2024-2025学年江西省九年级上学期期中复习 第四章 图形的相似部分（含解析）

2024-2025学年度江西省九年级上学期期中专题复习

图形的相似部分

本资料以2023年江西省各大市期中考试题目汇编而成，旨

在为学生期中复习理清方向！

一、单选题

1.（23-24九年级上.江西景德镇•期中）下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个等腰直角三角形B.两个直角三角形

C.两个等腰三角形D.两个锐角三角形

2.（23-24九年级上•江西鹰潭•期中）如图，AABC与ADEP位似，点o是它们的位似中心，

其中。£=208,则AABC与△£>£下的周长之比是（）

.D

OBE

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

3.（23-24九年级上•江西九江・期中）如图，VA5c中，ZB=60°,43=6,AC=8.将VA5C

沿图中的DE剪开.剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A

/so0\

B4--------------------

AA

BDCB口C

2夭A

CD.E^\D

Gs'X

二、填空题

ace3

4.（23-24九年级上•江西景德镇•期中）已知工=：=7=7S+d+/w。），贝|

baj2

a+c+e

b+d+f~-----・

5.（23-24九年级上.江西景德镇.期中）如图，四边形ABC。与四边形A9CD是位似图形,

点。是位似中心，点A，是线段。4的中点，则争"=______.

〉ABCD

6.（23-24九年级上•江西鹰潭•期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1,

9

四边形ABCD的面积是一.若四边形EFG8与四边形ABC。相似，则四边形EFG7/的面积

2

7.（23-24九年级上•江西吉安•期中）如图，线段AB=10cm,点C是线段AB的黄金分割点,

且AC>3C,设以AC为边的正方形的面积为司，以BC为一边，长为另一边的矩形

BCRG的面积为邑,S、S2（填：“>"、"=”或

8.（23-24九年级上•江西萍乡•期中）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生

视觉上的美感.在如图所示的五角星中，AD=BC=^~,且C,。都是A8的黄金分割

2

9.（23-24九年级上•江西抚州•期中）如图，ABLBD,DE1BD,AB=6,DE=4,BD=14,

点户在80上移动，当VABC与ACDE相似时，BC的值为.

A

10.（23-24九年级上•江西景德镇•期中）如图，正方形ABCD中，E,尸分别是边AD,CD上

⑴求证：八ARFs八DFF：

⑵若正方形的边长为4,求BG的长.

11.（23-24九年级上•江西九江・期中）如图所示，在4x4的正方形方格中，VABC和ADEF

的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.

(1)填空：ZABC=,BC=

（2）判断VA3C与ADE尸是否相似？并证明你的结论.

12.（23-24九年级上•江西鹰潭•期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618:1,这时人

的身长比例看上去更美观.某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美

观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋.请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是

13.（23-24九年级上•江西景德镇•期中）杭州第19届亚洲运动会开幕式在杭州奥体中心主体

育场举行，奥运会游泳冠军汪顺和代表火炬线上传递参与者的“虚拟数字火炬手”一同点燃了

杭州亚运会的主火炬台.某校社会实践小组为了测量这座主火炬台顶端距离地面的高度，如

图2,小明先在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,

标杆的顶端点火炬台的顶端3正好在同一直线上，测得EC=3米；小明再从点E出发

沿着EG方向前进9米，到达点厂.在点尸处放置一平面镜，小刚站在G处时，恰好在平

面镜中看到火炬顶端3的像此时测得小刚的眼睛到地面的距离G8为1.5米，G产=3米.已

知点G、F、E、C与火炬台的底端A在同一直线上，ABYAG,CDrAG,GH^AG.（平

（1）求E4与AB的等量关系；

（2）请你根据以上数据，计算该火炬台的高度

14.（23-24九年级上•江西九江•期中）如图是6x6的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要

求完成以下作图（保留作图痕迹）.

图1图2

（1）如图1,在边BC上找一点P,使得△ABPS2\CBA.

（2）如图2,在边AC上找一点。，使得△ABQS^ACB.

15.（23-24九年级上•江西吉安•期中）已知，如图所示的四边形A5CZ）为菱形，AC,BD交

于。，AFLBC^F,交BD于点、E.

⑴求证：ABFE~^DOC

（2）求证：AD2=^DEDB；

⑶过点E作EG人AF,若DE=2BE,交AB于点G,若菱形48C。的面积为，求EG的

长.

