2023年中考数学必刷题分类专练：四边形压轴综合问题【解析版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题33四边形压轴综合问题

一、解答题

1.（2022•甘肃兰州•中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,

在正方形中，E是2C的中点，AE1EP,E尸与正方形的外角ADCG的平分线交于尸点.试猜想/£

与£尸的数量关系，并加以证明；

图1图2

图3

（1）【思考尝试】同学们发现，取的中点尸，连接M可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老

师提出的问题.

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形/BCD

中，E为BC边上一动点（点£,3不重合），△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接CP,可以求出

ADCP的大小，请你思考并解答这个问题.

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

48C3中，E为BC边上一动点（点E,8不重合），△AEP是等腰直角三角形，2力“=90。，连接。P知

道正方形的边长时，可以求出AADP周长的最小值.当AB=4时，请你求出AADP周长的最小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)45°,理由见解析

(3)4+4西，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)取的中点尸，连接防，利用同角的余角相等说明NP£C=NA4E,再根据/SN证明AN在四△ECP,

得AE=EP；

(2)在A8上取/尸=EC,连接EF,由(1)同理可得NCEP=NE4E,则(&4S),再说明

△3所是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GJ_CP,交2c的延长线于G,交CP于0,连接NG,则△OCG是等腰直角三角形，可知点。

与G关于CP对称，则/P+DP的最小值为ZG的长，利用勾股定理求出/G,进而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取N8的中点凡连接E凡

：尸、£分别为48、8c的中点,

；.AF=BF=BE=CE,

:./BFE=45°,

：.NAFE=135。,

平分/DCG,

ZDCP=45°,

：.ZECP=135°,

NAFE=NECP,

,:AELPE,

：./AEP=90°,

・•・ZAEB+ZPEC=90°,

NAEB+NBAE=90。,

：./PEC=/BAE,

:•△AFEmAECP(ASA),

：.AE=EP；

⑵

解：在48上取4F=EC,连接

AD

图2

由(1)同理可得NC£P=NE4E,

•：AF=EC,AE=EP,

：./\FAE^/\CEP(SAS),

NECP=/AFE,

•：AF=EC,AB=BC,

:・BF=BE,

：.ZBEF=ZBFE=45°f

：.NAFE=135。,

：.NEC尸=135。，

・・・ZDCP=45°；

⑶

解：作。G，C尸，交5c的延长线于G,交CP于O,连接ZG,

AD

由（2）知，NDC尸=45°,

...NCDG=45。，

.♦.△DCG是等腰直角三角形，

二点。与G关于CP对称，

：.AP+DP的最小值为NG的长，

"：AB=4,

：.BG=S,

由勾股定理得NG=4花，

周长的最小值为/D+/G=4+4V5.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等

腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.（2022•广东广州•中考真题）如图，在菱形4BCD中，ZBAD=12Q°,AB=6,连接AD.

⑴求3。的长；

⑵点E为线段3D上一动点（不与点2,。重合），点尸在边/。上，且BE=aDF,

①当C£_L/8时，求四边形/8E尸的面积；

②当四边形/8£尸的面积取得最小值时，CE+百CF的值是否也最小？如果是，求CE+gCF的最小值；如

果不是，请说明理由.

【答案】（1）BD=6V3;

⑵①四边形/AEE的面积为7遮；②最小值为12

【解析】

【分析】

（1）证明△/BC是等边三角形，可得3。=3百，即可求解；

(2)过点E作/。的垂线，分别交和8c于点N,根据菱形的面积可求出MN=3V5,设.BE=X,则

EN=^x,从而得到W=M7V-EN=3g-齐，再由3£=何卯，可得〃户］乂，从而得到四边形的面积

5=SAABD-SJDEF=青％-3V3)2+等，①当CE±AB时，可得点E是△/5C重心，从而霞

BE=CE^BO^X3V3=2V3,即可求解；②作于〃，可得当点£和尸分别到达点。和点〃位置

时，。尸和CE分别达到最小值；再由s=^|(x-3百＞+罕，可得当x=3B，即2E=3g时，s达到最

小值，从而得到此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点8位置，即可求解.

