2024-2025学年甘肃省高一数学上学期期中考试卷及答案解析

2024〜2025学年度第一学期期中考试

高一数学

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第一章〜第三章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合“"卜仅.,">。},”上刈2x—3区1},则如人（）

A,{0,1,2}B.{1,2}C,{1,2,3}D.{2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】,.1A=^y\y=x,x>0^={^y\y>0^,B={xeN||2x-3|<1J=­[%eN|1<x<2}={1,2},

.•"5={1,2},

故选：B.

2.设xeR,则“x<3”是“伞-2）<0"的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由集合的包含关系即可判断.

【详解】由X（X—2）<0可得0<x<2,

显然（0,2）口（-*3）,

所以“x<3”是“x（x-2）<0必要不充分条件.

故选：B

3.已知函数/（x）=x+4，则/（一2022）+/（2022）的值是（）

JC

A.-2022B.0C.1D.2022

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数为奇函数可求/（-2022）+/（2022）的值.

【详解】/（x）的定义域为{x|x*0},定义域关于原点对称.

/（—X）+/（x）=—X-----—=0,故/（X）为奇函数，

XX

贝2022）+/（2022）=0.

故选：B.

4.设全集U={xeN*|x<8},集合N={1,3,6},8={3,5,7},则的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，得到。={1,2,3,4,5,6,7},结合并集与补集的运算，求得d（ZU8）={2,4},进而

得到其子集的个数.

【详解】由题意，全集U={xeN*|x<8}=",2,3,4,5,6,7},

因为N={1,3,6},5={3,5,7）,可得Z={1,3,5,6,7）,

所以。（ZU8）={2,4},所以d（ZU8）的子集个数为22=4个.

故选：B.

5.若“王e”,田<丁"为真命题，“VxeM,x<2”为假命题，则集合M可以是（）

A.{x|x<0}B,{x[0<x<l}

C.{x[l<x<3}D.(x|x<l}

【答案】C

【解析】

【分析】由“VxeM,x<2”为假命题，可得“ZeM”,x>2,为真命题，可知A,B,D不正确，即

可得出答案.

【详解】若“VxeM,x<2”为假命题，所以FxeM"，x>2,为真命题,

所以A,B,D不正确，排除A,B,D.

故选：C.

6.函数/(x)=2&—3x的最大值为()

,311

A—B.-C.1D.-

,423

【答案】D

【解析】

【分析】换元再配方可得答案.

【详解】令/=«(720),则g(/)=2/—3/=—3,—+1(r>0),

所以g(Omax=g

故选：D.

7.已知函数=则函数y=/(x)的解析式是()

A.f(x)=x2+2x+2,x>0B,f(x)=x2+2x+2,x>-1

C.f(x)=x2-2x+2,x>0D,f(x)=x2-2x+2,x>-l

【答案】B

【解析】

【分析】利用配凑法求解析式即可.

【详解】/(x2-1)=x4+1=[(x2-1)+1]2+1,且12—1，所以/(X)=(X+1)2+1=*+2X+2,

xN—1.

故选：B.

8.设偶函数/(x)的定义域为R,当xc[O,+s)时，/(x)是增函数，则/(—3)的大小关系

是()

A./⑺〉/(-3)〉/(-S)

B./(兀)〉/(")〉/(-3)

C/(7T)</(-3)</(-V7)

D./(7T)</(-V7)</(-3)

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数性质将负值的函数值转化为正值的函数值，再利用/(x)在[0,+8)上的单调性即得.

【详解】因/(x)是偶函数，故/(—J7)=/(J7),/(—3)=〃3),

又因当xe[0,+oo)时，/(x)是增函数，由々<3<兀可得：/(兀)岁(3)〉/(疗)，

即/⑺(-3)〉/(").

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()

A.奇数都不能被2整除

B.有的实数是无限不循环小数

C.角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等

D.对任意实数x,方程必+1=0都有解

【答案】AC

【解析】

【分析】根据全称量词的定义求解即可.

【详解】选项A与C既是全称量词命题又是真命题，B项是存在量词命题，D项是假命题.

故选：AC

10.如果。<6<0,c<d<0,那么下列不等式一定成立的是()

…dcd+bc+b

A.etc>bdB.ac1n>bd2C.一<—D.-------<--------

aaa+ba+b

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式性质可判断AC正确，取特殊值可知B错误；利用作差法可知D正确.

【详解】由题知一a>-Z?>0,—c>—d>0,所以ac>bd,故A正确；

取。=。=一2,b=d=-1,贝|〃/=一8，bd?=_\,故B不正确；

1de

因为c<d,—<0,所以一<一,故C正确；

aaa

b+dc+bd-c八一d+bc+b.一小

因为------------=-----<0,故-----<-----,故rD正确，

a+ba+ba+ba+ba+b

故选：ACD.

11.对于定义在R上的函数/(x),下列判断正确的是().

A.若/(x)是偶函数，则/(-2)=/(2)

B.若'(2),则/(x)不是偶函数

C若〃2)>/(1),则函数/(x)是R上的增函数

D.若/(2)〉/⑴，则函数/(x)在R上不是减函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用偶函数定义判断选项AB,举反例否定选项C；利用减函数定义判断选项D.

