2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：构造函数法解决不等式问题（学生版+解析）

专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.....................................................1

二、典型题型.....................................................2

题型一：构造尸(x)=yy(x)或=且-0)型.......2

题型二：构造尸(尤)=*/(幻或/(x)=^("eZ,且-0)型......3

e

题型三：构造/(x)=/(x)sinx或F(x)=幺小型....................4

sinx

题型四：构造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=△2型.................17

COSX

三、专项训练.....................................................5

一、必备秘籍

1、两个基本还原

①小)g(x)+公)g'。)="⑴gM②八警W⑴=[偌丫

2、类型一：构造可导积函数

①enx[f\x)+叭刈=[e""(x)r高频考点1：ex[f\x)+/(%)]=[e"(初'

②》7[才(%)+叭%)]=，〃%)]'

高频考点1：xf{x)+/(%)=[xf(x)]f高频考点2x[W(x)+2f(x)]=[//⑴1

同/'(%)-叭x)_"(明高频考点L如”=噌］，

回-----^-nx-----=IL---nx-1J

xfXx')-nf(x)

④

n+\

高频考点1：矿⑴-/⑴=「加

高频考点23=[2-]

2r

XXXX

⑤/'(%)sin%+/(%)cosx=[/(%)sinx]r

⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]f

序号条件构造函数

1f'(x)g(x)+/(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)

2/V)+f(x)<0F(x)=exf(x)

3f'(x)+nf(x)<0F(x)=emf(x)

4xf'(x)+f(x)>0F(x)=xf(x)

5W)+2/(x)<0歹(x)=巾⑴

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7/'(x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8/'(x)cosx-f(x)sin%>0F(x)=f(x)cosx

3、类型二：构造可商函数

G，'(x)—nf(x)/(x)高频考点i：r（x）-/（x）/^）

①浮=〔浮一=[r

°〃+1—L丫八」

JiJi

高频考点1：矿（x）J（」=心必,高频考点—⑺/吗竽

XX

@/'(x)sinx—/(x)cosx=

sin2xsinx

⑥r(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了

'-COS2XCOSX

二、典型题型

P(x)=/(X)

题型一：构造尸(x)=x"(x)或"x"(HGZ,且"0)型

1.（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）已知函数/（X）为定义在R上的偶函数，当x＞。时,

矿（幻+2〃尤）＞0,则下列四个判断正确的为（）

A./（-2）＜4f（l）B./（-2）＞4/（1）

C.7（-2）＜斗D./（-2）＞*

44

2.(2024•湖南益阳•模拟预测)已知的定义域为(0,+8)"'⑺是〃尤)的导函数，且

x7，W+2#(x)=lnr,2ef(e)=l,则(1/卜也j,(tan£|的大小关系是()

A.小小nj<小n1B.(sin；卜

C-小*"1上小njD.小nj

3.(多选)(23-24高二下•山西太原•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，

V'(x)-〃x)<0,且"1)=0,则下列结论正确的是()

A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)

C.当0<x<l时，/(x)>0D.当x<—l时，/(%)<0

4.(多选)(23-24高三上•安徽六安•期末)已知函数〃力的导函数为尸(x),对任意的正

数x,都满足了(x)<4'(x)<2/(x)-2x,则下列结论正确的是()

A」(l)<2心

B./(1)<|/(2)

C./(1)<4/[1]-2

D.〃1)<卜⑵+1

F(x)=/(*)

题型二：构造/(x)=e"V(x)或一泮(neZ,且此0)型

1.(23-24高二上•江苏宿迁•期末)函数/(无)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有

f'(x)-f(x)>0r则()

A./(-1)>0B./⑶〉虫2)

C-evQLeVQ]D.蛆3)>〃4)

2.（2024•全国•模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数〃尤）及其导函数尸（力满足

/'（x）＜r（x）恒成立，且无＞。时〃力＞0,则下列式子不一定成立的是（）

A.f（8）＞2/（4）B./（4）＞2/（2）

C./（2）＞2/（1）D.〃1）＞2出）

3.（2020•广东梅州•模拟预测）设尸（x）是的导函数，定义在（0,+功上的函数满

f⑴

足（1）〃力＞0；（2）2/（%）＜/（%）＜3/（%）,则看的范围为（）

A-战］B.1:，口C.1白口D.