(1)

解：连接/C,设NC与3。的交点为。，如图，

•.•四边形/BCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,4c平分ND4B,

'：ZBAD=12O°,

：.ZCAB=60°,

：.AABC是等边三角形，

/.BO=AB-sin60°=6x理=3旧，

2

/.BD=2BO=6W；

(2)

解：如图，过点E作4。的垂线，分别交4。和5C于点〃，N,

,:AABC是等边三角形，

：.AC=AB=6,

由(1)得：5D=6V3;

菱形/5CZ)中，对角线8。平分N/5C,AB//CD,BC=AB=6,

:.MN1BC,

ZBAD=120°f

：.ZABC=60°,

：./EBN=30。；

i

：.EN=-BE

2

•・1菱形成6="580=M川8。，

:•MN=3y[^>,

-1

设3E=x,贝1JEN亨，

:.EM=MN-EN=3也-1x,

,:S菱形ABCD=AD“MN=6X3百=18怎

：.SAABD=手菱形ABCD=9^,

■:BEMDF,

FA厂

.,•DF=B-E=——V3x,

Vr33

2

SADEF^-DF-EM^--—X(3^--X\=--X+-x,

223k2J122

记四边形/8M的面积为s,

22

5=SAABD-SADEF=9V3-(-y|%+|x)-y|(x-3V3)+^

•.•点E在BD上，且不在端点，：.Q<BE<BD,即0<x<6百;

①当时，

\'OB±AC,

二点E是△NBC重心，

：.BE=CE^BO=^x3V3=2后

此时s=1(2A/3-3V3)2+竽=7取,

：.当CELAB时，四边形ABEF的面积为7遍;

②作C〃_L/D于"，如图，

\'COLBD,CHLAD,而点£和尸分别在和/。上，

，当点E和尸分别到达点。和点X位置时，CF和CE分别达到最小值;

在菱形48CD中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=12Q°,

：.ZADC=60°,

.♦.△4C。是等边三角形，

：.AH=DH=3,

C77=3V3,

­=1。-3⑹2+竿,

/.当％=3V31即2E=3百时，s达到最小值，

■:BEYDF,

：.DF=3,

此时点£恰好在点O的位置，而点尸也恰好在点“位置，

...当四边形面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值,

：.CE+^CF的值达到最小，

其最小值为CO+V3CH=3+V3x3V3=12.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形

等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角

形等知识是解题的关键.

3.(2022•上海•中考真题)平行四边形4BCD,若P为BC中点，4P交BD于点E,连接CE.

AA-------------------------77。

⑴若力E=CE,

①证明A8CD为菱形；

②若力B=5,AE=3,求BD的长.

(2)以力为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且CE=应力£若尸在直线CE

上，求霹的值.

DC

【答案】⑴①见解析；②6或

(2中

【解析】

【分析】

(1)①连接NC交3。于O,证△NO£gACO£(SSS),得NAOE=NCOE,从而得/COE=90。，贝

即可由菱形的判定定理得出结论；

②先证点£是A/BC的重心，由重心性质得8£=2。£,然后设OE=x,贝ljAE=2x,在必A/OE中，由勾股定

理，得042=/2一0始=32穴2=9-/,在RM4OB中,由勾股定理，得。42=/炉-0/=52-(3劝2=25&2,从而得

9-1=25-9x2,解得：尸鱼,即可得08=3产3VL再由平行四边形性质即可得出2。长；

(2)由。/与。2相交于E、F,得即，点E是A/BC的重心，又尸在直线CE上，则CG是A/BC的中

线，贝IJNG=2G=〃8,根据重心性质得GE==CE=©E,CG=CE+GE^AE,在必A/GE中，由勾股定理，

2222

得AG2=AE2-GEE=AE2-已烟三花,则AG=^AE,^以AB=2AG=^AE,在RtLBGC中，由勾股定理，得

2z2

BC^BG^C^^-AE^（吗£）2=5AE2,贝U5。=店4£,代入即可求得券的值.

