2024-2025学年高二数学上学期期中必刷题（压轴6类考点专练）（解析版）

高二上学期期中必刷题精选（压轴6类考点专练）

间向量夹角、距离中的参数及最值问题

一、单选题

1.（24-25高三上•云南玉溪•阶段练习）在下图所示直四棱柱4BCD-481GA中，底面488为菱形,

2,动点尸在体对角线5。上，则顶点5到平面/PC距离的最大值为（

1V2「V3

A.-RL•----D.V2

222

【答案】A

【分析】连接/C交班＞于点0,由题意得NC上8。，接着建立空间直角坐标系求出向量方和平面NPC的

AB-n\

法向量♦即可根据向量法的点到平面距离公式d=―求解.

同

【详解】连接4c交3D于点O,

由题意，得4C/BD,OB-OD——AB=—,

OA=OC=y/AB2-OB2=

如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则d。,一'、

,0|,5|p0,0］，C0,

\一77

所以就=（0,后0）,羽=|—,0，西=（一1,0,2）,设丽=2西（0V2V1）,

7

,0+A（-l,0,2）=-2+1，4,21,

^X^AP=AB+BP=AB+ABDl=

\272）

G

nrAC

设平面/PC的一个法向量为力=（x,y,z）,贝小----9

iiLAP

n-AC=^y=0y=0

、一;卜,取x=42,

所以x+^y+2Azn

n-2P=I-2+10

z——22~

则为=(440,24-1),

设顶点B到平面APC距离为d,

22

，20力-42+1

当4=0时d=0,

当0<4«l时,

所以当!=2即4=1时点3到平面APC距离最大为4==i

故选：A.

2.（24-25高二上•广东东莞•阶段练习）在正方体N8CD-48CQ|中，平面a经过点2,D,平面月经过点

A,2,当平面a,夕分别截正方体所得截面面积最大时，平面a与平面£的夹角的余弦值为（）

A.—B.—C.-D.-

3323

【答案】C

【分析】首先根据题意转化为过体对角线的平面2D。由与平面/3G2夹角的余弦值，利用向量坐标法求

平面的法向量，即可求解.

【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，

所以题目转化为求平面BDDR与平面ABCR夹角的余弦值,

以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙z,

设正方体棱长为1,平面。与平面△的夹角为夕，

因为_1_平面48cD,NCu平面48cD,所以

且4C7,8。，BDClDD}=D,BD,DD[u平面BDDR,

所以/CL平面也乂）4,同理80，平面N5G。，

所以衣为平面月的一个法向量，麻为平面/8G2的一个法向量,

A（1.0,0）,c（o,l,o）,A（1，1，1），

—__西丽11

用C=（T。,-1）,则侬"由鬲=万道=于

故选：C.

3.（24-25高二上•河北•阶段练习）在正三棱柱/BC-481G中，NB=2,44=日BC=2BO,M为梭Bg

上的动点，N为线段4以上的动点，且”MN=2MO"，则线段"N长_度的最小值为（）

MOMA

A.2B.V3C.—D."

22

【答案】D

【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数

求最值即可.

【详解】因为正三棱柱/8C-44C中，有芯=2丽，所以。为3C的中点，取中点0,

连接。。，如图，以。为原点，。。,。4。。为工//轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),A(0,50),4(-1,o,6),G(1,0,5,

因为M是棱3c上一动点，设M（a,0,®且

因为拓i=b°,有，-6），且誓=整，

\7MOMA

…MO2a2+3/+3-----广厂

所以MN=M=K、（5、S=R，于是令"中心函而,

所以:2+3^[76,77],

J/+6ftL」

又函数y=在[庭,近]上为增函数，

所以当""时，"[mm=&-/==半，即线段"N长度的最小值为逅.

t7622

故选：D.

4.（24-25高二上•云南大理•阶段练习）在长方体/BCD-48JGR中，AB=AD=2,44=1,。是ZC的

中点，点尸在线段4G上，若直线。尸与平面4CR所成的角为夕，则Sin。的取值范围是（）

A.1旦£

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，设点尸（应2-见1）,其中04。42,利用空间向量法求出sin。的取值范围.