4.（多选）（23-24高二上,安徽滁州,期末）已知函数/（x）的定义域为R,其导函数为7'（尤），

且对任意的xeR,都有〃x）+r（x）＞0,则下列说法正确的是（）

A.e/（l）＜/（0）B.W）＞/（0）

C.2/（ln2）＜e/-（l）D.2/（ln2）＞e/-（l）

5.（多选）（2023•全国•模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数/（无），g（无），/（尤）的

导函数为/（X）,若尸（x）-/（x）=e',列。是指数函数，f（0）=0,g⑴=2,则下列说法正

X

确的是（）

A.g(x)=x-2xB.7（x）在R上单调递增

D.d幽

C.HGN\

Un2jIn22e

F（X）2M

题型三：构造尸（无）=/（%）smx或=sinx型

1.（23-24高二下•重庆•阶段练习）函数/（尤）是定义在（-兀,0）U（0,7t）上的奇函数，其导函

数为尸⑺，且了0,当0<x<7t时，/,(x)sin%-/(x)cosx<0,则关于x的不等式“x)<0

的解集为（）

c.(-K,o)ulo,-|

三、专项训练

1.(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)已知尸(x)为函数〃力的导函数，当x>0时，有

-矿(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是()

A一出"5B./出<2心

C.小/⑴D.

2.(23-24高二下•四川宜宾•阶段练习)已知函数Ax)的定义域为R,对任意xeR,有

Ax)-/(x)>0,则不等式e"(x+l)>e2〃2x-l)的解集是()

A.{x|x<4}B.{X尤<3}C.{尤|无<2}D.{x|尤<1}

3.(23-24高二下•四川内江,阶段练习)已知函数“力是定义在R上的可导函数，其导函数

为尸(x).若〃0)=5,且〃力寸小)>2,则使不等式〃x)43e*+2成立的x的取值范围

为()

A.(-oo,-l]B.[1,+<»)C.(F,0]D.[0,+oo)

4.(21-22高三下•西藏拉萨•阶段练习)设函数/(龙)是奇函数〃力(xwR)的导函数，

/(-1)=0,当无>。时，.矿(力―〃力<0,则不等式〃x)<0的解集为()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(TO)。。,zo)

C.S，-l)U(-1,0)D.(O,1)U(1M)

5.(23-24高三上•陕西•阶段练习)已知函数“X)的定义域是(-5,5),其导函数为尸(x),

且〃X)+4'(X)>2,则不等式(2%-3)〃2了一3)—(%-1)〃彳-1)>2》—4的解集是()

A.(2,+oo)B.(2,6)C.(-4,6)D.(2,4)

6.(22-23高二下•四川绵阳•期中)已知定义在R上的函数/(尤)的导函数为/'(无)，且

f'(x)-/(元)<0,，⑴=e，则不等式/(lnx)>x的解集为()

A.(0,Ve)B.(0,e)C.(Ve,+oo)D.(e,+oo)

7.(22-23高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知定义在R上的函数〃尤)的导函数为尸(x),

且3〃x)+r(x)<0,〃ln2)=l,则不等式〃x)e3，>8的解集为()

A.(-<»,2)B.(fo,ln2)C.(ln2,+oo)D.(2,+oo)

8.(22-23高二下•江西吉安•期末)若定义在R上的可导函数Ax)满足

(x+3)/(x)+(x+2)r(x)<0,『(0)=1,则下列说法正确的是()

212

A./(-I)<2eB./(1)<—C.f(2)>D./⑶

二、多选题

9.(2024,浙江温州•一模)定义在R上的函数的导函数为((力，对于任意实数x,都

有/(—x)+e2"(x)=0,且满足24x)+f'(x)=2,则()

A.函数/(x)=e"(x)为奇函数

B.不等式e"⑺-十<0的解集为(O,ln2)

C.若方程/■(元)一(尤-a)2=。有两个根4,4，贝

D.“X)在(0,〃0))处的切线方程为y=4x

10.(2023•海南海口•模拟预测)已知函数“X)的定义域为R,其导函数为尸(x),且

2/(x)+r(x)=x,贝I()

A./(-1)>-2B./(1)>-1

C.“X)在(-8,0)上是减函数D.〃尤)在(0,+功上是增函数

三、填空题

11.(23-24高二下•上海•期中)设〃尤)是定义在R上的偶函数，尸(%)为其导函数，

7(2024)=0,当尤>0时，有#'(x)>/(x)恒成立，则不等式#(力>0的解集为.