DE2

16.（23-24九年级上•江西景德镇•期中）如图，在△ABC中，DE〃BC,—

BC5

（1）如果AD=4,求BD的长度；

（2）如果SAADE=2,求S四边形DBCE的值.

17.（23-24九年级上•江西九江•期中）如图1,在RtZ\A5C纸片中，ZACB=9Q°,AC=8,

BC=6,D,E分别是BC,A3边上的动点，且BE=BD,连接。E,将V3DE沿DE翻折,

点2落在点尸的位置，连接

⑴如图2,当点/在AC边上时，求BE的长.

（2）如图3,点。、E在运动过程中，当A尸〃DE时，求顾的长.

18.（23-24九年级上.江西景德镇.期中）如图1.已知四边形A8CD是矩形.点E在54的延

长线上.4£=&。.或;与8。相交于点6,与AD相交于点尸,AF=AA

（1）求证：BD±EC；

（2）若回=1,求AE的长;

⑶如图2,连接AG,求证：EG-DG=y/2AG.

图2

19.（23-24九年级上•江西鹰潭•期中）如图1,在RtAABC中，ZB=90°,BC=2AB=8,点

D,E分别是边BC,AC的中点，连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角

为a.

（1）问题发现

AF

①当，=0。时，—=_；②当a=180。时，—=_

BDDU

（2）拓展探究

AP

试判断：当0。女＜360。时，芸的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

（3）问题解决

当AEDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

AAA

E

20.（23-24九年级上•江西萍乡•期中）问题背景:一次数学综合实践活动课上，小慧发现并

证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图①，已知AD是VA5C的角平分线，可证

45=黑.小慧的证明思路是：如图②，过点。作。石〃至，CE交AD的延长线于点及

构造相似三角形来证明桨=黑尝试证明:

An

（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：矍「BD八

应用拓展:

（2）如图③，在RtAABC中，ABAC=90°,。是边BC上一点，连接AD,将AACD沿AD

所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.若AC=1,AB=2,求DE的长.

21.（23-24九年级上.江西吉安・期中）如图，在四边形A8CD中，G是。C上的点，连接BG,

点产是BG上的点，在BC上取点使CG=CH,连接HF,CF,AF.

⑴①如图1,点尸为正方形ABC。中对角线AC上一点，求证：GF=FH；

②如图2,在正方形A8CQ中，若CF_LBG于凡求证：ZCFH=ZAFB.

（2）如图3,若四边形A8C。为菱形，ZCFB=ZBCD

①直接写出ZBHF与445之间的数量关系；

②若HF=BH,ZFAB=60°.AF=3,AD=5,求AH的长；

22.(23-24九年级上•江西景德镇•期中)如图(1),已知点G在正方形ABC。的对角线AC

上，GE±BC,垂足为点E,GFLCD,垂足为点尸.

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGP是正方形；

4G

②推断：高三的值为_____:

BE

(2)探究与证明：

将正方形CEGP绕点C顺时针方向旋转a角(0。<6(<45。)，如图(2)所示，试探究线段

AG与BE之间的数量关系，并说明理由：

(3)拓展与运用：

正方形CEG尸在旋转过程中，当3,E,尸三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG

交于点H.若AG=6,GH=2&,,贝U8C=.

图⑴图⑵图⑶

参考答案:

1.A

【详解】解：A、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，

它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直

角三角形相似，故符合题意；

B、任意两个直角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个直角三角形相似,

故不符合题意；

C、任意两个等腰三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个等腰三角形相似,

故不符合题意；

D、任意两个锐角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个锐角三角形相似，

故不符合题意；

故选：A.

2.A

【详解】解：：△ABC与△DEF位似，点。为位似中心.

AAABC^/\DEF,OB；0E=1：2,

.♦.△ABC与△OEE的周长比是：1：2.

故选：A.

3.C

【详解】解：A,VZC=ZC,/DEC=NB=60。,

：.^DECs^ABC,故本选项不符合题意；

B、VZC=ZC,ZCDE=ZB,

Z\CDEs^CBA,故本选项不符合题意；

C、由图形可知，只有=不能判断故本选项符合题意；

D、VZA=ZA,ZADE=ZB=60°,

AAADE~AABC,故本选项不符合题意；

故选：C.