22oC

⑴

①证明：如图，连接4C交AD于。,

•.•平行四边形力BCD,

：.OA=OC,

;AE=CE,OE=OE,

△/OEtACOE(SSS),

ZAOE=ZCOE,

ZAOE+ZCOE=ISO°,

：.ZCOE=90°,

J.ACLBD,

:平行四边形力BCD,

...四边形ABC。是菱形；

@'：OA=OC,

二。8是ANBC的中线，

：P为BC中点，

是A/BC的中线，

二点£是A/BC的重心，

：.BE=2OE,

设。E=x,则3E=2x,

在尺也/OE中，由勾股定理，得。/2=/£2_0£2=32--=9-优

在必4/。？中，由勾股定理，得。却=/"-0炉=52-(3X)2=25-9N,

，9-/=25-9N,

解得：x=V2,

(9S=3x=3V2，

:平行四边形力BCD,

:.BD=2OB=6五;

⑵

解：如图，

与08相交于£、F,

：.AB±EF,

由(1)②知点£是zUBC的重心,

又尸在直线CE上，

CG是A/BC的中线，

：.AG=BG=^AB,GE^CE,

'：CE=^AE,

：.GE=^-AE,CG=CE+GE=^AE,

22

在必A/GE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-(^-AE)2^AE2,

:.AG也AE,

2

：.AB=2AG=y/2AE,

在R/ABGC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=^-AE2+C—AE）2=5AE2,

22

：.BC=^AE,

・AB__缶E_V10

**BC-y/5AE~5,

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆

与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目.

4.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中

去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的

乐趣.

如图①，在矩形48CD中，点E、F、G分别为边3C、AB、4D的中点，连接斯、DF,77为。尸的中点，

连接G".将绕点8旋转，线段。RG〃和CE的位置和长度也随之变化.当绕点8顺时针

旋转90。时，请解决下列问题：

⑴图②中，AB=BC,此时点E落在48的延长线上，点尸落在线段2。上，连接/R猜想GH与CE之间

的数量关系，并证明你的猜想;

(2)图③中，AB=2,BC=3,贝1」项=

⑶当AB=m,BC=n时.—=_________.

CE

(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线NC,并沿对角线/C剪开，得△ASC(如图④).点〃、N

分别在NC、3c上，连接血W,将△CW沿〃N翻折，使点C的对应点P落在48的延长线上，若平

分NAPN,则CM长为.

【答案】(1)GH=?CE,证明见解析

(4喈

【解析】

【分析】

(1)先证明A/B尸也ACBE,AF=CE,再根据中位线性质得GH=14F,等量代换即可；

(2)连接4F,先证明A4B/SACBE,得到/尸：CE的比值，再根据中位线性质得GA=|AF,等量代换即

可；

(3)连接4F,先证明AAB尸SACBE,用含“、〃的代数式表达出/尸：CE的比值，再根据中位线性质得

GH^AF,等量代换即可；

(4)过〃作MHLAB于H,根据折叠性质得NC=/MW,根据角平分线证明出设CM=PM=x,

HM=y,根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△/8C,得到等=翳，代入解方程即可.

(1)

解：GH/CE,理由如下：

'：AB=BC,四边形/BCD为矩形，

二四边形/BCD为正方形，

ZABC=ZCBE=90°,

；E、F为BC,AB中点,

:・BE=BF,

：.MBF山CBE,

:・AF=CE,

为DF中点,G为中点,

1

:・GH=：AF,

：.GH=-CE.

2

⑵

解冷刀:苍GH.1，

连接/R如图所示，

由题意知，BF=^AB=\,BE=B注,

.AB_BF_2

••BC一BE-3’

由矩形ABCD性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90°,

：.AABFs^CBE,

：.AF：CE=2:3,

•・・G为4。中点，H为DF中点,

：.GH=^AF,

2

・GH_1

••——.

CE3

故答案为：

⑶

解:77=^

CE2n

连接4尸，如图所示,

由题意知，BF=^AB音,BE=^BC=^,

,AB_BF_m

*°BC-BE一nf

由矩形45CZ)性质及旋转知，/ABC=NCBE=9。。,

：.AABFs^CBE,

•.AFzCE=m：n,

：G为中点，H为DF中点、,

1

：

.GH=2^AF,

.GH_m

*''CE-2n*

故答案为：去

(4)

解：过河作M/_L45于凡如图所示,

A

由折叠知，CM=PM,ZC=ZMPN,

,:PM平分/APN,

：.ZAPM=ZMPN,

：.ZC=ZAPMf

•:AB=2,BC=3,

:,AC=72+32=vn,

设CM=PM=x,HM=y,

由sinzC=sin乙4PM知，—=—,

ACPM

即I、=急

■:HM〃BC,

：.^AHM^LABC,

.HM_AM

'*BC~AC

・V13—xc2x

••---1---X3=----9

V13V13

解得：尸争，

故答案为：等.