12.(23-24高二下•江西南昌,阶段练习)定义在(0,+8)上的函数的导函数为/(%),且

才(x)+f(x)<0,则不等式吟心>/(2)+若］的解集为.

13.(22-23高二下•吉林长春•期中)已知函数7⑺的导数为/'⑴，若2〃x)+/'(x)>2,

/(0)=5,贝I］不等式〃x)-4e0>1的解集为.

14.(22-23高三上•山东•阶段练习)已知尸(x)为定义域R上函数“X)的导函数，且

4

f\x)+f'(2-x)=Q,X>1,(龙一l)r(x)+2〃x)>。且"3)=1,则不等式/(彳)>诉/

的解集为.

专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型..............................................2

题型一：构造歹(x)=x"(x)或/(x)=C^(〃eZ,且-0)型.....2

题型二：构造尸(尤)=*/(幻或/(x)=^(〃eZ,且-0)型.....3

e

题型三：构造厂⑴=/O)sinx或F(x)=28型.................4

sinx

题型四：构造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=△肛型...............17

COSX

三、专项训练..............................................5

一、必备秘籍

1、两个基本还原

①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)="(x)g(x)r②/'(x)g(；)-*)g'(x)=[?书，

[g(x)rg(x)

2、类型一：构造可导积函数

①enx[f'(x)+叭刈=[e""(x)r高频考点1：ex[f'(x)+/(%)]=

②》7[才(%)+叭%)]=，〃%)]'

高频考点1：矿(x)+/(x)=[#(%)]'高频考点2x[xf\x)+2f(x)]=[x2f(x)]'

③八X):叭'=[绰],高频考点1：/叫/'⑴=〔驾了

eeee

公疗"(X)—7/(x)/(x),

高频考点1：矿⑴/(乃=[也了高频考点2V'⑴:27'⑴=[”了

XXXX

⑤f\x)sinx+/(%)cos%="(%)sinx]r

⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]f

序号条件构造函数

1f'(x)g(x)+/(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)

2/V)+f(x)<0F(x)=exf(x)

3f'(x)+nf(x)<0F(x)=emf(x)

4xf'(x)+f(x)>0F(x)=xf(x)

5W)+2/(x)<0歹(x)=巾⑴

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7/'(x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8/'(x)cosx-f(x)sin%>0F(x)=f(x)cosx

3、类型二：构造可商函数

G，'(x)—nf(x)/(x)高频考点i：r（x）-/（x）/^）

①浮=〔浮一=[r

°〃+1—L丫八」

JiJi

高频考点1：矿（x）J（」=心必,高频考点—⑺/吗竽

XX

@/'(x)sinx—/(x)cosx=

sin2xsinx

⑥r(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了

'-COS2XCOSX

二、典型题型

P(x)=/(X)

题型一：构造尸(x)=x"(x)或"x"(HGZ,且"0)型

1.（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）已知函数/（X）为定义在R上的偶函数，当x＞。时,

矿（幻+2〃尤）＞0,则下列四个判断正确的为（）

A./（-2）＜4f（l）B./（-2）＞4/（1）

C.7（-2）＜斗D./（-2）＞*

44

【答案】D

【分析】由#'(%)+2/(x)>0(x>0)结构特征可知？'(幻+2/(尤)是函数g(x)=x2f(x)的导数

简单变形得到的，故构造函数并得到函数g(x)=x"(x)的单调性，再结合函数奇偶性即可判

断选项中各函数值大小.

【详解】令g(x)=x2f(x),贝Ug'(x)=2#(x)+^f\x)=x(2/(x)+#'(x))>0在(0,+8)恒成立,

所以g(尤)=f/(x)在(0,+«)单调递增,所以g⑴<g(2),BP/(l)<4/(2),

又因为函数/(x)为定义在R上的偶函数，所以"1)<4/(-2),即/(一2)〉与，

故选：D.

2.(2024・湖南益阳•模拟预测)已知/(力的定义域为(0,+动,广(尤)是的导函数，且

x2f'(x)+2xf(x)=lwc,2ef(e)=l,则的大小关系是()

A.4：</卜只卜/'an]B./(sin；卜/&)</,曰

【答案】C

【分析】根据x"'(x)+2犷(x)=hr构造函数g(x)=x"(x),代入原式化简后得到

/⑴=xlnx-2g(x),再构造函数〃(无)=xMx—2g(无)，讨论川龙)的单调性即可得到/(无)<0,

X

最后根据的单调性求解即可.

