2023年中考数学必刷题分类专练：一元二次方程【解析版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题06一元二次方程

一.选择题（共14小题）

1.（2022•天津）方程f+4x+3=0的两个根为（）

A.xi=l,X2=3B.xi=-1,%2=3

C.xi-1>X2~-3D.xi--1,X2~-3

【分析】根据解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

【解析】X2+4X+3=0,

（x+3）（x+1）=0,

x+3=0或x+l=0,

XI=13,X2=~1,

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键.

2.（2022•常德）关于x的一元二次方程左=0无实数解，则左的取值范围是（）

A.左>4B.左V4C.k<-4D.k>\

【分析】根据一元二次方程判别式得到△=（-4）2-4XlXA:<0,然后求出不等式的解集即可.

【解析】•••关于x的一元二次方程f-4x+左=0无实数解，

:”（-4）2-4XlX?l<0,

解得：k>4,

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程办2+为+0=0（aWO）的根的判别式A=/-4ac：当△>0,方程有两个

不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数根.

3.（2022•新疆）若关于x的一元二次方程/+x-4=0有两个实数根，则左的取值范围是（）

1111

A.左〉--rB.kN--TC.左V--7D.k£--r

4444

【分析】根据关于X的一元二次方程，+x-左=0有两个实数根，可知ANO,可以求得人的取值范围.

【解析】:•关于%的一元二次方程f+x-k=0有两个实数根，

A=12-4X1X（-左）20,

1

解得k>--T,

4

故选:B.

【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，△20.

4.（2022•乐山）关于x的一元二次方程-2x+%=0有两根，其中一根为x=l,则这两根之积为（）

121

A.-B.-C.ID.-4

333

【分析】直接把x=l代入一元二次方程即可求出m的值，根据根与系数的关系即可求得.

【解析】：方程的其中一个根是I,

.*.3-2+m=O,解得加=-1,

m

;两根的积为石，

1

・•・两根的积为-可，

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的根已经根与系数的关系：XI,X2是一元二次方程办2+及+。=0（4W0）

的两根时，Xl+X2=~―,Xl*X2=—.

5.（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）

A.2x2-x+1—0B.x2-2x+2=0C.x2+3x-2=0D.，+2=0

【分析】根据各方程的系数结合根的判别式A=62-4ac,可求出各方程根的判别式△的值，取ANO的选

项即可得出结论.

【解析】：A=（-l）2-4X2Xl=-7<0,

...方程2/-x+l=0没有实数根；

B.VA=（-2）2-4X1X2=-4<0,

二方程x2-2x+2=0没有实数根；

C.VA=32-4X1X（-2）=17>0,

方程/+3》-2=0有两个不相等的实数根；

D.VA=O2-4X1X2=-8<0,

...方程/+2=0没有实数根.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当公>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=（）时，方

程有两个相等的实数根；③当A<0时，方程无实数根”是解题的关键.

6.（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A.36B.-36C.9D.-9

【分析】方程«+6x+c=0有两个相等的实数根，可知A=62-4C=0,然后即可计算出c的值.

【解析】:•方程/+6x+c=0有两个相等的实数根，

A=62-4c=0,

解得c=9,

故选：C.

【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时A=0.

7.(2022•武威)用配方法解方程«-2x=2时，配方后正确的是()

A.(x+1)2=3B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3D.(x-1)2=6

【分析】方程左右两边都加上1,左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果.

【解析】x2-2x—2,

x2-2x+l—2+l,即(x-1)2=3.

故选：C.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关

键.

8.(2022•滨州)一元二次方程2/-5x+6=0的根的情况为()

A.无实数根B.有两个不等的实数根

C.有两个相等的实数根D.不能判定

【分析】求出判别式A=62-4ac,判断其的符号就即可得出结论.

【角星析】A=(-5)2-4X2X6=25-48=-23<0,

；.2/-5x+6=0无实数根，

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式A<0时，方程无实数根

是解决问题的关键.

