2020-2021中考数学压轴题：二次函数的综合（附答案）

2020-2021备战中考数学压轴题专题复习一一二次函数的综合附答案

一、二次函数

1.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0,3）、B（1,0）,其对称轴为直线

I：x=2,过点A作ACIIX轴交抛物线于点C,NAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛

物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE

面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴I上的一点，在抛物线上是否存在点P使APOF成为以

点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

575

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当＞71=—时，四边形AOPE面积最大，最大值为（3）P

28

点的坐标为：P1（21,匕好），P2J-逐,11立），P3（立5,t5）,

222222

z5-A/51—A/5x

r4\----------------,---------------）.

22

【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m,m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积

和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP空△PNF,根据OM=PN列方程可得点P

的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标.

详解：（1）如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,

图1

由对称性得：D(3,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x-1)(x-3),

把A(0,3)代入得：3=3a,

a=l,

抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

(2)如图2,设P(m,m2-4m+3),

图2

■，-OE平分NAOB,ZAOB=90°,

二ZAOE=45°,

•△AOE是等腰直角三角形，

AE=OA=3,

.E(3,3),

易得0E的解析式为：y=x,

过P作PGIIy轴，交OE于点G,

G(m,m),

.PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,

•S四边形AOPE=SAAOE+SAPOE,

11

=—x3x3+—PG»AE,

22

91

=—+—x3x(-m2+5m-3),

22

575

.•.当m=一时，S有最大值是?；

28

(3)如图3,过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交I于N,

•••△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF,

易得△0Mp丝&PNF,

0M=PN,

P(m,m2-4m+3),

则-m2+4m-3=2-m,

解得：或匕叵，

22

p的坐标为(丝5,小叵)或(行一也,匕XI).

2222

如图4,过P作MN_Lx轴于N,过F作FM_LMN于M,

同理得△0NP合△PMF,

二PN=FM,

则-m2+4m-3=m-2,

解得：x="或三丛；

22

P的坐标为（处5,匕正）或（③一也,匕立）.

2222

综上所述，点p的坐标是：（立5,匕立）或（口叵，上二叵）或（处5,

22222

1-75、-/3-V51+75、

222

点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与

性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运

用分类讨论思想和方程的思想解决问题.

2.（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡。点处抛出，球的抛出路线可以用二次函

数丫=-x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=/x刻画.

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A,求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点0、A得APOA,求APOA的面积；

（4）在0A上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△M0A的面积等于△POA的

面积.请直接写出点M的坐标.

7721315

【答案】（1）（2,4）；（2）（2,4）.（3）4.（4）（2,4）.

【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点

P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ_Lx轴于点Q,AB_Lx轴于点B.根据SAPOA=SAPOQ+SA梯形PQBA-SABOA,代入数值

计算即可求解；

（4）过P作0A的平行线，交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离

相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直

11

线PM的解析式为y』x+b,将P（2,4）代入，求出直线PM的解析式为y/x+3.再与抛

1

'y=-%+3

'y=-x2+4x

物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标.

试题解析：（1）由题意得，y=-x2+4x=-（X-2）2+4,

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2,4）；

7

1>X=2

•y=jx7

/（X=0\y=--

（2）联立两解析式可得：7,解得：U一U,或

77

故可得点A的坐标为（24）；

1177177

=2X2X4+2X(4+4)x(2-2)-2、2、4

6949

=4+花-16

21

-T.

（4）过P作0A的平行线，交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于

APOA的面积.

1

设直线PM的解析式为yNx+b,

•••P的坐标为（2,4）,

1

4=2x2+b,解得b=3,

1

•直线PM的解析式为y=Z<+3.

3

12

'y=-%+315

21%=2

由+曲解得ly=4,

315

考点：二次函数的综合题

3.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c经过A（—3,0）,B（1,0）,C（0,3）三点,

其顶点为D,对称轴是直线I,I与X轴交于点H.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴I上的一个动点，求APBC周长的最小值；

（3）如图（2）,若E是线段AD上的一个动点（£与人、D不重合），过E点作平行于y

轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,AADF的面积为S.

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=-x2-2x+3.

（2）3^+710.

（3）0S=-m2-4m-3.

②当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为（-2,2）.