【详解】因为/1(工)+2犷(x)=lnx,即[%2/(x)y=]nx,

构造函数g(x)=x2/(x),则g'(x)=}nx,/(x)=岂学.

x

将/(%)=驾代入尤夕'(尤)+2犷(x)=InX,得f'(x)=xlnx-2g(x)

XX

再构造函数"(x)=xlnx-2g(x),贝5|〃'(x)=lnx+l-2g'(x)=l-lnx,

易知，当xe(0,e)时，h\x)>0,函数">)单调递增；当xe(e,+8)时，h'(x)<0,函数〃(x)单

调递减，所以/2(x)max=/z(e)=e-2g(e)=e-2e2/(e),

由于2学"(e)=l,所以/z(e)=0,所以飘x)W0,

所以当xe(0,e)时，f'(x)<0,函数/")单调递减；

当尤e(e,+s)时，/'(x)<0,函数/")单调递减，所以“X)在(0,内)单调递减.

又根据单位圆可得三角不等式sin1〈!<tan!，又sin±<sin2，tan-<tan-,所以

3334332

/(tan；)<f(1)</(sing),故Jtang］</Q^|</［也：］

故选：c.

【点睛】方法点睛：本题考查构造函数，并利用导数比大小的问题.题中条件

//'(%)+2犷(%)=10%可以构造函数g(x)=f/(x),进一步构造函数〃(x)=xlnx-2g(x),然

后讨论力(x)的单调性，由以x)wO得到(5)<0,再由三角不等式得到自变量的大小关系，

最后根据了(X)的单调性求解.

3.(多选)(23-24高二下•山西太原•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当尤>0时，

xf\x)-f(x)<0,且"1)=0,则下列结论正确的是()

A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)

C.当0<x<l时，/(x)>0D.当天<-1时，/(x)<0

【答案】BC

【分析】构造函数g(x)=qo,然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.

【详解】设g(x)=£(",

X

由/(X)是定义在R上的奇函数知，则尤#0时，g(x)=?为偶函数，

且尤>。时，g，(x)=W〃x)<o,

故g(x)在(0,+s)单调递减，

由偶函数的对称性知，g(X)在(-8,0)单调递增，

故g(—2)>g(—3),即正4>正11,故3/(—2)<2/(-3),B选项正确；

—2—3

当0cx<1时，g(x)=Z^l>g(l)=斐=0,故/'(x)>0,C选项正确；

当x<-l时，g(x)=g<g(-l)=g(l)=0,故〃x)>0,D选项错误；

由B,D选项知，0<3〃-2)<2/(-3),故2〃一2)eg〃-3)<3〃一3),A选项错误.

故选：BC

4.(多选)(23-24高三上•安徽六安•期末)已知函数的导函数为尸(耳，对任意的正

数x,都满足/(x)<4'(x)<2/(x)-2x,则下列结论正确的是()

A.〃…出

B.〃1)<：〃2)

c.f(l)<4f[1j-2

D.〃1)T⑵+1

【答案】BC

【分析】设g(x)=/，(x>0)，利用导数求出g(x)的单调性，据此即可判断A和B选项,

设/⑺/([「a>。),根据导数求出力(x)的单调性，据此即可求解C和D选项.

【详解】设g(x)=F(x>0),贝Ug，(x)=4'(x"/(x)>0,

所以g(无)在(。，+动上单调递增，

由g⑴>g得/⑴>2/gj,故A项错误；

由g(l)<g(2)得〃1)<："2),故B项正确；

设/⑴="?-2%>0),则

“⑺=6X)2)X2(〃X)2X).2X=矿(x)-(2〃x)-2x)<0,

所以/z(x)在(0,+e)上单调递减，

由得故C项正确：

由网1)>42)得/⑴〉;/(2)+1,故D项错误.

故选：BC.

p(x)=/(.

题型二：构造凡x)=e""(x)或一浮(«eZ,且〃W0)型

1.(23-24高二上•江苏宿迁•期末)函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数无恒有

r(x)-/(%)>0,则()

A./(-1)>0B./(3)>ef(2)

C.却出<&冉D.巩3)>〃4)

【答案】B

【分析】首先构造函数g(x)=4a，根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判

断.