9.(2022•重庆)小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均

增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是()

A.200(1+x)2=242B.200(1-x)2=242

C.200(l+2x)=242D.200(l-2x)=242

【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x,关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数X(1+揽件日平均增

长率)2,把相关数值代入即可.

【解析】设该快递店揽件日平均增长率为X,

根据题意，可列方程：200(1+x)2=242,

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题

的关键.同时要注意增长率问题的一般规律.

10.(2022•泸州)已知关于x的方程/-(2〃?-1)x+/=o的两实数根为xi,如若(xi+1)(x2+l)=3,

则m的值为()

A.-3B.-1C.-3或1D.-1或3

【分析】根据方程--(2/71-1)x+/-1=0的两实数根为XI,XI,得出无1+X2与X1X2的值，再根据XF+X2?

=3,即可求出〃？的值.

【解析】•方程--(2加-1)x+/2=o的两实数根为xi,xi,

.'.xi+x2—2m-1,xm=m2,

(xi+1)(X2+1)=Xl%2+xi+X2+l=3,

m2+2m-1+1=3,

解得：加i=l,mi=-3,

・・•方程有两实数根，

・•・A=(2m-1)2-4/20,

即m<J,

4,

・・・冽2=1(不合题意，舍去)，

.\m=-3；

故选：A.

【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握XI，X2是方程x2*x+q=0的两根

时，xi+x2=",x\xi=q.

11.(2022•重庆)学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵.设

该校植树棵数的年平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是()

A.625(1-%)2=400B.400(1+x)2=625

C.625/=400D.400『=625

【分析】第三年的植树量=第一年的植树量X(1+年平均增长率)2,把相关数值代入即可.

【解析】根据题意得：400(1+x)2=625,

故选：B.

【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键.

12.(2022•遂宁)已知加为方程/+3x-2022=0的根，那么加+2加2-2025加+2022的值为()

A.-2022B.0C.2022D.4044

【分析】将方程的根代入方程，化简得%2+3机=2022,将代数式变形，整体代入求值即可.

【解析】••加为方程f+3x-2022=0的根，

/.m~+3m-2022=0,

"2+3加=2022,

原式=混+3»/2-m--3m-2022加+2022

=m(w2+3m)-(«?2+3m)-2022m+2022

=2022/〃-2022-2022w+2022

=0.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将/+3加=2022整体代入代数式求值是解题的关

键.

13.(2022•新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月

的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x,则根据题意，可列方程为()

A.8(l+2x)=11.52B.2X8(1+x)=11.52

C.8(1+x)2=11.52D.8(1+x2)=11.52

【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x,先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出

方程即可.

【解析】设这两个月销售额的月平均增长率为X,

第一个月的销售额为8万元，

第二个月的销售额为8(1+x)万元，

第三个月的销售额为8(1+x)2万元，

二8(1+x)2=11.52,

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额

是解题的关键.

14.(2022•泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每

株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽

的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？

设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是()

A.3(x-1)x=6210B.3(x-1)=6210

C.(3x-l)x=6210D.3x=6210

【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3(x-1)文，利用总价=单价X数量，即可得出关于

x的一元二次方程，此题得解.

【解析】•.•这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽

的价钱，

.••一株椽的价钱为3(x-1)文.

依题意得：3(x-1)x=6210.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

二.填空题(共12小题)

15.(2022•娄底)已知实数xi,X2是方程1=0的两根，则巾X2=-1.

【分析】根据根与系数的关系解答.

【解析】•.•方程/+%-1=0中的q=6=i,c=-1,

.C

・・xi%2=—=—1.

故答案是：-1.

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程"的根与系数的关系为：xi+x2=-

C

XI*X2=­a.

16.(2022•宿迁)若关于x的一元二次方程--2x+左=0有实数根，则实数。的取值范围是kWl.

【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可.

【解析】；△=(-2)2-4X1X左

=4-4左.