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

(2)根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，APBC的周长最小，根据点的坐标求得相应

线段的长即可.

(3)设点E的横坐标为m,表示出E(m,2m+6),F(m,-m2-2m+3)＞最后表示

出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.

【详解】

解：(1)•••y=ax2+bx+cA(-3,0),B(1,0),

•••可设抛物线交点式为y=a(x+3)(x—1).

又：抛物线y=ax2+bx+c经过C(0,3),：.a=-l.

2

•,・抛物线的解析式为:y=-(x+3)(x-l),gpy=-x-2x+3.

(2)•■•APBC的周长为：PB+PC+BC,且BC是定值.

当PB+PC最小时，APBC的周长最小.

•••点A、点B关于对称轴I对称，

二连接AC交I于点P,即点P为所求的点.

AP=BP,二△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

A(-3,0),B(1,0),C(0,3),二AC=30,BC=V10.

△PBC的周长最小是：372+710.

(3)①;抛物线y=—x?—2x+3顶点D的坐标为(-1,4),A(-3,0),

•直线AD的解析式为y=2x+6

•.•点E的横坐标为m,二E(m,2m+6),F(m,-m2-2m+3)

/.EF=-m2-2m+3-(2m+6)=-m2-4m-3.

22

S=SADEF+SAAEF=1-EF-GH+|-EF-AG=1-EF-AH=1.(-m-4m-3)-2=-m-4m-3

二S与m的函数关系式为5=—n?—4m—3.

@S=-m2-4m-3=-(m+2)^+1,

.当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为(-2,2).

4.(12分)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4

m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-4x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到

0B的水平距离为3m,到地面0A的距离为一m.

2

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面0A的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道，那

么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度

不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

17

~2

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=-,X2+2X+4,拱顶D到地面0A的距离为10m；

（2）两排灯的水平距离最小是4括m.

【解析】

【详解】

试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函

数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的

交点为（2,0）（或（10,0））,然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比

6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出

最小值.

试题解析：（1）由题知点5（0,4）,。。,一］在抛物线上

c=4（■

b=212

所以1171八，解得，，所以y=—二九2+2%+4

—=——x9+3Z?+cc=46

（26I

b

所以，当天=----=6时，y皂/=1。

答：y=——/+2%+4,拱顶D到地面OA的距离为10米

（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））

(3)令y=8,即—9/+2%+4=8,可得丁―12%+24=0，解得

6

%=6+2百，9=6-2A/3

玉-x2=46

答：两排灯的水平距离最小是4百

考点：二次函数的实际应用.

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=奴2+6x+c交x轴于点4(—4,0)、

3(2,0),交y轴于点。(0,6),在y轴上有一点E(0,—2),连接AE.

(2)若点。为抛物线在X轴负半轴上方的一个动点，求AADE面积的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使AAE尸为等腰三角形，若存在，请直接写出所有

P点的坐标，若不存在请说明理由.

332

【答案】(1)二次函数的解析式为y=—]X+6；(2)当x=—§时，AADE的

面积取得最大值日；(3)p点的坐标为(-M),(-i,±7n),(-i,-2±7i9).

【解析】

分析：(1)把己知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

(2)根据函数解析式设出点。坐标，过点。作OG^x轴，交AE于点F,表示AADE的

面积，运用二次函数分析最值即可；

(3)设出点P坐标，分■PA=PE,PA=AE,PE=AE三种情况讨论分析即可.

详解：(1)...二次函数片ox2+bx+c经过点八(-4,0)>8(2,0),C(0,6),

16a-4/?+c=0

/.<4〃+2Z?+c=0,

c=6

3

a=—

4

,3

解得:b=——

2

c=6

33

所以二次函数的解析式为：y=—-x2—-x+6；

42

(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直线解析式为y=—gx—2,

过点。作。N，x轴，交AE于点F,交X轴于点G,过点E作EHLDF,垂足为H,如图,

DF=--m2--m+6-(--777-2)=--nr-m+S,

4224

11

SAADE=S△ADF+S^EDF--xDFxAG+—DFxEH

22

11

二一xDFxAG+一义DFxEH

22

1

=—x4xDF

2

3

=2x(——m2-m+8)

4

3/2、250

233

250

，当m=---时，△AOE的面积取得最大值为—.