【详解】设g(x)=/H,则g，(尤”r(无)e；"x)e'=尸,

由条件可知,r(x)-/(x)>0,所以g，(x)>0,则函数g(无)在R上单调递增,

因为函数〃可是定义在R上的奇函数，则"0)=0，即/(-1)<〃0)=0,故A错误；

由函数的单调性可知，坐〉绰，得〃3)>歹(2),故B正确；

ee

由得故C错误；

由坐V翌，得y⑶<〃4),故D错误.

ee

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数g(x)=，h从而可以根据函数的单调性,

判断选项.

2.(2024•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数“X)及其导函数((犬)满足

f(x)<r(x)恒成立，且x>0时〃力>0,则下列式子不一定成立的是()

A./(8)>2/(4)B./(4)>2/(2)

C./(2)>2/(1)D./(1)>2/^

【答案】D

【分析】构造函数尸(另=竽，利用尸(无)的单调性可得结果.

【详解】设尸(无)=21，因为4⑺一,)2一e,，

又〃x)<r(x),所以尸(x)>0,即尸。)在R上为增函数,

选项A：因为*8)>网4),即尊1>坐，化简得〃8)>e4〃4)>2〃4),故A成立；

ee

选项B：因为*4)>b(2),即绰〉里1,化简得〃4)>e2〃2)>2〃2),故B成立；

ee

选项C：因为“2)>/1),即华>/色，化简得〃2)>>2〃1),故C成立；

ee

选项D：因为尸即四>f[±]

化简得而£/(£[<2/

故D不一定成立；

故选：D.

【点睛】本题关键是构造函数尸(”=¥，利用函数的单调性判断结果.

3.(2020•广东梅州,模拟预测)设尸(x)是〃x)的导函数，定义在(0,+")上的函数“X)满

f⑴

足(1)/(%)>0；(2)2/(x)<r(x)<3/(x),则力台的范围为()

a-f]b-[Ujc-1宗)d-[14

【答案】B

【分析】构造g(无)=42,求导得到单调性，根据g(l)<g(2)得到记<3,构造

〃(耳=绅，求导得到单调性，根据•1)>〃(2)得到忍>],得到答案.

【详解】设g(x)=22,则g(x)在(0,+动上单调递增，

则g⑴<g⑵，即曾<9,借<5；

eee

设/z(x)=T，则/⑺=，。)1/口)<0,Mx)在(0,+8)上单调递减，

则旗1)>力(2)，即w>中，号>3；

ee八勾e

综上所述："<羽<「

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定单调性，再根据单调性确定不等关系，意在考

查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造g(x)=绰和可刈=?2，

求导确定单调区间是解题的关键，构造法是常考的数学方法，需要熟练掌握.

4.(多选)(23-24高二上•安徽滁州,期末)已知函数Ax)的定义域为R,其导函数为/'(无),

且对任意的xeR,都有〃x)+r(x)>。，则下列说法正确的是()

A.e^(l)</(0)B.eA(l)>/(0)

C.2/(ln2)<eA(l)D.2/(ln2)>ef(l)

【答案】BC

【分析】令g(x)=e"(x),可得g(x)在(-8,+◎上单调递增，取自变量的值可得结果.

【详解】令g(x)=e"。)，所以g'(x)=e"(x)+e"'(x)=el[/(%)+f\x)}>0,

所以g(x)在(-00,+00)上单调递增,

所以g(0)<g(l),gp/(0)<e/-(l),故A错误,B正确;

又g(ln2)<g(l),所以eM"(ln2)<”⑴，

即2f(ln2)(叭1),故C正确，D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

⑴作差或变形.

⑵构造新的函数/?(*).

⑶利用导数研究Mx)的单调性或最值.

⑷根据单调性及最值，得到所证不等式.

5.(多选)(2023•全国•模拟预测)已知定义在R上的连续可导函数Ax),g(x),Ax)的

四是指数函数，/(0)=0,g⑴=2,则下列说法正

导函数为7"(x),若/'(x)-/(x)=e",

X

确的是()

A.g(x)=x-2xB./*)在R上单调递增

n

C.〃eN*,g

ln2In2»啖等

【答案】AC

【分析】由尸(尤)-Ax)=e，及"0)=0可得函数/(X)的解析式，结合导数即可判断B；由幽

是指数函数及g⑴=2可得g(x)的解析式，可判断A；由解析式计算可判断C；D选项代入

后为比较e2与2‘的大小关系，可转化为比较小与学的大小关系，构造函数以无)=皿，

e2%

结合导数研究即可得.

