2.3 确定二次函数的表达式 北师大版数学九年级下册教案

2.3确定二次函数的表达式课题2.3确定二次函数的表达式单元第二单元学科数学年级九年级学习目标1.通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的三种方法；2.能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.重点灵活运用三种求法求二次函数的表达式.难点灵活运用三种求法求二次函数的表达式.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课课件出示:生活中的抛物线图片.生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?首先需要知道这些抛物线的表达式,我们学过几种抛物线的函数表达式?问题我们学过的抛物线的函数表达式有:y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,要确定二次函数的表达式,分别需要知道哪些条件?【新知讲解】如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?学生思考并回答问题.并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识.导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力.讲授新课例题讲解例题讲解课堂小结 【例】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．解：设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得 10=a-b+c4=a+b+c7=4a+2b+c∴二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.y=2x2-3x+5=2（x-34）²+31∴二次函数对称轴为直线x=34,顶点坐标为（34，31一般情况的二次函数1.方法：待定系数法2.步骤：①设：设表达式为y=ax2+bx+c；②代：将三个点坐标带入所设二次函数表达式中；③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值；④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.【试一试】 已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,将（－3，0），（－1，0）和（0，－3）带入解析式中，得 9a－3b+c=0a∴二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.思考：在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？ 【例】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得y=a(x＋2)2＋1，再把点（1，－8）代入上式得a(1＋2)2＋1=－8，解得a=－1.∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.顶点法求二次函数的方法1.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.2.步骤：①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；②代：先代入顶点坐标，到关于a的一元一次方程；③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；④写：a用数值换掉，写出函数表达式.【例】选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.解：∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. ∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1.x2为交点的横坐标). ∴得y=a(x＋3)(x＋1). 再把点（0，－3）代入上式得 a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1， ∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1), 即y=－x2－4x－3.顶点法求二次函数的方法1.知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.2.步骤是：①设：设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；②代：将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；④写：a用数值换掉，写出函数表达式.巩固练习完成课件内容例题一起总结下本节课的知识点：结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法.老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解.老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解.学生跟着老师一起进行本节课的小结，学习一些新的方法.讲授知识，让学生熟练利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法.巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点.随堂练习1.如果抛物线y=x2－6x+c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（C）．A．8 B．14C．8或14 D．－8或－142.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（C） A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G3.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式．解：已知三点：（0，1），（2，5），（-2，13）设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,将三个点坐标带入y=ax2+bx+c，得1=c5=4a+2b+c13=4a-2b+c，解得∴二次函数的表达式是y=2x2-2x+1.4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， ∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又∵抛物线过点M(0，1)， ∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， ∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1.5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，求抛物线的表达式.解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得 16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴-b2＝－3∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识.借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.中考链接1.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．∴抛物线的解析式为；y＝﹣（x﹣3）（x+1），即y＝﹣x2+2x+3，（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．2.二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b，c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），∴3=16+4b+c0=9+3b+c解得b=-4c=3（2）∵该二次函数为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称