33

33

(3)y=一一X2一一X+6的对称轴为x=-1,设P(-1,n),又E(0,-2),A(-

42

4,0),可求%=的+?，PE=J1+5+2)2，AE=J16+4=2«,分三种情况讨论:

当力=PE时，,9+7?=，1+（〃+2）2，解得：n=l,此时P（-1,1）；

当力=AE时，,9+/716+4=2至,解得："=±而，此时点P坐标为（-1，

±7TT）；

当PE=AE时，JI+5+2）2=J16+4=26,解得：n=-2±V19，此时点P坐标为：

（-1,-2土M）.

综上所述：P点的坐标为：（-1,1）,（-1,±^1）,（-1,-2±V19）.

点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角

形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键.

6.如图，抛物线y=ax?+6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,

C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M.

①当AMJ_BC时，过抛物线上一动点P（不与点B,C重合），作直线AM的平行线交直

线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

（2）①P点的横坐标为4或牝叵或

【答案】（1）抛物线解析式为y=f2+6x-5；

2

5；②点M的坐标为（＜,—）或-小•

2661

【解析】

分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0,-5）,B（5,0）,然后利用待定系数法求抛

物线解析式；

（2）①先解方程卡+6"5=0得A（1,0）,再判断△OCB为等腰直角三角形得到

NOBC=NOCB=45。，贝必AMB为等腰直角三角形，所以AM=2&,接着根据平行四边形的

性质得到PQ=AM=2④，PQ±BC,作PD_Lx轴交直线BC于D,如图1,利用NPDQ=45。得

到PD=0PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论：当P点在直线BC上方

时，PD=-m2+6m-5-(m-5)=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分

别解方程即可得到P点的横坐标；

②作ANJLBC于N,NH_Lx轴于H,作AC的垂直平分线交BC于Mi,交AC于E,如图

2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到NAMiB=2NACB,再确定N(3,-2),

AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(!，-』)，利用两直线垂直的问题可设直线EMi的

22

解析式为丫=-』*+13,把E(L,-3)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-』x-U,则

52255

y=x-5

解方程组|112得Mi点的坐标；作直线BC上作点Mi关于N点的对称点M2,

155

如图2,利用对称性得到NAMzC=NAMiB=2NACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式

13

-----+1*

得到3=6，然后求出X即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标.

2

详解：(1)当x=0时，y=x-5=-5,则C(0,-5),

当y=0时，x-5=0,解得x=5,则B(5,0),

把B(5,0),C(0,-5)代入y=ax2+6x+c得

25。+30+c=0a——1

，解得

c=—5&=-5'

抛物线解析式为y=-x2+6x-5；

(2)①解方程-x2+6x-5=0得xi=l,X2=5,则A(1,0),

B(5,0),C(0,-5),

A△OCB为等腰直角三角形，

ZOBC=ZOCB=45°,

AM±BC,

•△AMB为等腰直角三角形，

AM=—AB=—x4=2J2,

22

•••以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，AMIIPQ,

二PQ=AM=20,PQ_LBC,

作PD_Lx轴交直线BC于D,如图1,则NPDQ=45。，

PD=&PQ=V^x2正=4，

设P(m,-m2+6m-5),贝|D(m,m-5),

当P点在直线BC上方时，

PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4,解得mi=l,mz=4,

当P点在直线BC下方时，

22

PD=m-5-(-m+6m-5)=m-5m=4,解得m产5+^/^,m2=,

22

综上所述，P点的横坐标为4或丝画或d画；

22

②作ANJ_BC于N,NHJ_x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于Mi,交AC于E,如图

2,

MiA=MiC,

/.ZACMi=ZCAMi,

・••ZAMiB=2ZACB,

△ANB为等腰直角三角形,

AH=BH=NH=2,

.N(3,-2),

易得AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为（一，---，

22

设直线EMi的解析式为y=-gx+b,

12

把E(不，--)代入得—-+b=--,解得b=--

22101025

•••直线EMi的解析式为y=-1x-12

y

13

解方程组＜112得＜/，则Ml(丁，..-)；

y=——---1/66

[5x5[y=--

作直线BC上作点Mi关于N点的对称点M2,如图2,则NAM2c=NAMiB=2ZACB,

设M2(x,x-5),

13

一———+X

3=6

2

23

••X—,

6

,23

..M2(z---,J，，

6

131793)

综上所述，点M的坐标为（一，-一）或（一,4•

666

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数

的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；

理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.