4.3

2

ac0%

【详解】解：•；Z=；7=7=彳3+4+/*。），

baj2

.a+c+e=3

••b+d+f2"

3

故答案为：—.

2

5.-/0.25

4

【详解】解：•••点4是线段Q4的中点,

/.OA'=-OA,

2

,四边形ABCD与四边形AB'CD'是位似图形,

q=(与=1

q

ABCDOA41

1

故答案为:

4

6.迎

8

S四边形EFG”

【详解】解：由相似多边形的性质可知,

S四边形ABCZ)

S四边形EFGH=(6]/81

-

914J，解得,S四边形EFGH--I'

O

2

O1

故答案为：--.

O

7.

【详解】解：・・•点c是线段AB的黄金分割点，且AC>8C,

.ACBC

**AB-AC?

AC2=ABBC,

2

'：H=AC,S2=AB?BC,

S.=S2,

故答案为：-.

8.1

【详解】解：・.・c,。两点都是的黄金分割点，

,ACAD+CD75-1

•・------------------,

ABAB2

AB=AD+CD+BC,AD=BC=^^~,

2

AB=45+l+CD，

^AB=j5+l+CD,*£）二石+1代入」D+，

2AB2

/日好4+⑺r-

得:2V5-1,

J5+1+CD~2

整理得：（3-石）。=3-右，

:.CD=1,

故答案为：1.

9.2或8.4或12

【详解】解：VABC与ACDE,ABLBD,DE1BD,

当BC与CD为对应边，

BCAB

"7jD~~DE，

AB=6,DE=4,BD=14,

:.CD=BD-BC,

,BC6

"14-BC~4'

3c=8.4,

当BC与DE为对应边,

,BCAB

"~DE~~CD，

■：AB=6,DE=4,BD=14,

:.CD=BD-BC,

BC6

"4"14-BC'

3C=2或12,

综上所述：当BC的值为2或8.4或12时相似.

故答案为：2或8.4或12.

10.（1）证明见详解;

⑵10;

【详解】（1）证明：,•,四边形ABC。是正方形,

・・・NA=NO=90。，AB=AD,

VAE=ED,DF=-DC,

4

.DFDE_1

AE~AB~2"

：.Z\ABE^/\DEF;

(2)解：•・•四边形ABC。是正方形，

AD//BC,ZD=ZFCG=90°,

:.NDEF=NG,

：.小DEFS△GCF,

.DFDE

^~CF~~CG9

•••正方形的边长为4,DF=\DC,AE=ED,

4

：.DF=1,CF=4—1=3,AE=ED=2,

.1_2

••§_CG，

：.CG=6,

：.BG=BC+CG=4+6=10.

11.(1)135°；272

(2)VABCs立)EF,理由见解析

【详解】(1)解：ZABC=90°+45°=135°,

BC=A/22+22=2A/2；

故答案为135。；272;

(2)解：△ABC:Z\DEF.

证明：•.•在4x4的正方形方格中，

ZABC=135°,Z.DEF=90°+45°=135°,

:.ZABC=ZDEF.

■.■AB=2,BC=2>/2,EF=2,

‘黑=^=叵，—巫9

DEFE2

.ABBC

^~DE~~EF

Z\ABC:Z\DEF.

12.这双高跟鞋的高度偏高

【详解】解：设这双高跟鞋的高度为xcm时，人体上半身长和下半身长成黄金比例,

由题意得：64:(102+力=0.618:1,

解得：x~1.6,

,/6cm>1.6cm,

,这双高跟鞋的高度偏高.

3

13.(1)EA=-AB,理由见解析；

(2)该火炬台的高度=18米.

3

【详解】(1)解：EA=-AB,理由：

2

:点G、尸、E、。与火炬台的底端A在同一直线上，AB±AG,CD1AG,

：.CD//AB,

AECD^AEAB,

,ECCD

"EA"AB)

：EC=3米，CD=2米，

••一,

EAAB

3

：.EA=-AB；

2

(2)解：由题意得：EF=9米，

AFA=EF+EA=9+EA(米)，

•・,点G、F、区。与火炬台的底端A在同一直线上，AB^AG,GHLAG,

：.GH//AB,

：.小FHGS4FAB,

.FGGH

•・•方G=3米，G〃=1.5米，

.31.5目口31.5

••=f=,

FAAB9+EAAB

3

由（1）得：EA=-AB,

3_1.5

9+-ABAB,

2

AB=18(米)，

答：该火炬台的高度为18米.