【点睛】

本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判

定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键.

5.(2022•吉林长春•中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的/4纸，如图①，矩

形4BCD为它的示意图.他查找了/4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=岳8.他先将/4纸沿

过点/的直线折叠，使点8落在4D上，点B的对应点为点E,折痕为力F；再沿过点下的直线折叠，使点C

落在EF上，点C的对应点为点折痕为FG；然后连结力G,沿4G所在的直线再次折叠，发现点。与点歹

【问题解决】

(1)小亮对上面△AOG三△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形力BCD是矩形，

."BAD=NB=NC==90°.

由折叠可知，4BAF=^BAD=45°,ABFA=AEFA.

：.^EFA=^BFA=45°.

：-AF=尬AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

(2)NZMG的度数为度，爷的值为；

(3)在图①的条件下，点尸在线段AF上，且4P=g4B,点。在线段4G上，连结FQ、PQ,如图②，设力B=a,

则FQ+PQ的最小值为.(用含a的代数式表示)

【答案】(1)见解析

(2)22.5°,V2-1.

【解析】

【分析】

(1)根据折叠的性质可得/。=/凡乙4FG=ND=90。，由皿,可证明结论；

(2)根据折叠的性质可得==22.5。；证明AGCF是等腰直角三角形，可求出G尸的长，从而

可得结论；

(3)根据题意可知点尸与点。关于/G对称，连接尸则PD为PQ+尸。的最小值，过点尸作PAL/D,

求出m求出DR,根据勾腰定理可得结论.

4

(1)

证明：四边形4BCD是矩形，

：.^BAD=NB=NC=4。=90°.

-1

由折叠可知，^BAF=^BAD=45°,ABFA=AEFA.

：./.EFA=4BFA=45°.

.".AF=y/2AB=AD.

由折叠得，4CFG=乙GFH=45°,

：.^AFG=AAFE+乙GFE=450+45°=90°

C.^LAFG=AD=90°

XAD=AF,AG=AG

：.△ADG三AAFG

⑵

由折叠得，ZBAF=^EAF,

5LZBAF+^EAF=90°

ZEAF=-/.BAE=1x90°=45°,

22

由^ADG=△AFG得,ZDAG=/-FAG=^FAD=1x45°=22.5°,

ZAFG=乙ADG=90°,

又/AFB=45°

・・・NGFC=45°,

・・・ZFGC=45°,

：.GC=FC.

设=居则BF=x,AF=42x=AD=BC,

-'-FC=FC-FF=V2x-x=(V2-l)x

GF=V2FC=(2-V2)x

.•.史=(2*=a_1.

AFy[2x

⑶

如图，连接尸D,

"：DG=FG

：.4G是FD的垂直平分线，即点尸与点。关于/G轴对称,

连接PD交AG于点。，则PQ+FQ的最小值为PD的长；

过点P作PR1AD交AD于点R,

"：ZDAF=4BAF=45°

ZAPR=45°.

.XR=PR

又AR?+PR2=AP2=(-)2=-

'-AR=PR=—a,

4

•■DR=AD-AR=V2a--a=-V2a

44

在RtADPR中，DP2=AR2+PR2

--DP=7AR2+PR2=](苧砌2+(学以='a

.♦.PQ+FQ的最小值为日a

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识,

正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.

6.(2022•吉林长春•中考真题)如图，在口4BCD中，AB=4,4。=BD=旧，点M为边力B的中点，动

点尸从点/出发，沿折线AD-DB以每秒旧个单位长度的速度向终点8运动，连结PM.作点/关于直线

PM的对称点4,连结4P、A,M.设点P的运动时间为f秒.

(1)点D到边力B的距离为；

(2)用含t的代数式表示线段DP的长；

(3)连结AD,当线段4。最短时，求△DP4的面积；

(4)当M、4、C三点共线时，直接写出/的值.