【详解】选项A：若/(x)是定义在R上的偶函数，则/(-x)=/(x)恒成立，

则有/(—2)=/(2)成立，判断正确；

选项B：定义在R上的函数/(X),若'(2),则/(—x)=/(X)不恒成立，

则/(x)不是偶函数，判断正确；

选项C：定义在R上的函数/(x)=x2,满足〃2)〉/⑴，

但函数/(x)不是R上的增函数.判断错误；

选项D：定义在R上的函数/(x),若〃2)>/⑴，

则对任意X15x2eR,X］</时，/(xj〉/(%)不恒成立,

则函数/(x)在R上不是减函数.判断正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.集合Z={x|(x—l)(x—2)=0}用列举法表示为.

【答案】{1,2}##{2,1}

【解析】

【分析】解方程，求出幺={1,2}.

【详解】^={X|(X-1)(X-2)=0}={1,2}.

故答案为：{1,2}

13.函数/(》)=>/心+&3—1的定义域是.

【答案】［-3,1］

【解析】

【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.

【详解】要使函数/(X)有意义，贝1Jx+3〉0，解得—3WXW1.

因此，函数/(x)的定义域为［—3』.

故答案为：［一3』.

1212

14.已知Q>0,>0,ci>—I—，b>—I—，则Q+Z?的最小值为______.

abba

【答案】2A/3

【解析】

33

【分析】由已知可得Q+62—+不，结合基本不等式求(。+6)2的最小值，再求Q+b的最小值.

ab

【详解】因为。之,+2,/>>—+—,

abba

一33

所以。+6之—I—，又Q>0,b>0,

ab

,22、2入2

所以(a+b)~—(a+6)=6H----H—>12,当且仅当a=b=y/3时取等号.

\ab)ab

所以a+6226，当且仅当a=b=G时取等号.

所以a+6的最小值为2G.

故答案为：2区

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知全集U=R，A={x|—3<x<2},B={x|m<x<5}.

(1)若加=0,求何吊^^；

(2)若。£力”是“xwB”的充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)(dN)n8=[2,5)

(2)(-oo,-3]

【解析】

【分析】(1)根据补集交集的概念运算即可；

(2)先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可.

【小问1详解】

aZ=(—oo,-3]U[2,+oo),

若加=0,B={x|0<xV5},

所以(6幺)08=[2,5)；

【小问2详解】

因为“xeZ”是“xeB”的充分条件，所以

所以加<一3

即实数m的取值范围是(一*-3].

16.若关于x的不等式"2+3》_1>0的解集是*1

(1)求a的值；

(2)求不等式-3x+/+1>。的解集.

【答案】(1)-2；(2){x|--1<x<l).

【解析】

【详解】试题分析：(1)由题意可知，1,是方程ax2+3x-1=0的两根，通过韦达定理可求出a的值;

2

(2)将(1)中的a代入不等式ax2-3x+a2+l>0,解这个一元二次不等式即可；(注意二次项系数小于0

要变形求解)

试题解析：

(1)依题意，可知方程ax2+3x-1=0的两个实数根为寺和1,

.1•-^-+1=--5.—xl=-,解得a=-2,

2a2a

.•.a的值为-2；

(2)由(1)可知，不等式为-2x2-3x+5>,gp2X2+3X-5<0,

2

・•,方程2x+3x-5=0的两根为xi=Lx2=-->

・,.不等式ax2-3x+a2+l>0的解集为{x|--^-<x<l}.

考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集.

17.设函数/(%)=2国+%-2.

4

3

2

1

Q

Ti234X

-T2

(1)将函数/(%)写成分段函数的形式并画出其图象；

(2)写出函数/(')的单调区间和值域.

/、［3x-2,x>0

【答案】(1)/(x)=<c八，图象见解析

-x-2,x<0

(2)单调递增区间为［0,+8),单调递减区间为(-8,0),值域为［-2,+co)

【解析】

【分析】(1)去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象；

(2)结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域.

【小问1详解】

一［x.x>0

因为,

I<0

3x-2,x>0

所以/(x)=2|x|+x_2=<

—x—2,x<0

所以/（x）的图象如下所示:

【小问2详解】

由（1）中函数图象可知，/（x）的单调递增区间为［0,+。），单调递减区间为（一8,0）,

又/（0）=—2,所以/（x）的值域为［—2,+8）.

18.某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x（0<x<18）厘米处

安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度

起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与/成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与

1350-Y成反比，比例系数为k,且当x=10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.

（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式;

（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.

250

【答案】（1）”-----1--------------0<x<18

"x21350-x2

4

（2）当x=15时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为一.

【解析】

2k

【分析】（1）由题意歹==+-------r,把x=10,y=0.06代入，可求上的值.

x1350-x

（2）利用基本不等式力”的妙用，可求V的最小值及对应的1的值.

【小问1详解】

2k

由题意y=—+0<x<18,

1350—/

2k

因为x=10时，y=0.06,所以---+----------=0.06=左=50,

1001350-100

所以y=2+50

0<x<18.

x1350—/

【小问2详解】

因为0<x<18,所以1350——>0,

2501p+(1350-x2)]j^250

所以歹==+bl350-炉

1350-x21350

2(1350--)50/

12(1350—1)5Qx2

>-------

~252+2.

13501350-x213501350—1

14

=——(52+20)=—,

1350v775

当且仅当20350—x)=50/,即》=15时取“=

x21350-x2

4

所以当x=15时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为一.

19.己知函数/(x)的定义域为R,对任意的a,beR,都有/(a)/(b)=/(a+