7.如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线

y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角

形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0<x<3时，在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探

【答案】(1)y=x2-4x+3；(2)(2,二)或(2,7)或(2,-1+2、乐)或(2,-1-

2

2、后)；(3)E点坐标为(J3时，ACBE的面积最大.

824

【解析】

试题分析：(1)由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC

的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得

M点的坐标；

(3)过E作EFLx轴，交直线BC于点F,交X轴于点D,可设出E点坐标，表示出F点的

坐标，表示出EF的长，进一步可表示出小CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得

最大值时E点的坐标.

试题解析：(1)1,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,

.B(3,0),C(0,3),

q+3b+「0b4

把B、C坐标代入抛物线解析式可得「'',解得，_,

2=31c=3

•••抛物线解析式为y=x2-4x+3；

(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

，抛物线对称轴为x=2,P(2,-1),

设M(2,t),且C(0,3),

MC=f・3/=J?1・67+13，MP=|t+i|,PC=g：+(+3)；=26,

•••△CPM为等腰三角形，

有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,

①当MC=MP时，则有知：__l”|t+l|，解得t=；止匕时M(2,2)；

22

②当MC=PC时，则有E^=2、1，解得t=-l(与P点重合，舍去)或t=7,此时M(2,

7);

③当MP=PC时,则有|t+l|=2而,解得t=-1+2、尺或t=-1-2、而，此时M(2,-

1+2.1)或(2,-1-2^)；

综上可知存在满足条件的点M,其坐标为（2,二）或（2,7）或（2,-1+2.乐）或

2S

（2，-「25；

0<x<3,

EF=-x+3-（x2-4x+3）=-x2+3x,

ill]3397

（2）（）2

.SACBE=SAEFC+SAEFB=-EF»OD+_EF»BD=_EF»OB=_x3-x+3x=--x-_+_,

2222228

333

当x=二时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（22）,

224

33

即当E点坐标为（二，士）时，△CBE的面积最大.

24

考点：二次函数综合题.

8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时，抛物线与y轴交于点

4将点A向右平移4个单位长度，得到点8.

（1）求点B的坐标；

（2）将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到

一个新的图象，记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求

a的取值范围.

【答案】（1）A（0,-3）,B（4,-3）；（2）-3<a<0；

【解析】

【分析】

（1）由题意直接可求4根据平移点的特点求B；

（2）图形M与线段48恰有两个公共点，y=a要在AB线段的上方，当函数经过点八时，

AB与函数两个交点的临界点；

【详解】

解：⑴A（0,-3）,B（4,-3）；

（2）当函数经过点A时，a=0,

•••图形M与线段4B恰有两个公共点，

y=a要在AB线段的上方，

-3

/--3＜。《0；

【点睛】

本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况

是解题的关键.

9.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0,3）、B（1,0）,其对称轴为直线

I：x=2,过点A作ACIIX轴交抛物线于点C,NAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛

物线上的一个动点，设其横坐标为m.

%l.%/.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE

面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴1上的一点，在抛物线上是否存在点P使APOF成为以

点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m二5一时，四边形AOPE面积最大，最大值为75?.（3）P

28

点的坐标为：P1（土5,三5）,P2（3-6,"S）,P3（立5,匕正），

222222

z5-逐1—A/5、

22

【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m,m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积

和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明A0MP年APNF,根据OM=PN列方程可得点P

的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标.

详解：（1）如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,

图1

由对称性得：D(3,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x-1)(x-3),

把A(0,3)代入得：3=3a,

a=l,

抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

(2)如图2,设P(m,m2-4m+3),

图2

■，-OE平分NAOB,ZAOB=90°,

二ZAOE=45°,

•△AOE是等腰直角三角形，

AE=OA=3,

.E(3,3),

易得0E的解析式为：y=x,

过P作PGIIy轴，交OE于点G,

G(m,m),

.PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,

•S四边形AOPE=SAAOE+SAPOE,

11

=—x3x3+—PG»AE,

22

91

=—+—x3x(-m2+5m-3),

22

575

.•.当m=一时，S有最大值是?；

28

(3)如图3,过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交I于N,

•••△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF,

易得△0Mp丝&PNF,

0M=PN,

P(m,m2-4m+3),

则-m2+4m-3=2-m,

解得：或匕叵，

22

p的坐标为(丝5,小叵)或(行一也,匕XI).