14.(1)见解析

(2)见解析

【详解】(1)如图所示，点P即为所求.

图1

证明：由网格的特点可得，BP=l,AB=2,BC=4

,BPAB1

"AB~BC~2

又：ZABP=ZCBA

：.AABPsMBA；

(2)如图所示，确定点M,然后连接连接3M交AC于点。，点。即为所求.

图2

证明：由网格的特点可得，

AC是横4竖2的长方形的对角线，是横2竖4的长方形的对角线,

ACYBM

：.ZAQB=90°

：.ZA+ZABQ=90°

ZA+ZC=90°

.・.ZABQ=ZC

又•.・ZAQB=ZABC=90°

15.⑴见解析

Q）见解析

⑶GE=M

3

【详解】（1）证明：•••对顶角相等

ZBEF=ZAED

•菱形ABC。

/.AC上3。且80平分/ABC与ZADC（菱形两对角线互相垂直平分）

,?ZABC=ZADC

：.ZOBC=ZOOC

'：AF±BC

：.ZAFB=ZCOD=90°

:"BFEfDOC（两角对应相等的两三角形相似）

（2）由（1）得BO=OD

：.ZCAE+ZAEC=90o

:菱形ABCZ）

/.ADUBC,BD=2OD

：.AELAWNEWngOOuNGlE+NQW

ZAEO=ZOAD,ZAOE=ZAOD=90°

A^AOD-AEAD（两角对应相等的两三角形相似）

.ADED

"而一而

•*.AD2=ODxED

1

AD27=-DExBD.

2

（3）,菱形ABCD面积为66，AFJ.BC

AFxBC=6y/3

•；DE=2BE

/.BE=-BD

3

/.AE=-AF

3

设BE=〃z,则DE=2m.BD=3m

由(2)得：AD2=-DExBD

2

**•AD=A/SHI

3

在RtZXAOD中，AD=y/3m,OD=-m

2

AO=^-m

2

此时S菱形ABC。=；AC8O=；X6m'3"2=孚〃22=6』

m2=4m=±2(舍去负值)

则根=2

VEG±AE9AD1AF

；.GE//AD

.GEBE

…茄一茄

.•。二子

21

16.(1)BD=6；(2)S四边形DBCE=»

【详解】(1)VDE//BC,

AAADE^AABC,

.ADDE

**AB-BC?

DE2

——二—,ADM,

BC5

.4_2

••4+BD-??

・・・BD=6；

DE2

(2)VAADE^AABC,—=-,

BC5

.S&ADE_,DE2

.YABC'BC，

•SAADE=2,

2+S四边形DBCE5

解得：S四边形DBCE=彳.

(2)275

【详解】(1)解：由翻折的性质可得：BE=EF，BDDF

BE=BD

：・BE=EF=BD=DF

J四边形3。五£是菱形

.・.DF//AB

:•小CDFs^CBA

.BCAB

**DC-BF

.BCDC

**AB

在RtZXABC中，ZACS=90°,AC=8,BC=6

AB=VAC2+BC2=10

.BCDC_6_3

**AB-DF-IO-?

设BE=BD=DF=5x,则:DC=3x

BD+DC=BC

5x+3x=6

3

解得：x=9

4

BE=5x=—；

4

(2)解：如图，作交BC于点H；

B

,：ZACB=9Q°

：.EH\\AC

:四边形BOFE是菱形

DFHAB,BE=BD=DF

,/AF//DE

A四边形AFDE是平行四边形

:.AE=DF=BD=BE，AF=ED

：.BE=BD=-AB=5,BH=-BC=3

22

•*.HD=BD-BH=2

在RtZYBHE中

EH=y/BE2-BH2=4

在RtADHE中

AF=ED=YIEH2+HD2=2A/5-

18.(1)见解析；(2)匕正；(3)见解析

2

【详解】(1),・,四边形ABCD是矩形，

ZBAD=ZEAD=90°,AO=BC,AD〃BC,

在^EAF和aDAB,

AE=AD

<ZEAF=ZDAB,

AF=AB

：.AEAF^ADAB(SAS),

AZE=ZBDA,

VZBDA+ZABD=90°,

・•・ZE+ZABD=90°,

・•・ZEGB=90°,

・・・BGJ_EC；

(2)设AE=x,则EB=l+x,BC=AD=AE=x,

VAF/7BC,NE二NE,

AAEAF^AEBC,

.EAAF

…砺一兹又AF二AB=1,

-=—即%—1=0,

1+xX

解得…符XW(舍去)