又••・关于X的一元二次方程/-2x+左=0有实数根,

，4-440.

:.kWL

故答案为：

【点评】本题考查了根的判别式，掌握“△=庐-4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题

的关键.

17.（2022•孝感）若一元二次方程，-4x+3=0的两个根是xi,如则巾・人的值是3.

【分析】根据根与系数的关系直接可得答案.

【解析】Vxi，X2是一元二次方程--4x+3=0的两个根，

••XI,X23,

故答案为：3.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系.

18.（2022•眉山）设xi,犯是方程—+2x-3=0的两个实数根，则短+冷2的值为I。.

【分析】由根与系数的关系，得到知+以=-2,XI-%2=-3,然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答

案.

【解析】Vxi,也是方程x2+2x-3=0的两个实数根，

.*.X1+X2~-2,X1*X2--3,

.".Xl2+X22—（X1+X2）2-2X1X2=（-2）2-2X（-3）=10；

故答案为：10.

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握韦达定理

得到Xl+X2=-2,X1*X2—-3.

19.（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于X的方程X2-2X+0（答案不唯一）=0有两个不相等的实

数根.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=庐-4ac>0,即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值.

【解析】。=1，6=-2.

22

A=b-4ac=（-2）-4X1XC>O,

：.c<l.

故答案为：0（答案不唯一）.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当A>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

1

20.（2022•云南）方程2x2+l=3x的解为⑪=1,x?=：.

【分析】方程利用因式分解法求出解即可.

【解析】2X2+1=3X,

2x2-3x+l=0,

（x-1）⑵-1）=0,

,1

解得：xi=l,X2=2-

1

故答案为：Xl=l,X2=2-

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本题的关键.

21.（2022•连云港）若关于x的一■元二次方程7Mx2+〃x-1=0（机W0）的一个解是x=1,则m+n的值是1

【分析】把x=l代入方程用-1=0得到1=0,然后求得加+〃的值即可.

【解析】把x=l代入方程mx2+nx-1=0得m+n-1=0,

解得m+n=1.

故答案为：L

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

22.（2022•安徽）若一元二次方程2/-4x+加=0有两个相等的实数根，则m=2.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16-8加=0,解之即可得出结论.

【解析】二•一元二次方程2X2-4x+m=0有两个相等的实数根，

A=16-8m=0,

解得：m=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当A=0时，方程有两个相等实数根”是解题

的关键.

23.（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根，则这

个直角三角形斜边的长是2V7.

【分析】设直角三角形两条直角边分别为。、b,斜边为c,由一元二次方程根与系数的关系可得。+6=6,

ab=4,再由勾股定理即可求出斜边长.

【解析】设直角三角形两条直角边分别为。、b,斜边为c,

•.•直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根,

・.a+b=6,。6=4,

斜边c=Va2+&2=J（a+6）2—2ab=V62—2x4=2A/7,

故答案为：2位.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解题的关键是掌

握一元二次方程根与系数的关系，得到a+6=6,a6=4.

24.（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设

新注册用户数的年平均增长率为x（x>0）,则户30%（用百分数表示）.

【分析】设新注册用户数的年平均增长率为xG>0）,利用2019年的新注册用户数为100万X（1+平均增

长率）2=2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解析】新注册用户数的年平均增长率为x（x>0）,

依题意得：100（1+x）2=169,

解得：肛=0.3,Xi--2.3（不合题意，舍去）.

0.3=30%,

新注册用户数的年平均增长率为30%.

故答案为：30%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

25.（2022•江西）关于x的方程，+2x+左=0有两个相等的实数根，则♦的值为1.

【分析】根据根的判别式△=（）,即可得出关于左的一元一次方程，解之即可得出发值.

【解析】•••关于x的方程f+2x+左=0有两个相等的实数根，

A=22-4X1X^=0,

解得：4=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当A=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.

26.（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每

包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%.该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数

量之比为1：3：2,三种特产的总利润是总成本的25%,则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3.

