艺考生专题讲义27 递推公式求通项

考点27递推公式求通项知识梳理公式法求通项使用特征：前n项和与项数或项的关系公式为：通项=前n项和-前n-1项和解题思路累加法求通项1.使用特征：2.解题思路累乘法求通项1.使用特征：2.解题思路构造法求通项倒数法求通项精讲精练题型一公式法求通项【例1】(1)数列的前n项和，则它的通项公式是__________.(2)设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________．(3)已知数列满足，则________，________．【答案】(1)(2)(3)3【解析】(1)时，；且时，，易见，也适合该式.故.故答案为：.(2)当时，当时，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：.(3)当时，，当时，由题意可得：，，两式作差可得：，故，因为，不满足，所以.故答案为：3；.【方法总结】【方法总结】数列的前n项和，当已知求时，按照两者关系，由计算，当也适合通项公式时，合并作答，否则写出分段形式.【举一反三】1．已知数列的前项和，则＝________.【答案】【解析】由于数列的前项和.当时，；当时，.满足.因此，对任意的，.故答案为：.2．数列的前项和为，则_________________.【答案】【解析】当时，;而不适合上式，.故答案为：.3．已知数列的前项和为，，，则______.【答案】【解析】因为，故，故即.又，故当时，，故.故答案为：.4．若数列的前项和，则的通项公式是________．【答案】【解析】当时，，，当时，，，∴，是首项为，公比为的等比数列，．故答案为：5．若数列是正项数列，且，则_______．【答案】【解析】数列是正项数列，且所以，即时两式相减得，所以()当时，适合上式，所以题型二累加法求通项【例2】设数列满足，，则数列的通项公式为【答案】【解析】，所以当时，，，，，将上式累加得：，，即，又时，也适合，．【举一反三】1．已知数列满足：，，则【答案】【解析】∵数列满足：，，∴，∴当n≥2时，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1＝=，2．)已知在数列的前项之和为，若，则_______．【答案】【解析】..3．已知数列满足，，则。【答案】【解析】由，可得，所以，题型三累乘法求通项【例3】设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________.【答案】【解析】∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，∴.∴当n≥2时，an＝，a1＝2也符合上式，则an＝.故答案为：.【举一反三】1．已知在数列中，，则=【答案】【解析】，即，，2．已知，，则数列的通项公式是【答案】【解析】由得：，即，则，，，……..，，由累乘法可得，又因为，所以.题型四构造法求通项【例4】若，，则_______________.【答案】【解析】原式可化为()，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即.故答案为：.【举一反三】1．已知数列中，，(且)，则数列通项公式为【答案】【解析】由，知：且()，而，，∴是首项、公比都为3的等比数列，即，2．已知数列满足，则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，所以.所以数列的通项公式为.故答案为：3．若数列满足，，则数列的通项公式________.【答案】【解析】由，可得，设则，则所以是以1为首项，3为公比的等比数列.则，则，所以故答案为：题型五倒数法求通项【例5】已知数列满足：，．则【答案】【解析】因为，所以两边取倒数得，则，所以数列为等比数列，则，【举一反三】1．在数列中，已知，，，则等于【答案】【解析】，所以是以为首