即AE=匕更

2

(3)在EG上截取EH=DG,连接AH,

在^EAH和^DAG,

AE=AD

</HEA=NGDA,

EH=DG

：.AEAH^ADAG(SAS),

二•NEAH二NDAG,AH=AG,

ZEAH+ZDAH=90°,

・•・ZDAG+ZDAH=90°,

・•・ZHAG=90°,

/.△GAH是等腰直角三角形，

AH2+AG2=GH2即2AG=GH2,

.\GH=V2AG,

,:GH=EG-EH=EG-DG,

「・EG-DG=^2AG.

D

xdN

EAB

19.⑴①手，②字⑵无变化;理由参见解析.（3）4#,竽.

【详解】(1)①当a=0。时，

：RSABC中，ZB=90°,

AC=YIAB2+BC2=J(84-2)2+82=4A/5,

・・,点D、E分别是边BC、AC的中点

・•・AE=拽=2A/5,BD=8：2=4,

2

・AE_2y/5_yj5

••丽一~^~一~T•

②如图i,

A

B------------D

图1'''E

当a=180°时,

可得AB〃DE,

..ACBC

'AE~BD'

.AE_AC_4非—非

•・茄一葭一丁一了

(2)如图2,

BC

图2

当0。女＜360。时，工的大小没有变化,

VZECD=ZACB,

.\ZECA=ZDCB,

Y7••ECAC

乂・----=----=----

DCBC2

AAECA^ADCB,

.AEECy/5

"~BD~~DC~~'

AD=JAC?-CD2=7(4A/5)2-42=V80-16=8

VAD=BC,AB=DC,ZB=90°,

四边形ABCD是矩形，

；.BD=AC=46.

②如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点

P,

图4

：AC=4BCD=4,CD±AD,

AD=y]AC2-CDr=,(4局-42=V80-16=8,

:点D、E分别是边BC、AC的中点，

.\DE=-AB=-X(84-2)=-X4=2,

222

・・・AE=AD-DE=8-2=6,

由(2),可得

AE非

----=-----9

BD2

612^/5

BD=非5・

综上所述，BD的长为4方或苧.

20.(1)见解析(2)DE=—

3

【详解】(1)证明：：CE//AB,

J/F=/FAR,ZB=ZECB,

JLCEDS^BAD,

.CECD

••二一„„，

ABBD

・.・/E=/FAR,ZEAB=ZCAD,

：.NE=NCAD,

：.CE=CA,

.ABBD

'AC-CD

(2),・•将△ACD沿AD所在直线折叠，点。恰好落在边AB上的£点处,

AZCAD=ZBADfCD=DE,

ABBD

由(可知,

1)~\C~~CD

XVAC=1,AB=2

.2BD

'T-CD

:.BD=2CD,

VZBAC=90,

BC=^AC1+AB1=Vl2+22=45

BD+CD=#,

/.3CD=正,

・非

••CD-;

3

・n/76

・・DE=—.

3

21.(1)①见解析；②见解析

(2)①ZBHF+44B=180。；②AH;巫

3

【详解】(1)①:点尸为正方形A8CO中对角线AC上一点,

・・・AC平分々CD,

・•・ZGCF=ZHCF

又•：CG=CH,CF=CF

：.ACGF^ACHF,

:.GF=FH；

②•・•由CF_LBG,ZBCG=90°,ZFBC=ZFBC,

可得△跳Cs△区CG,

ZBCF=ZCGB=Z.GBA,

BFBC

,:CG=CH,AB=BC,

.CFCH

,,定一盗'

：.ACFHS&BFA,

ZCFH=ZAFB；

(2)①NBHF+44B=180。，

理由：YNC/5=N3CD,ZFBC=ZFBC,

：.ABFCs△3CG,

CFBF

：.