新高考数学二轮复习考点讲义第二十六讲圆锥曲线（原卷版）

第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线【考点梳理】求曲线的轨迹方程直接法、定义法、相关点法椭圆方程椭圆相关计算（1）椭圆标准方程中的三个量SKIPIF1<0的几何意义SKIPIF1<0（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长SKIPIF1<0焦点弦：椭圆过焦点的弦。最短的焦点弦为通经SKIPIF1<0，最长为SKIPIF1<0。（3）最大角:SKIPIF1<0是椭圆上一点，当SKIPIF1<0是椭圆的短轴端点时，SKIPIF1<0为最大角。（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。焦点三角形的面积SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0（注意公式的推导）双曲线（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为SKIPIF1<0．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线内部，等价于SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在双曲线外部，等价于SKIPIF1<0结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数SKIPIF1<0；顶点到两条渐近线的距离为常数SKIPIF1<0;性质2：双曲线上的任意点SKIPIF1<0到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数SKIPIF1<0；（4）双曲线焦点三角形面积为SKIPIF1<0（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作双曲线的切线方程为SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0外，则点SKIPIF1<0对应切点弦方程为SKIPIF1<0抛物线（1）、焦半径抛物线上的点SKIPIF1<0与焦点SKIPIF1<0的距离称为焦半径，若SKIPIF1<0，则焦半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）、焦点弦若SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点弦，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有以下结论：（1）SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．（3）焦点弦长公式1：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，焦点弦取最小值SKIPIF1<0，即所有焦点弦中通径最短，其长度为SKIPIF1<0．焦点弦长公式2：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与对称轴的夹角）．（4）SKIPIF1<0的面积公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与对称轴的夹角）．（3）、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故抛物线的通径长为SKIPIF1<0．（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：SKIPIF1<0（5）、焦点弦的常考性质已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是过抛物线SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是抛物线的准线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足．（1）以SKIPIF1<0为直径的圆必与准线SKIPIF1<0相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（4）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点在一条直线上【典型题型讲解】考点一：椭圆【典例例题】例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆SKIPIF1<0的焦距为6，则实数SKIPIF1<0（

）A．13 B．40 C．5 D．SKIPIF1<0例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为SKIPIF1<0，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线SKIPIF1<0时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【方法技巧与总结】标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形性质焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0SKIPIF1<0范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对称性关于SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和原点对称顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴长轴长SKIPIF1<0SKIPIF1<0，短轴长SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0（注：离心率越小越圆，越大越扁）【变式训练】1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，上顶点为B，且SKIPIF1<0，点P在C上，线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于Q，SKIPIF1<0，则（

）A．椭圆C的离心率为SKIPIF1<0 B．椭圆C上存在点K，使得SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<02．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若在椭圆SKIPIF1<0上不存在点P，使得由点P所作的圆SKIPIF1<0的两条切线互相垂直，则椭圆SKIPIF1<0的离心率的取值范围是________.3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知SKIPIF1<0分别是椭圆C：SKIPIF1<0的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得SKIPIF1<0，的面积为SKIPIF1<0，则正实数m的取值范围为______．4．（2022·广东肇庆·二模）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线AB过SKIPIF1<0与该椭圆交于A，B两点，当SKIPIF1<0为正三角形时，该椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0被椭圆截得的弦长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0求椭圆SKIPIF1<0的标准方程SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点,SKIPIF1<0是坐标原点,过点SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行的直线与椭圆SKIPIF1<0的两个交点为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值7．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：SKIPIF1<0的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得SKIPIF1<0为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左顶点，点SKIPIF1<0为右焦点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆上异于点SKIPIF1<0的任意一点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)证明：SKIPIF1<0.10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)证明：SKIPIF1<0为定值．11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若动直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有且只有一个公共点，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，试探究：SKIPIF1<0是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆SKIPIF1<0为左右焦点,SKIPIF1<0为短轴端点,长轴长为4,焦距为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(Ⅰ)求椭圆SKIPIF1<0的方程(Ⅱ)设动直线SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0有且仅有一个公共点SKIPIF1<0,且与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0.试探究:在坐标平面内是否存在定点SKIPIF1<0,使得以SKIPIF1<0为直径的圆恒过点SKIPIF1<0?若存在求出点SKIPIF1<0的坐标,若不存在.请说明理由.考点二：双曲线【典例例题】例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线SKIPIF1<0的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率e为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.(1)求C的方程；(2)设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线SKIPIF1<0与C交于另一点D，求证：直线SKIPIF1<0过定点.【方法技巧与总结】1.双曲线的定义：焦点三角形2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左、右两支曲线分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．23．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，SKIPIF1<0，则（