【答案】⑴3

(2)当0S二1时，DP=V13-V13t;当1</2时，PD=gt-g；

/八2―p.20

(45或五

【解析】

【分析】

(1)连接。根据等腰三角形的性质可得再由勾股定理，即可求解；

(2)分两种情况讨论：当03W1时，点P在4D边上；当1<江2时，点尸在2。边上，即可求解；

(3)过点P作于点E,根据题意可得点/的运动轨迹为以点M为圆心，长为半径的圆，可得

到当点。、4、M三点共线时，线段4n最短，此时点尸在上，再证明△尸D£s△/£)〃，可得。石=3-

3t,PE=2—2t,从而得到4'E=DE-4'D=2-33在Rt△4'PE中，由勾股定理可得t=g,即可求解；

(4)分两种情况讨论：当点4位于M、C之间时，此时点尸在4。上；当点4(4")位于CM的延长线上

时，此时点尸在3。上，即可求解.

(1)

解：如图，连接DM,

D

/M0

'：AB=4,AD=BD=g,点M为边力B的中点，

:.AM=BM=2,DMLAB,

:.DM=VAD2-AM2=3，

即点。到边AB的距离为3；

故答案为：3

⑵

解：根据题意得：当叱”1时，点P在ND边上，

DP=V13-V13t;

当1＜云2时，点尸在8D边上，PD=V13t-V13;

综上所述，当0WW1时，DP=V13-V13t;当1〈江2时，PD=V13t-V13;

(3)

解：如图，过点尸作尸于点E,

:作点A关于直线PM的对称点4,

：.A'M=AM=2,

二点N的运动轨迹为以点加■为圆心，4W长为半径的圆，

.•.当点。、4、”三点共线时，线段4。最短，此时点尸在工。上,

：.A'D=1,

根据题意得：A'P=AP=V13t,DP=V13-VT3t,

由(1)得:DMLAB,

♦；PE1DM,

C.PE//AB,

：.LPDEs^ADM,

.PD_DE_PE

*'AD~DM~AM9

・V13-V13tDEPE

••=———，

V1332

解得：DE=3—3t,PE=2—2t,

：.AE=DE-AD=2-3t,

在Rt"PE中，AP2=PE2+AE2,

(V13t)2=(2-2t)2+(2-3t)2>解得:t=|>

；.PE=：,

・应如="力75="1'合/

(4)

解：如图，

A

当点M、4、C三点共线时，且点4位于M、C之间时，此时点尸在/。上，

连接/H,A'B,过点P作于点R过点⑷作4G_L48于点G,则

\'AB为直径，

.•.4=90°,^AA'A-A'B,

：.PM//A'B,

：.ZPMF=ZABA',

过点C作CN±AB交AB延长线于点N,

在。力BCD中，AB//DC,

"CDMLAB,

C.DM//CN,

.••四边形CDMN为平行四边形,

：.CN=DM=3,MN=CD=4,

：.CM=5,

CN3

・・・sin4cMN=^=g

CM5

*：A'M=2f

：.AG=2x^=2,

55

AMG=1,

2

：.BG=BM-MG=&

**•tanZ-ABA=—=3,

BG

/.tanZ.PMF=tanZ,ABA=3,

A—=3,BPPF=3FM

FMf

AM_AF_2

.・.,tanZ-Dr\AAMn^r=—DM=—PF=3cosZ-Dr\AAMn/r

AMAF2AD~AP~

3

：.PF=-AF,

2

：.3FM=^AFfBPAF=2FM,

*：AM=2f

4

•MF.，

4

.••1=二，解得：t=f;

V13tV133

如图，当点4(4")位于CM的延长线上时，此时点尸在AD上，PB=2VT3-V13t，

过点不作力七’1AB于点G',则MMN，取44"的中点H,则点跖、尸、〃三点共线，过点H作HKLAB

于点K,过点尸作P7U/3于点T,

同理：AG==I，

■:HK工AB,TC14B，

:・HK〃A”G,

•••△/”"△44七’，

•・•点〃是44〃的中点，

.HK_AK_AH_1

••—n=J=-7，=小

AGAGAA2

3I

：.HK=-AK=-,

5，f5

9

HK-1

AtanzPMT=tanzHMK

MK3

即M=3尸7，

・・4r»CFDMPT3「nFBTBM2

・tanzPBT=—=—=一cosZ-PBT=—=—=-；=,

BMBT2PBBDV13

-BT=-2PT,

9

：.MT=-BT,

2

*：MT+BT=BM=2,

4

:.BT=上

11

420

I―=£，解得：t

2V13-V13tV1311

综上所述，f的值为争啥

【点睛】

本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质,

解直角三角形，根据题意得到点4的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题.