【详解】以点。为坐标原点，以DA、DC、所在直线分别为x、歹、z轴建立如下图所示的空间直角

坐标系，

则。(0,0,0)、A(2,0,0)、C(o,2,o)、0(1,1,0),A(0,0,1),

设点尸(a,其中0<a<2,则砺=

M=(-2,0,1),^C=(-2,2,0),

设平面ACDt的法向量为五=(x),z),

n-AD,=-2x+z=0(、

则—',取X=l,可得乃=1,1,2,

万•/C=-2x+2y=0

I—I\n-OP\|a-l+l-a+2|21

所以,sin0=cosn,OP\=--(=4-=—-----.==—T=•.=

刚0PlV6-^2(a-l)2+l娓^2(a-l)2+l

因为0WaW2,贝!贝!)04(a-lj41,则荷”1)，+1e[l,可

所从亚六丁忤4则仙。《百言丁怜闿.

故选：B.

5.(24-25高二上•重庆•阶段练习)长方体/BCD-N5G，，AB=BC=1,BBl=2,动点P满足

丽=2元+〃函(4〃e[0,l]),APLBD,,则二面角尸-AD-2的正切值的取值范围是()

【答案】B

【分析】先建系，再根据向量垂直得出彳-1+4〃=0再结合-4〃«0』，得出〃e0,：,最后应

用空间向量法计算二面角余弦结合同角三角函数关系求出正切范围即可.

【详解】

以。为原点，分别以DC,DD｝所在直线为xj,z轴建立空间直角坐标系.

已知A8=3C=1,BBt=2,

则41,0,0),5(1,1,0),乌(1,1,2)W(0,0,2),Z)(0,0,0),C(0,l,0).

因为8尸=九改7+484(4〃€[0,1]),所以BP=ABC+/JBB1=A(-1,0,0)+//(0,0,2)=(-2,0,2〃),

2?=A8+SP=(0,1,0)+(-2,0,2//)=(-A,1,2,u),=(-1,-1,2)

因为所以万・西=2-l+4〃=0,

因为所以〃e0,1,

设平面ADB的法向量为1=(0,0,1),

设平面4DP的法向量为0=(%,%,Z2),历=(1,0,0),AP=(-2,1,2//).

n2•DA=0+y2+2JLIZ2-0

由彳------，即4八，

n2-AP=0〔工2=°

令%2=0,则歹2=24,=-1,

则Z=(0,2〃,-1)为平面ADP的一个法向量.

设二面角尸-为。，由图可知。为锐角，

所以COS&=|一||一|・

网网

=0x0+0x2//+lx(-l)=-1.

同=1,区|=府+(_1)2+4〃2=，4〃2+1.

[=[4/

所以侬I211+47

则tana=2〃£0,—.

则二面角尸-力。-2的正切值的取值范围是0，；

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用向量关系得出2T+4M=0结合即可得出

正切值取值范围.

二、多选题

6.（24-25高二上•江西南昌•阶段练习）在长方体工88-4片中，4B=BC=2,C3=4,点E在棱

上，且=.点M为线段与。上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）

A.当点刊为中点时，平面叫DQ

B.过E点作与直线22垂直的截面夕，则直线3与截面a所成的角的正切值为好

5

C.三棱锥E-8。”的体积是定值

D.点/到直线5G距离的最小值为亚

3

【答案】ABC

【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助直线方向向量与平面法向量计算得到A；设平面a与8月、CQ

分别交于点尸（2,2,加）、。（0,2〃），则可通过线面垂直的性质，即而西=0,QE-BD^O,从而确定平

面a,再求出其法向量，结合皿的方向向量与空间向量夹角公式得到B；结合长方体性质及体积公式可得

C；借助空间向量中点到直线的距离公式可得D.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系。-型，

则有。(0,0,0)、A(2,0,0)、4(2,0,4)、8(2,2,0)、左(2,2,4)、C(0,2,0)、

G（0,2,4）、2（0,0,4）,则£（2,0,3）,

对A：当点M为8e中点时,则可7=(1,-1,0),

有函=(0,0,4),方函=(2,2,0),

,-m=Az=0

设平面3BQQ的法向量为记=(x,y,z),B

令x=l,则有y=—l,z=0,即Hi=(1,—1,0),

有不7=浣，故丽://浣，故G”，平面曲QQ,故A正确;