【详解】"⑺-即1=1,

即有[幺3]=1，可得4?=x+c(C为常数)，

又/(。)=。，故c=0,所以/(x)=xe"，

对于选项A,胆=优(〃>0且awl),由g⑴=2,得a=2,

X

故g(x)=x-2',故A正确;

对于选项B,f\x)=(x+l)ex,当x<-l时，f'(x)<0,

故/（x）在上单调递减，故B错误;

n

对于选项C,g记万•2ln2,而2京_2(log2e)/z_e，

ln2

nn兽,故gn罂，故c正确;

故g•e〃二

ln2ln2m2ln2m2

对于选项D,等",

设飘x）=g,则无）=lz^£

XX

令/i'(x)>0,贝i]O<x<e；令，(x)<0,则x>e,

故九。）在（0,e）上单调递增，在（e,+与上单调递减,

*27/、IneIn2,._

所以/z(e)=——>-=h(2x),

e2

=，＞皿=2"故D错误,

e

故选：AC.

p（x）=于3

题型三：构造/。）=/。）0也%或'sinx型

1.（23-24高二下•重庆•阶段练习）函数“X）是定义在（F,0）U（0,7i）上的奇函数，其导函

数为尸（x）,且/仁）

0,当0＜x＜兀时，/'（x）sinx-/（x）cosx＜0,则关于x的不等式〃力＜。

的解集为（）

7171

A.B.q，。唯兀

22

C.(F,O)UogD.■，兀

【答案】B

【分析】由题意可构造函数g（x）=/0,利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判

sin%

断g（x）=/（D的正负情况，结合〃x）＜0,即可求得答案.

sinx

【详解】令g(x)=©,则g，⑺JMsinx]⑺cosx

sinxsinx

由于当Ovx<兀时，r(x)sinx-/(x)cosx<0,故此时

则g（x）在（0㈤上单调递减,

由于函数〃力是定义在（-兀,0）U（0㈤上的奇函数，

贝Ug（—尤）==^sinx=g（"）’即g（X）为（一&。）U（0,兀）上的偶函数,

则g（x）在（-兀,。）上单调递增，

而“空=0,故g["=o，

故当0cx〈:或一g<尤<0时，g(x)>0,当g<X<7l或一7!<x<-g时，g(x)<0,

sinx>0fsinx<0

由〃x）＜0可得或《/、n角率得1<X<7t或一]<X<°,

g(x)<0[g⑺>0

故不等式〃x）＜0的解集为卜：0卜已兀

故选：B

【点睛】关键点点睛：关键是构造函数g（x）=£（”,并得出其单调性、奇偶性，由此即可

sinx

顺利得解.

2.（23-24高二下•重庆）设/（力是函数的导函数，当时，

cos2x-f(x)+sin2x•fr(x)>—f(x),则()

7171

A.f<0B-<+/>0

D./(T)〃l)<0

【答案】B

【分析】

利用三角函数公式化简已知，再构造函数g（"=sinx"（x）,利用函数单调性依次判断选项.

【详解】•••cos2x-/(%)+sin2尤-/(x)>-/(%),,

(2cos2x-1)-/(x)+2sinxcosx•/'(x)+/(x)>0

.,.cosx-/(x)+sinx-/,(x)>0

设g(x)=sinx"(x),g，(x)>0,;.g(x^]-|",|^单调递增,

•,遭g"⑼=。"5>0,所以A错误；

71

g>g>Sm(-6)Z

所以/图+/]-曰>。，所以B正确；

g1)>g4ns呜科>sin%J卜同■(沙⑸⑵,所以c错误；

g(°)>g(-1)=sin0-/(。)>sin(-l)-/(-1)0>-sin1'/(-1)/(-1)>0,,

g(l)>g(O)^sinl-/(l)>sinO-/(O)=>/(l)>O,所以D错误.

故选：B

3.(23-24高二下•江苏•阶段练习)函数“X)的定义域是仅㈤，其导函数是尸(x),若

f'(x)siwc<-f(x)cosx,则关于x的不等式0/(尤卜加</(：]的解集为.