7.(2022•山东临沂•中考真题)已知AZBC是等边三角形，点8,。关于直线NC对称，连接ND,CD.

(1)求证：四边形/BCD是菱形；

(2)在线段NC上任取一点尸(端点除外)，连接PD.将线段尸。绕点P逆时针旋转，使点。落在A4延长线

上的点。处.请探究：当点尸在线段NC上的位置发生变化时，NDPQ的大小是否发生变化？说明理由.

(3)在满足(2)的条件下，探究线段/。与CP之间的数量关系，并加以证明.

【答案】(1)见解析

(2)NDPQ大小不变，理由见解析

(3)CP=AQ,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连接由等边三角形的性质可得ZC垂直平分8。，继而得出力B=BC=CD=4),便可证明；

(2)连接P8,过点尸作PEIICB交于点E,PFL4B于点、F,可证明△4PE是等边三角形，由等腰三角

形三线合一证明乙4PF=乙EPF,4QPF=4BPF,即可求解；

(3)由等腰三角形三线合一的性质可得//=尸£,QF=BF,即可证明.

(1)

连接8D,

•••A4BC是等边三角形,

•••AB=BC=AC,

•••点3,。关于直线/C对称，

・••/C垂直平分5。，

•••DC=BC,AD=AB,

•••AB=BC=CD=AD,

.•・四边形/BCD是菱形；

⑵

当点尸在线段NC上的位置发生变化时，NDPQ的大小不发生变化，始终等于60。，理由如下:

,•,将线段PD绕点尸逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点。处，

PQ=PD,

•・•△ABC是等边三角形，

•••AB=BC=AC,ABAC=^ABC=AACB=60°,

连接P8,过点P作PEIICB交N3于点E,PFUB于点、F,

贝IJN力PE=^ACB=60°,AAEP=AABC=60°,

.­./.APE=/.BAC=60°=^AEP,

.•.△APE是等边三角形，

•••AP—EP=AE,

•・•PFLAB,

•••Z-APF=乙EPF,

■:点、B,。关于直线4。对称，点尸在线段ZC上,

：・PB=PD,ZDPA=ZBPA,

：.PQ=PD,

•・•PFLAB,

Z-QPF=Z.BPF,

•••ZQPF-ZAPF=NBPF-/EPF,

即ZQPA=NBPE,

.■■ZDPQ=ZDPA-ZQPA=ZBPA-ZBPE=/APE=60°；

(3)

AQ=CP,证明如下：

■：AC=AB,AP=AE,

■■AC-AP=AB-AE,即CP=BE,

■■■AP=EP,PFLAB,

：.AF=FE,

■■PQ=PD,PFLAB,

：.QF=BF,

：.QF-AF=BF-EF,即AQ=BE,

：.AQ=CP.

【点睛】

本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点

是解题的关键.

8.（2022•内蒙古通辽•中考真题）已知点E在正方形4BCD的对角线4C上，正方形4FEG与正方形4BCD有公

⑴如图1,当点G在4D上，F在力B上，求次茄的值为多少；

（2）将正方形力FEG绕月点逆时针方向旋转a（（T<a<90。），如图2,求：器的值为多少；

Du

（3）4B=8戊，AG^^-AD，将正方形力FEG绕月逆时针方向旋转a（0。<a<360。），当C,G,E三点共线时,

请直接写出DG的长度.

【答案】⑴2

⑵夜

(3)4(76-V2)

【解析】

【分析】

(1)根据题意可得GEIIDC,根据平行线分线段成比例即可求解；

(2)根据⑴的结论，可得噂=乍=%根据旋转的性质可得NZMG=ZC4E,进而证明△GHDsAEAC,

AEACV2

根据相似三角形的性质即可求解；

(3)勾股定理求得CG,EC,进而根据△GADE4C,由相似三角形的性质即可求解.