对B：设平面a与8片、CQ分别交于点尸(22加)、。(0,2,〃)，

则丽=(0,-2,3-加)、QE=(2,-2,3-n),西=(-2,-2,4),

由题意可得丽・西=0x(-2)+(-2)x(-2)+(3-优)x4=0,解得旭=4,

班•西=2x(-2)+(-2)x(-2)+(3-")x4=0,解得〃=3,

即而=(0,-2,-1)、QE=(2-2,0),

设平面a的法向量为il=(a,b,c),则有\—.,

OE-n=2a-2b=0

令a=l,则有6=1,c=-2,即元=（1,1,一2）,

25_-276

又25=（-2,0,0）,则cosAD,n=

⑷.向71+1+4-26

则直线4D与截面a所成的角的余弦值为

直线3与截面a所成的角的正弦值为-哙=修,

OO

工=叵

即直线川与截面a所成的角的正切值为故B正确;

屈5

对C：由BD//BA，则点M到直线3。的距离为定值，故S-Mm为定值,

又由长方体性质可得AAXU平面BBRD,

故点£到平面B8QO的距离为定值，设为〃，

故三棱锥E-BDM的体积『=g•SAMBD-h为定值，故C正确；

对D：苑=（-2,0,4）,设5^?==（24,2/1,0）,0W4W1,

贝（1m=西+疝瓦=（2422_2,0）,

8分-"+4一弁

故点M到直线8G距离的最小值为g4,故D错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：B选项中，可设平面a与B用、CG分别交于点尸（2,2,加）、。（0,2,〃），则可通过线

面垂直的性质，即而的=0,QEBDi=Q,从而确定平面a.

7.（24-25高二上・吉林•阶段练习）在棱长为1的正方体/BCD-4用G2中，P为棱8片上一点，且

B\P=2PB,。为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A.若画平面4叫则动点。的轨迹是一条长为弋的线段

B.存在点。，使得2。，平面4尸。

c.三棱锥尸。的最大体积为三

D.若20=半，且4。与平面4尸。所成的角为夕，则sin。的最大值为噜

【答案】ACD

【分析】在4G，CG取点E，尸，使得C,E=2B,E,C,F=2CF,证得平面DEFII平面AXPD,进而得到D.Q!/

平面4尸D,可判定A正确；以2为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量

m=(3,-2,3).根据丽=/石，得出矛盾，可判定B不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公

式，求得5/加=叵，在求得点。到平面4勿的最大距离12=去，结合体积公式，可判定C正确；根

据题意，求得点点。的轨迹，结合线面角的公式，求得。(g,l,g)时，取得最大值，进而可判定D正确.

【详解】对于A中，如图所示，分别在4G，eq取点凡尸，使得C|E=2B⑸CF=2CF,

可得EF//B。,因为所以E尸///Q,

因为4。U平面4尸。，EF①平面4尸£),所以收//平面4尸。，

又由。尸〃4尸，且4Pu平面49，O/Z平面4阳，所以。///平面

又因为EFcD[F=F,且SEA厂u平面£>£尸，所以平面DEF//平面4PD,

且平面DEFn平面BCC'B、=EF,

若20//平面4尸。，则动点。的轨迹为线段既，旦EF;巫,所以A正确;

3

对于B中，以。为原点，以。4，RG，OQ所在的直线分别为无，％z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

2——.---?

可得4(1,0,0),D(0,0,l),尸(1,1,-),则AQ=(-1,0,1),4尸=(0,1,J),

设Q(x,1,z)(0<x<l,0<z<l),可得丽=(x,1,z),

m-AXD=-a+c=0

设而=(a,6,c)是平面4包》的一个法向量，贝！I_—.2，

m-A1P=b+—c=0

取。=3,可得z=3,b=-2,所以机=(3,-2,3),

若2。，平面4尸。，则丽〃蓝，所以存在4ER,使得丽=2浣，

3-

则x=z=-2史［°」，所以不存在点。，使得2。，平面4阳，所以B错误;