）A．双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0B．双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0C．双曲线C的离心率为SKIPIF1<0D．双曲线C的离心率为SKIPIF1<04.（2022·广东东莞·高三期末）已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一个焦点，则点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为_______.5.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的一个焦点，以SKIPIF1<0为圆心的圆与SKIPIF1<0的两条渐近线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点，若四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为______．6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C：SKIPIF1<0在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为___________；若SKIPIF1<0分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0经过点ASKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的渐近线的距离为SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率不为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于M，N两点，直线SKIPIF1<0分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．考点三：抛物线【典例例题】例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上一点P（2，SKIPIF1<0）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（

）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)若抛物线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0按顺时针方向依次交于四点SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在第一象限）.①求证：直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0点；②设SKIPIF1<0的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.【方法技巧与总结】1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.2.抛物线的性质：焦点弦长【变式训练】1．（2022·广东广州·一模）设抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过点SKIPIF1<0的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东广东·一模）已知O为坐标原点，F为抛物线SKIPIF1<0的焦点，P为C上一点，若SKIPIF1<0，则点F到直线PO的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C:SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，P是抛物线SKIPIF1<0上第一象限的点，SKIPIF1<0，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（

）A．点P的坐标为（4，4）B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为切点，则直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<04．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，抛物线C上存在n个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）满足SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为9C．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为85．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F是抛物线SKIPIF1<0的焦点，过点F作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与C相交于A，B两点，SKIPIF1<0与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以SKIPIF1<0为直径的圆与l相切C．SKIPIF1<0的最小值为32 D．当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<06．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【巩固练习】一、单选题1．椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0相交于A，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的周长为16，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别SKIPIF1<0，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，点P为椭圆上一点，以SKIPIF1<0为圆心的圆与直线SKIPIF1<0恰好相切于点P，则SKIPIF1<0是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别SKIPIF1<0，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．设F为椭圆SKIPIF1<0的右焦点，点SKIPIF1<0，点B在C上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．设椭圆SKIPIF1<0长轴的两个顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆上不同于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的任一点，若将SKIPIF1<0的三个内角记作SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知直线SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点，且与该抛物线交于SKIPIF1<0两点.若线段SKIPIF1<0的长为16，SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0轴距离为6，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08.过抛物线SKIPIF1<0的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若SKIPIF1<0，则直线l的倾斜角等于（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．与p值有关二、多选题9．已知SKIPIF1<0为椭圆的焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的两个顶点（且SKIPIF1<0不是离SKIPIF1<0最近的那个顶点），若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆的离心率可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．设圆锥曲线C的两个焦点分别为SKIPIF1<0，若曲线C上存在点P满足SKIPIF1<0，则曲线C的离心率可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．23．双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在C上.若SKIPIF1<0是直角三角形，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．24．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，则（

）A．SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知抛物线C：SKIPIF1<0，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（

）A．p=1 B．抛物线的焦点为F(0，1)C．SKIPIF1<0 D．直线AB的斜率为SKIPIF1<0三、填空题1．与双曲线SKIPIF1<0有相同的焦点，且短半轴长为SKIPIF1<0的椭圆方程是________.2．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）为邻边作平行四边形SKIPIF1<0