【答案】[5]

【分析】根据已知条件和要求解得不等式，构造函数g(x)=/(x)sinx,xe(0,7i),根据已知条

件判断其单调性，根据单调性即可求解要求解的不等式.

［详解】/f(x)sinx<-/(%)cosx变形为了'(%)sinx+f(九)cosx<0,

变形为/(x)sinx</

故可令g(x)=/(x)sinx,xe(0,K),

则g'(x)=7'(x)sinx+/(x)cosx<0,

・••g(X)在(0,兀)单调递减，

不等式/(x)sinx</1:bin?即为g(x)<g(：)，

…「兀

则尤了兀

故答案为:

尸(x)=2M

题型四:构造F(x)=/(x)cosx或COSX型

1.(23-24高二上•宁夏石嘴山•)定义在上的函数/'(尤)是它的导函数，且恒

有了'(x)>/(x>tanx成立.则()

B.V3/(l)<2cosl-/兀

d

71-何用n

>2/

【答案】A

【分析】

根据条件构造函数g(x)=〃x)cosx,求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项,

即得到结论.

【详解】

当T%

,cosx>0

则不等式尸(x)>/(力-tanx等价为尸(x)>〃x)•黑

即cos即，⑺-sin即(%)>0,

设g(x)=〃x)cosx,

贝I(x)=cosxfz(x)-sinxf(x)>0,

即函数g(无)在(。,日上单调递增，

71

g(l)>g

2cosl-/(l)>73/0得不出V3/(l)<2cosl./Tt

,故B错误.

V6f^<2/Q,故C错误.

可用故D错误.

故选：A.

2.(多选)(23-24高二下•安徽滁州•阶段练习)定义在„上的函数〃x),已知尸(力是

它的导函数，且恒有88%"'(%)+5]!«"(%)<0成立，则有()

【答案】CD

【分析】构造函数g(无)=△",结合题目所给性质可得g(x)在"外上单调递减，结合函

COSX、1

数单调性计算即可得.

■、工A/、m./、cosx-rfxl+siru-f(x]

【详解】令gx则g[x=————3，

cosxcosX

由已知可得g'(x)<0,即g(x)=上在上单调递减，

COSX\L)

兀兀兀

cos—cos—cos—

346

故即C、D选项正确.

故选：CD.

3.(23-24高二下•江苏苏州•期中)已知函数y=〃x),x<0,£|,尸(x)是其导函数，恒

有生贝|]()

sinxcosx

【答案】AD

【分析】由题设得/'(x)cosx>/(x)sinx,构造g(x)=/(x)cosx并应用导数研究单调性,

【详解】因为所以sinx>0,cosx>0,又生1>逗，

[2Jsin%cosx

所以/'(x)cosX>/(x)sinx,

构造函数g(x)=/(x)cosx,xel0,^-j,贝ljg'(x)=/''(x)cosx—/O)sinx>0,

所以g(x)在(o，T上为增函数，

因为产，所以021,即个时>/小吟，即/[f>何用，故A正

确；

因为所以g部g(。即心崂>.d>哈故佃邛尼)故B错

误；

因为聿<1，所以g(f<g⑴，即/[185己</(1)««1,故(乎/⑴cosl,故C错误；

因为方>1，所以gH>g(l)，Bp/^cos|>/(l)cosl,故/])>2/(l)cosl,故D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：将已知条件转化为了'(x)cosx>/(x)sinx,进而构造g(x)=/(x)cosx

研究单调性为关键.

三、专项训练

1.(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)已知尸(力为函数”X)的导函数，当x>0时，有

/(x)-4'(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是()

A-，出>2心B./@<2/

C.修/⑴D.小/⑴

【答案】B

【分析】构造函数P(x)=/?,x>0,求导确定其单调性，根据单调性确定建立

的不等关系，以及尸[()/(1)的不等关系，整理化简得答案.

【详解】令/(》)=/区户>0,则9(x)="，("；/(”,

XX

因为当x>0时，有〃力-犷'(*)>0恒成立，

所以当x>0时，刊'(x)=r(x)：j/(x)<0,

即尸(无)在(0,+功上单调递减,

所以pgKj,g|JJ2J<即A错误，B正确，

24

zm

尸［；］>尸(1),即」斐，即