对于c中，由45=(-1,0,1),甜=(0,《)，可得|朝=冈羽=半,丽.不=：,

——2----,—.J?2

所以5山4。，4尸二手

则COS4。,AXP=r--

V26V26

=；物"亩"4尸=3岳—、卷=一,

所以S44Po

要使得三棱锥。-4P。的体积最大，只需点0到平面的距离最大,

—►4。•玩1

由40=(X-1,1,Z),可得点。到平面APD的距离d==，=|3(x+z)_5|,

\m\si22

因为04X4l,04Z〈l,所以当X+Z=0时，即点。与点G重合时，可得右叫=言,

722

所以三棱锥。-4阳的最大体积为人加口=上学-口=，所以c正确；

31V2236V2218

对于D中，在正方体中，可得。G，平面BCGA，且GQu平面

所以则GQ=jDg-2C；=1,

所以点。的轨迹是以G为圆心，以孝为半径的圆弧，其圆心角为

则电=(x,0,z),所以|函卜6+z2=1,BPx2+Z2=1,

又由丽=(x,l,z),设4。与平面4尸。所成的角0,

JI|3(x+z)_2|

所以sin6=

产的㈤。卜同丽「后.G77⑰乂邪

因为，+/=；,可得(x+zyW2(/+Z2),当且仅当x=z时，等号成立,

所以x+zWl,即x=z=；时，2。与平面4Po所成的角最大值,

sin。的最大值为奈宗=曙，D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：

1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动

点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、

性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有

解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未

知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.

三、填空题

8.（24-25高二上•北京•阶段练习）如图，在四棱锥P-/8CD中，底面4BCD,ND48为直角，

ABHCD,AD=CD=2AB,E,尸分别为PC,CD的中点，PA=kAB*>0）,且二面角E-BD-C的平面

角大于30。，则上的取值范围是.

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设48=1,向量法表示出二面角E-3。-C的平面角的余弦值,

结合题意建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围.

【详解】以A为原点，以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

设N8=l,则/（0,0,0）,8（1,0,0）,。（2,2,0）,。（0,2,0）,尸（0,0,左）,《1,1,3,

丽=（-1,2,0）,^=fo,l,|\且平面CDB的一个法向量为丽=（0,0,1）,

设平面的一个法向量为W=（x,y,z）,

n•BD=-x+2y=0

则_—.1，取歹=1,有x=2,z=-7,可得拓=

n-BE=y+—7kz=0k

2

V3

设二面角E-BD-C的大小为6,贝1!cos6=|cosm,n\=k

2，

化简得所以八智'

2V15、

所以实数k的取值范围

2V15)

故答案为:----,+oo

15J

9.（湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷）正方体/8CD-4片GA中,

点E是44的中点，点尸为正方形44出田内一动点，且C尸〃平面£史£,若异面直线CF与4A所成角为

9,则cos0的最小值为.

【答案】亚

5

【分析】建立空间直角坐标系，设A（2,0,0）,求出平面。的一个法向量为五=。,2,-2）,找

2

到加-〃-1=0,再求出cos。=1_不,分析当机=1或2时，cos。最小即可解答.

721n-6m+9

【详解】分别以DA,DC,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设A（2,0,0）,F（2,m,n）,0<m<2,0<n<2,

则。（0,0,0）,£（2,0,1）,C（0,2,0）,G（022）,

故C尸=（2,加一2,〃），DE=（2,0,1）,DC1=（0,2,2）,DA=（2,0,0）.

n-DE=2x+z=0

设平面DEG的一个法向量为记=（xyz）,贝!——►,

n-DCx=2y+2z=0

[y=2xz、

解得、,令X=l,则行=1,2,-2,

[2=-2x

因为。尸〃平面0EG，所以丽•元=2+2（冽一2）-2〃=0,

即加一〃一1二0,所以加=〃+1E[1,2],

设异面直线CF与4〃所成角为e,

|CF-53|42

贝！]cos91困可—2商+（%一2）2

+〃212m2—6加+9

3_9

由于2m2—6m+9=2（加——）2+—,

所以当%=1或2时，上式有最大值，此时cose最小为2叵.

5

故答案为：竽

一、单选题

1.（24-25高二上・江西•阶段练习）点（-2,3）关于直线2x+2y-3=0对称的点的坐标为（）

【答案】A

【分析】根据两对称点的中点在直线上，对称点连线与直线垂直列出方程组得解.

【详解】设点（-2,3）关于直线2x+2y-3=0对称的点的坐标为（加,〃）,

3-2+m入3+〃3

2x---------+2=0m=—

解得2

则《7

-3

n=­

m+2[2

故选：A

2.（24・25高二上•全国•课后作业）已知直线4过点4（2,4）,与工轴交于点5（3,0）,直线4与4关于V轴对

称，则直线4的方程为（）

A.4x+y-12=0B.4x-y+12=0

C.4x+5歹-12=0D.4x-5j+12=0

【答案】B

【分析】计算点43关于了轴的对称点分别为H,B',再由两点式计算直线4的方程即可.