2222

如图4,过P作MN_Lx轴于N,过F作FM_LMN于M,

同理得△0NP合△PMF,

二PN=FM,

则-m2+4m-3=m-2,

解得：x="或三丛；

22

P的坐标为(处5,匕正)或(③一也,匕立).

2222

综上所述，点p的坐标是：(立5,匕立)或(口叵，上二叵)或(处5,

22222

1-75、-/3-V51+75、

222

点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与

性质以及解一元二次方程的方法，解第(2)问时需要运用配方法，解第(3)问时需要运

用分类讨论思想和方程的思想解决问题.

10.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于

点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(2)在y轴上是否存在一点P,使APBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N

从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达

点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最

大面积.

【答案】(1)二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；(2)点P的坐标为：(0,3+3&)或

(0,3-3&)或(0,-3)或(0,0)；(3)当点M出发1秒到达D点时，△MNB面

积最大，最大面积是L此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴

下方2个单位处.

【解析】

【分析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表

达式；

(2)先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种

情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；

(3)设AM=t贝1]DN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解

2

析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N

在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上X轴下方2个单位处.

【详解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

l+Z?+c=0

。=3

解得：b=-4,c=3,

，二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,则x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

B(3,0),

BC=3，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时，PC=30,OP=OC+PC=3+30或OP=PC-OC=3逝-3

夜),；

•Pi(0,3+3P2(0,3-372)

②当PB=PC时，OP=OB=3,

；

P3(0,-3)

③当BP=BC时，

OC=OB=3

•此时P与O重合，

；

.P4(0,0)

综上所述，点P的坐标为：(0,3+3力)或(0,3-372)或(-3,0)或(0,0)；

当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上X

轴上方2个单位处或点N在对称轴上X轴下方2个单位处.

S2

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3（axO）与x轴交于点A（-2,

0）、B（4,0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从

B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，

另一个点也停止运动，当APBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是

多少？

（3）当APBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K,使SACBK:SAPBQ=5：2,求

K点坐标.

【答案】（l）y=3'x2-3-x-3

84

一一一一,9

（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，取大面积是—

10

2715

（3）Ki（1,----）,4（3,--）

88

【解析】

【详解】

试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析

式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出SAPBQ与t的函数关系式SAPBQ=-

9

（t-l）2+—.利用二次函数的图象性质进行解答；

10

3

（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为尸一X-3.由二次函数图象上点的坐标特征

33

可设点K的坐标为（m,-m2-----m-3）.

如图2,过点K作KEIIy轴，交BC于点E.结合已知条件和（2）中的结果求得

9t,

SACBK=­•则根据图形得到:SACBK=SACEK+SABEK=—EK*m+—eEK*(4-m)，把相关线段的

3Q2715

长度代入推知：--m2+3m=—.易求得Ki(1,—-)，K2(3,—-).

4488

解：(1)把点A(-2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx-3(arO),得

4a-2b-3=Q

16tz+4Z?-3=0，

解得

33

所以该抛物线的解析式为：y堂一厂3；

（2）设运动时间为t秒，则AP=3t,BQ=t.

PB=6-3t.

由题意得，点C的坐标为（0,-3）.

在RtABOC中，BC=后+42=5.

如图1,过点Q作QH_LAB于点H.

图1

QHIICO,

△BHCH△BOC,

HBBGHbt

——=——，即nn一=-

OCBC35

9、9

SAPBQ=—PB・HQ=—(6-3t),—1=—-t2n34-1="—(t-1)2H-----.

2251051010

当APBQ存在时，0ct<2

.当t=l时,

9

SAPBQ最大=丁.

9

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是一；

(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k*0).

把B(4,0),C(0,-3)代入，得

4左+c=0

《，

c=—3

解得彳4,

c=-3

3

・.・直线BC的解析式为y=-x-3.

.・•点K在抛物线上.

一33

」•设点K的坐标为(m,-m2-----m-3).