(1)

,正方形AFEG与正方形4BCD有公共点4点G在上，尸在48上，

•••GEWDC

AG_AE

"OG=£C

EC_AE

"~DG^~AG

•••四边形AFEG是正方形

AE=\[2AG

■空&CE_®AE_lyfy_

,,V2DG--V2xV2-2?

⑵

如图，连接4E,

•・•正方形/尸EG绕/点逆时针方向旋转a(0。VaV90°),

•••Z-DAG=Z-CAE

AG_AD_1

‘屈=就=/

GADEAC

CEACnz

・•・一=—=V2,

DGAD

⑶

如图，

AB

AB=8V2,AG=—AD,

2

...ADAB8版AG=yx8V2=8,AC=&AB=16,

•••G,F,C三点共线，

Rt△4GC中,GC=AC2—AG2=V162-82=8A/3)

•••CE=GC-GE=8V3-8,

由(2)可知△GAD-AEAC,

.££_^£_V2

••一——V乙，

DGDA

...DG=繁=8后yo=4(痣-V2).

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综

合运用以上知识是解题的关键.

9.(2022•广西•中考真题)已知NMON=a,点/,5分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

(1)如图①，若a=90°,取48中点D,点A,B运动时，点D也随之运动，点、A,B,D的对应点分别为4,B1,£»',

连接。D,判断OD与。。有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形/2C,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点N,8运动到什么位置时，AAOB的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面积

的最大值.

【答案】(1)。。=。》，证明见解析

(2)373+3

(3)当。4=。8时，AAOB的面积最大；理由见解析，△力。B面积的最大值为9/+9

【解析】

【分析】

(1)根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD十瓦OD'^A'B',进而得出结论；

(2)作A/OB的外接圆/,连接C/并延长，分别交。/于。和。，当O运动到。时，OC最大，求出

和等边三角形AO'B上的高OD进而求得结果；

(3)作等腰直角三角形4®,以/为圆心，//为半径作。/,取A8的中点C,连接C/并延长交。/于。，

此时A/OB的面积最大，进一步求得结果.

(3)以A8为斜边在其右侧作等腰直角三角形连接。C交于点7,在。7上取点E,使OE=BE,

连接BE,由(2)可知，当。C1AB时，0C最大，当。力=。8时，此时OT最大，即A/lOB的面积最大，

由勾股定理等进行求解即可.

(1)

解：0D=0D',证明如下：

•••/.AOB=a=90。，AB中点为D,

1

••・OD=-AB,

2

・・,D'为4月的中点,Z-AOB=a=90°,

OD'=2-AB,

AB=AB,

・•・OD=OD；

⑵

解：如图1,

作ANOB的外接圆/,连接C7并延长，分别交。/于。和D,

当。运动到。，时，OC最大，

此时是等边三角形，

:.BO'=AB=6,

OC^CO'=CD+DO'=^AB+^-BO'=3+^;

金解：如图2,作等腰直角三角形/由，以/为圆心，//为半径作。/,

图2

:.AI也AB=30,ZAOB=^ZAIB^45°,

2Z

则点。在上，取AB的中点C,连接C/并延长交。/于。，

此时A/O8的面积最大，

OC=CI+OI%B+3五=3+3班,

J.S^AOB最舄x6x(3+3伪=9+9&.

【点睛】

本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识,解决问题的关键是熟练掌握“定弦对

定角''的模型.

10.(2022・辽宁・中考真题)如图，在△力BC中，AB=AC=2A/5,BC=4,D,E,尸分别为AC,4B,BC的中

点，连接DE,。尸.

AAA

工

BCBC

FQ/NF歹厂

图1图2图3

V5

(1)如图1,求证:DF=—DE;

2

(2)如图2,将NEDF绕点。顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,当射线DP交于点G,射线DQ交BC于点N

时，连接FE并延长交射线DP于点M,判断FN与EM的数量关系，并说明理由;

(3)如图3,在(2)的条件下，当DP_LHB时，求DN的长.