【详解】由题得点48关于V轴的对称点分别为4（-2,4）,9（-3,0）,

直线人经过凡H两点，

故直线4的方程为用=*3，

即4x-y+12=0.

故选：B.

3.（2025高三・全国•专题练习）已知x+y=0,贝1Jx2+/一2x-2夕+2+-2）?+/的最小值为（）

A.75B.2A/2C.V10D.2y/5

【答案】C

【分析】先将7X2+/-2X-2J+2+7（x-2）2+y2变形为7（x-l）2+（^-l）2+7（X-2）2+/,再根据其几何

意义数形结合转化为直线x+y=O上动点到直线同侧两定点的距离之和,然后利用对称转化为异侧两点之间

距离最短可求最小值.

【详解】设点尸(xj)为直线x+y=O上的动点，

由yjx2+y2-2x-2y+2+^(x-2)2+y2=+(_y-l)2+^(x-2)2+y2,

则其几何意义为尸(x,y)与(1,1)的距离和尸(x,v)与(2,o)的距离之和，

设点M(l,l),N(2,0),

则点关于直线x+y=0的对称点为点

故1PM=\PM'\,且阿％卜J(2+Ip+(0+iy=M,

所以JO-iy+lT?+7(X-2)2+/=\PM\+\PN\=|P"|+|PN|>\MN\=回,

当且仅当只三点共线时取等号，

所以ylx2+y2-2x-2y+2+&-2丫+「的最小值为V10.

故选：C.

4.(24-25高二上•天津•开学考试)已知点2(-3,6)和3(1,2),在x轴上求一点使|工用+忸阳最小，那

么点”的坐标为()

A.(-2,0)B.(1,0)C.(4.4,0)D.(0,0)

【答案】D

【分析】先找到点8关于x轴的对称点？，根据两点之间线段最短，连接4B'与％轴的交点即为所求的点

M.

【详解】对于点(X,V)关于X轴的对称点为(x,-y).已知5(1,2),那么8关于x轴的对称点5(1,-2).设直线AB'

的方程为了=丘+氏

根据两点求斜率公式左=及二&,^k=^-==-=-2.

尤2-%1-(-3)4

把B(1,-2)和左=-2代入了=丘+6得-2=-2x1+6,解得b=0.

所以直线的方程为y=-2x.

因为点/在X轴上，令y=0,代入y=-2x得0=_2x,解得X=O.

所以点/的坐标为(。,0).

故选：D.

3兀

5.(24-25高二上•云南玉溪•期中)一光线过点(2,4),经倾斜角为彳的且过(0,1)的直线/反射后过点(5,0),

则反射后的光线不会经过下列哪个点()

A.KB.0高C.(得口J4T

【答案】D

【分析】利用点斜式求得直线/,再利用点关于直线对称求得点/(2,4)关于直线/的对称点H(私〃)，进而

利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解.

【详解】倾斜角为亍的且过(0,1)的直线/的方程为y-l=tan亍=-0),即y=-x+1,

4+〃加+2,

=---------+1

2

设点4(2,4)关于直线/的对称点4(见〃)，则

•(-1)=-1

、m-2

m+n=-4m=-3,

即’,解得〃」即“(T-D，

m-n=-2

泞二引，即/':y=：(x-5),

)一(7Jo

对于C：%=3时，,=：（3-5）=-!，故C正确;

o4

对于D：%=4时，歹=：（4-5）=-：，故D错误.

OO

故选：D.

6.（24-25高二上•全国•课后作业）若点/在直线/：y=r-l上，则点/到点/（2,1）,8（3,4）的距离之和的

最小值为（）

A.472B.V74C.475D.277

【答案】B

【分析】求出点A关于直线/对称的点为H（-2,-3）,贝|]（|九回+|"动疝"=忸/[,由两点间距离公式计算，可

得答案.

【详解】由已知，设人关于直线^=-》-1的对称点为4（。力）,

1-b

2-

，即4(-2,-3),

1+b2+Q

I22

22

所以(|M4|+|W|)mm=\BA'\=7(-2-3)+(-3-4)=774.

故选：B.

7.（24-25高二上•辽宁沈阳•阶段练习）直线4：x+（加+l）y-2加-2=0与直线/2：（仅+1口一了一2加一2=0相交

于点尸，对任意实数%,直线44分别恒过定点42,则1户山+1尸3|的最大值为（）

A.2B.2拒C.472D.4

【答案】D

【分析】求得出0,2）、8（2,0）,再根据两直线的位置关系的判断可得乙，/即有尸工,尸以从而得

PA1网,再结合基本不等式求解即可.