【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x,3x,2x,每包麻花的成本为y

元，每包米花糖的成本为。元，则每包桃片的成本是2y元，由三种特产的总利润是总成本的25%列方程可

a4

得一=£,从而解答此题.

y3

【解析】设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为X,3x,2x,每包麻花的成本为y元，每包米

花糖的成本为。元，则每包桃片的成本是2y元，

由题意得：20%,2y*x+30%*a*3x+20%*y*2x=25%（2xy+3ax+2xy）,

15a=20yf

.a4

,,y-3，

则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3.

故答案为：4：3.

【点评】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解.

三.解答题（共5小题）

27.（2022•随州）已知关于x的一元二次方程，+（2后+1）x+庐+1=0有两个不等实数根xi，x2.

（1）求左的取值范围；

（2）若XIX2=5,求后的值.

【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2什1）2-4（F+1）>0,然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到肛刈=/+1,再利用XIX2=5得至IJ/+1=5,然后解关于左的方程，最后利用

方的范围确定左的值.

【解析】（1）根据题意得△=（2左+1）2-4（F+1）>0,

解得人

4,

（2）根据题意得X1X2=F+1,

•X1X2=5f

k^+\=5,

解得心=-2,左2=2,

・・・左〉本3

:・k=2.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi，%2是一元二次方程"々bx+cu。（aWO）的两根，则％1X2=W.也

考查了根的判别式.

28.（2022•凉山州）解方程：X2-2X-3=0.

【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答.

【解析】原方程可以变形为（x-3）（x+1）=0

x-3=0,x+l=0

•»X1=3fX2~~~1*

【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程.注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于

一次项系数.

29.（2022•南充）已知关于x的一元二次方程，+3x+左-2=0有实数根.

<1）求实数人的取值范围.

（2）设方程的两个实数根分别为XI，X2,若（xi+1）（X2+1）=-1，求左的值.

【分析】（1）根据一元二次方程/+3x+左-2=0有实数根，可知△20,即可求得人的取值范围；

（2）根据根与系数的关系和（X1+1）（X2+1）=-1,可以求得后的值.

【解析】（1）•••关于x的一元二次方程f+3x+/-2=0有实数根，

A=32-4X1X（左-2）20,

解得k<芋，

即左的取值范围是后Wy;

（2）二•方程/+3x+左-2=0的两个实数根分别为xi，物

♦♦xi+xi=-3,x\x2:~k-2,

（xi+1）（X2+1）=-1,

•'•X1X2+（Xl+X2）+1=-1,

:.k-2+（-3）+1=-1,

解得人=3,

即左的值是3.

【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时△》（），以及根

与系数的关系.

30.（2022•凉山州）阅读材料：

材料1:若关于％的一元二次方程Q/+6X+C=0（QWO）的两个根为XI，X2，则Xl+%2=—，，

材料2：已知一元二次方程x2-%-1=0的两个实数根分别为冽，n,求加2〃+加〃2的值.

解：・・•一元二次方程1=0的两个实数根分别为冽，n,

m+n=19mn=~1,

贝U冽2〃+冽〃2=加〃(机+几)=-1X1=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

31

(1)材料理解：一元二次方程2--3x-1=0的两个根为xi,Xi,则xi+%2=7.x\xi=――y—.

72TH

(2)类比应用：已知一元二次方程2--3%-1=0的两根分别为冽、n,求一+一的值.

mn

11

(3)思维拓展：已知实数s、，满足2s2-3s-1=0,2及-3/-l=0,且S/K求一一一的值.

st

【分析】(1)根据根与系数的关系进行求解即可；

(2)根据根与系数的关系可得：m+n^f,“=-支再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；

(3)可把s与f看作是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，则有s+/=|,su—最再利用分式的化简求值的

方法进行运算即可.

【解析】(1):一元二次方程2/-3x-1=0的两个根为xi,X2,

.工