s△瓦)0；

⑵设==求丁关于%的函数解析式，并写出该函数的定义域；

⑶连接P。，交线段即于点?当△口＞尸为等腰三角形时，求线段"的长.

【详解】（1）证明：・•・N/C5=90。，

・・・4+4=90。，

VED1AB,

/EDB=90。,

：.ZDEQ+ZB=90°,

.・.N4=ZDEQ,

又TPDIQP,

：,ZPDQ=90°,

ZEDQ+/PDE=/ADP+ZPDE=90°,

ZEDQ=ZADP,

.•.△3尸s