【详解]解：因为4：x+（7〃+l）y-27〃-2=0,gpx+y-2+m（y-2）=0,

（x+y—2=0fx=0一

由:c，解得、，所以直线4过定点”（0,2）；

〔＞-2=0[y=2

同理可得直线4过定点2（2,0）;

又因为1x5+1）+（-1）x（加+1）=0,所以…,

即有所以|四『+|「|2=|/切2=8,

所以|尸41+1PB区72(l^|2+lp5|2)=4'

当且仅当|P41=I尸即=2时，取等号.

所以|尸山+|尸8|的最大值为4.

故选：D.

8.(24-25高二上・江苏南通•阶段练习)已知P,。是直线/：x-y+l=O上两动点，且|尸0|=也，点

2(-4,6),8(0,6),则|"|+|尸0|+|。3|的最小值为()

A.10+V2B.10-V2C.1072D.12

【答案】A

【分析】依题意，设点P(x,x+1),推得点。(x+l,x+2),利用两点间距离公式计算|/尸|+|尸。|+|。|,利

用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决.

【详解】不妨设点尸。户+1)在点。的左边，因直线，：x-y+l=0的倾斜角为45。，

且|「。|=上，则点。的坐标为(x+l,x+2),

则|/尸|+|PQ|+1|=0+7(X+4)2+(X-5)2+7(^+1)2+(^-4)2,

记d=7(X+4)2+(X-5)2+7(X+1)2+(X-4)2,

则可将"理解为点M(x,x)到。(-4,5),。(-1,4)的距离之和，

即点。(-4,5),C(-1,4)到直线了=x的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.

如图，作出点C(-1,4)关于直线V=x的对称点C，则C(4,-1),

连接。C',交直线歹=x于点N,则|CN|+|ON|即d的最小值,

且|CN|+=|叫+QMTDC'\=^(4+4)2+(-1-5)2=10,

故|/尸|+|尸。|+|3|的最小值为10+后.

故选：A.

线与圆的位置关系中的参数及最值问题

一、单选题

1.（24-25高二上•重庆•阶段练习）已知点A、8在圆O:Y+y2=i6上，且4g的中点/在圆C：（X_2）2+J?=I

上，则弦长|/目的最小值为（）

A.26B.2币C.472D.2vH

【答案】B

【分析】由弦长公式可得|“修=2加西所，由此可通过求|<W|的最大值，确定弦长X同的最小值.

【详解】圆。:丁+产=16的圆心为0（0,0）,半径为R=4,

因为点A、8在圆O:x2+j?=16上，45的中点为

所以以a=2）。4|2ToM2,其中0留=4,

即\AB\=2/6ToM『,

因为圆。：0-2）2+/=1的圆心为。（2,0）,半径厂=1,点M在圆C上，

所以|OC|-1410MsOC|+1,故1,。叫43,

所以当|（W|=3时，|AB|取最小值，最小值为2J16-9=25,

2.（24-25高二上•辽宁沈阳•阶段练习）若经过点。,2）且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少

有三个不同的点到直线x_y+c=0的距离等于1_,则实数c的取值范围是（）

【答案】C

【分析】先由圆与两坐标轴相切和过点(1,2)求出圆的方程，再由圆的对称性得到圆上至少有三个不同的点

到直线x-y+c=O的距离等于|可转化为圆心到直线x-y+c=O的距离d<^,利用点到直线的距离公式

列不等式求解即可.

【详解】由题意，可设圆心为(。,。)，则半径为心故。>1,

则圆的方程为(x-a)?+(y-心=",又圆经过点(1,2),

所以有(1”)2+(2-力=力,化简得:。=1(舍)或5,

所以圆的方程为(x-5『+(y_5)2=25,

因为该圆上至少有三个不同的点到直线x-j+c=O的距离等于|,

所以圆心到直线x-V+c=。的距离

|5-5+c|72,,5初组F5阪

即Bn丁杉=三45,解得：ce[-亍，〒卜

故选：C.