【答案】(1)见解析

(2)FN*EM,理由见解析

噌

【解析】

【分析】

(1)连接力F,可得力F1BC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=(4C=有，根据中

位线定理可得DE==2,即可得证；

(2)证明AONFsADME,根据(1)的结论即可得FN=叱引%

2

(3)连接2F,过点。作。"_L于H,证明△AGD”△力HC,可得GD=^HC=迪，勾股定理求得GE,4G,

25

根据tan-WG=丝=之，AEMG=AADG,可得tan/EMG=空=。，进而求得MG,根据MD=MG+GD

GD4MG4

求得MD,根据(2)的结论DN=叱DM,即可求解.

2

(1)

证明：如图，连接AF,

图1

"AB=AC=2V5,FC=4-D,E,尸分别为4〉4B,BC的中点,

DE=|FC=2,AF1BC,

DF=~AC-y/5,

⑵

FN若EM,理由如下,

连接力F,如图,

AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分别为的中点,

1

...EF=^AC=CD.EFWC,

・•・四边形CDEF是平行四边形，

，乙DEF=zC,

1

••・DF=-AC=DC,

2

•••Z.DFC=zf,

•••Z-DEF=乙DFC,

•••180°-乙DEF=180°-Z.DFC,

乙DEM=乙DFN,

图2

,•・将ZEDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,

.，.Z.EDF=Z-PDQ,

•・•乙FDN+Z.NDE=Z.EDM+乙NDE,

••・乙FDN=乙EDM,

DNFDME,

.NF_DF_45

「EM一DE一

FN=—EM，

2

⑶

如图，连接4尸，过点C作力B于”,

A

Rt△力FC中，FC=；BC=2,

AF=y/AC2-FC2=4，

11

•••S^ABC=\BC-AF=\AB-CH,

BC-AF4x48V5

AB2V55

•••DP1AB,

・••△/GDAHC,

GD_AD

HC-AC-2’

・•・GD十T'

RtAGED中，

GE=yjED2-GD2=J22一律j=手,

RtAAGD中,

3V5

AG=y/AD2-GD2=

3V5

AT--

tan乙4。G=—=■r~.

GD1V5

■：EFWAD,

•••Z-EMG=Z.ADGf

PC3

：

.^EMG=-4,

442V58V5

―X-----=-------

••.MG.GE=3515

8A/5,4V54V5

・•・MD=MGGD-------=

15------5---------3

△DNFDME,

.DN_DF_y/5

，•DM一DET，

cnr遍…"V54V510

・・.DN=—DM=—x—=—.

2233

【点睛】

本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质

与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

11.(2022・贵州贵阳・中考真题)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

如图，在MBCD中，AN为8C边上的高，与=m，点M在力。边上，且BA=BM,点E是线段AM上任意一点,

AN

连接8E,将4A8E沿BE翻折得△FBE.

图①图②备用图

⑴问题解决：

如图①，当NBAD=60。，将AABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则警=；

(2)问题探究：

如图②，当NB4D=45。，将AABE沿BE翻折后，使EFIIBM,求乙4BE的度数，并求出此时m的最小值；

(3)拓展延伸：

当NBAD=30。，将△ABE沿BE翻折后，若且4E=MD,根据题意在备用图中画出图形，并求出

小的值.

【答案】(1磬

(2)44BE=22.5°,m=2

(3)作图见解析，3V3-1

【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得普=*=—^,根据特殊角的三角函数值即可求

ANANcosZ.BAN

解;

(2)根据折叠的性质即可求得N4EB=乙FEB="180。+45°)=112.5°,由三角形内角和定理可得乙4BE=

180°-/.AEB-^.BAE=22.5°,根据点M在4。边上，当4。=AM时，m取得最小值，最小值为誓=2；

(3)连接FM,设ZN=a,则48=2a,NB=WAN=Wa，在中，FB=AB=BM,延长尸E

交NC于点G,在Rt△EFM中，EM=VFM2-EF2=J8a2-(百—lj2a2=(V3+l)a,进而根据4。=AE+

EM+MD,即可求解.

(1)

••・BA=BM,匕BAD=60°

：.△是等边三角形，

.・.AB=AM=BM

•・