3.(24-25高二上•山东荷泽•阶段练习)已知直线4:wx-y-3w+l=0(加eR)与直线乙:x+my-3m-1=0(meR)相

交于点尸，则尸到直线x+y=O的距离d的取值范围是()

A.[72,372]B.[V3,2A/3)

C.[V3,3A/3)D.[72,372)

【答案】D

【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得

答案；

【详解】直线4：机(X-3)一隅-1)=0(meR)恒过(3,1),直线。：(尤T)+机3-3)=0(机eR)恒过(1,3),

由加xl+(T)x优=0,得直线乙和4互相垂直，因此两条直线的交点P在以(1,3),(3,1)为端点的直径的圆上，

则P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2,(去掉(3,3)),其圆心M(2,2),半径厂=8,

y)

由于MO垂直于直线x+y=O,则M到该直线的距离为|用。|,而|"。|=2后,

因此|MO|-rWdWMO|+r,即而当1=3啦时，点P的坐标为(3,3),不符合题意,

所以d的取值范围是[拒,30).

故选：D

4.(24-25高二上•四川自贡•阶段练习).已知点尸(x,y)为直线/：2x+y+4=0上的动点，过尸点作圆

UY+b_1)2=1的切线刃，PB,切点为贝限尸48周长的最小值为()

A.4+孚B.5+石C.4+V5D.4+26

【答案】A

【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点尸到圆心C的最短距离，从而得出切线长尸4依，进而求出

△PAB的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值.

【详解】设圆心C(0,1)到直线2》+>+4=0的动点尸(x,y)的距离为PC,

|0+1+4|

根据点到直线距离公式,

归牛V22+l2

因为尸/,依是圆C的切线，所以忸/|=忸同=炉;[(其中t=|PC|wV5).

又因为AR4c是直角三角形，由勾股定理可得|刃2=|尸。2|-1,即|尸/|=炉片.

“PAB的周长为|尸/|+\PB\+\AB\.

因为“3是圆C的弦，且△尸/C和△P3C全等，所以乙4cp=NBCP.

根据三角形面积公式，邑口,=3尸4卜〃=3尸。卜弓(其中「是圆的半径),

可得四=正巨，所以

2t11t

贝！1^PAB的周长2#^1+2小J1=2A/?^1+2>75).

因为尸27^1与尸2-/均在[技+8）上单调递增,

所以当时，AP/3周长取得最小值.最小值为2在+¥=4+生后.

V55

故选：A.

5.（24-25高二上•湖南长沙•阶段练习）已知48两点的坐标分别为2（1,0）,两条直线：加尤-》+1=0

和（：x+叼-l=0（meR）的交点为p,则|叫+忸尸|的最大值为（）

A.三B.V2C.1D.2

【答案】D

【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点尸的轨迹，再设48尸=。，结合辅助角公式求出即可;

【详解】

由题意可得直线小必->+1=0恒过定点/（0,1）,4：x+叼-1=0恒过定点8（1,0）,

且两直线的斜率之积为-1,所以两直线相互垂直，

所以点P在以线段为直径的圆上运动，

\AB\=41,设“BP=9,

则\AP\=V2COS6>,|5/>|=V2sin^,

所以|/尸|+忸升=V^cos6+后sing=2sin]e+：j,

所以当。=；时，即加=0时，|/刊+忸尸|取得最大值2,此时点尸的坐标为。,1）.

故选：D.

6.（24-25高二上・江苏徐州•阶段练习）已知圆C:（x-1）2+/=1,直线/:>=左（》+1）,若直线与x轴交于点

A,过直线/上一点P作圆C的切线，切点为T,aPA=&PT,则上的取值范围是（）.

A.B.

3'3353

【答案】A

【分析】先求出P的轨迹方程，再根据直线/与圆（尤-3）?+/=10有交点，结合点到直线距离公式即可求解.

设P（/，%）,根据直线/：了=左。+1）解析式，直线/与x轴交点/（-1,0）,

因为C:（x-l）2+j?=i,圆心C（1,O）,半径r=l；

根据题意户刀=而。=［旧一丁+7―］=&-2%+,,

四=J（xo+iy+*,又因为尸/=血尸7，

则有：V2-2、0+/=［伉+1）+琢,

化简整理得，x；-6x°+y：-l=0,故尸的轨迹为（X-3）2+/=IO,

是圆心为（3,0）,半径为&6的圆；

因为存在PA=41PT，则直线/与圆（x-3）2+/=10有交点，

则圆心（3,0）到直线/:6-y+左=0的距离小于等于半径回,

|34一0+自/—%（3+1）|l,5

所以।2布,即।\_^4®整理得：

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