第08讲 含30度直角三角形与斜边上的中线（解析版）-八年级数学

第08讲含30度直角三角形与斜边上的中线重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．二．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．一．含30度角的直角三角形（共13小题）1．（2022秋•如皋市校级期末）如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A，共走了500m，则山的高度AC是250m．【分析】利用直角三角形中，30°的内角所对的直角边是斜边的一半可直接求解．【解答】解：由题意得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝500m，∴AC＝AB＝250m，即山的高度AC是250m，故答案为：250m．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022秋•泰州月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∵点P是BC边上的动点，∴2＜AP＜4，∴AP的值不可能是1.8．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．3．（2022秋•兴化市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠A＝15°，∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，∴AD＝BD，在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝8＝AD，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．4．（2022秋•无锡期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD＝5．【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD长．【解答】解：∵AB＝10，AB＝AC，∴AC＝10，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝5，故答案为：5．【点评】本题考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．5．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．证明：取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．【分析】取AB的中点D，连接CD，得到△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质证明结论．【解答】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．证明：取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．故答案为：∠A＝30°．BC＝AB．取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．【点评】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【解答】解：连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC，∵BC＝15cm，∴MN＝5cm．故选：A．【点评】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．7．（2022秋•江都区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为．【分析】过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF＝x，则BF＝4﹣x，结合含30°角的直角三角形的性质可得关于x的不等式，计算可求解AF的最小值，进而可求得BF的最大值．【解答】解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF＝x，则BF＝8﹣x，∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝4，∴AB＝8，∴FH＝BF＝4﹣x，∴x≥4﹣x，解得x≥，∴AF最小值为，BF的最大值为8﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．8．（2022秋•东台市期中）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC上一点，BD＝3，DE⊥BC交AB于点E，则线段AE＝2．【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，∵BD＝3，∴EB＝2BD＝6，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，故答案为：2．【点评】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2022秋•南通期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（）A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可得AH的长，进一步可得BH的长，当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当点P运动到点H时，∠APB＝90°；②当点P运动到∠BAP＝90°时，分别求解即可．【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴AH＝cm，根据勾股定理，得BH＝3cm，当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当点P运动到点H时，∠APB＝90°，此时运动时间为3÷1＝3（s），②当点P运动到∠BAP＝90°时，∵∠B＝30°，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2+AB2＝（2AP）2，解得AP＝2cm，∴BP＝4cm，此时运动时间为4÷1＝4（s），综上所述，满足条件的运动时间有3s或4s，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．10．（2022秋•崇川区校级月考）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1 D．2+x【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵PA＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．11．（2022秋•兴化市校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝6．【分析】过点P作PD⊥OB，垂足为D，根据垂直定义可得∠PDO＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OPD＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得OD＝8，再利用等腰三角形的三线合一性质可得DM＝2，最后进行计算即可解答．【解答】解：过点P作PD⊥OB，垂足为D，∴∠PDO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝90°﹣∠AOB＝30°，∵OP＝16，∴OD＝OP＝8，∵PM＝PN，PD⊥MN，∴DM＝MN＝2，∴OM＝OD﹣DM＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝4．【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝5，然后计算OH﹣MH即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，如图，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝×10＝5，∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4．故答案为4．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质．13．（2022秋•涟水县期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝12cm，点EF在边OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，则OE＝5cm．【分析】过P作PD⊥OB于D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出ED，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出答案即可．【解答】解：过P作PD⊥OB于D，∵PE＝PF，EF＝2cm，∴ED＝FD＝1（cm），∵PD⊥OB，∴∠PDO＝90°，∵∠POB＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP，∵OP＝12cm，∴OD＝6（cm），∴OE＝OD﹣ED＝5（cm），故答案为：5【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．二．直角三角形斜边上的中线（共10小题）14．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝36°．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝36°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝36°．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝36°，∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝36°．故答案是：36．【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．15．（2022秋•鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是18．【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质可求出斜边长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线是6，∴斜边长＝2×6＝12，∵直角三角形斜边上的高是3，∴这个直角三角形的面积＝×12×3＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．16．（2022秋•海陵区校级期末）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是．【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长＝＝13，则斜边上的中线长为：，故答案为：．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论．（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴△BFC与△BEC都为直角三角形，∵M为BC的中点，∴FM、EM为斜边BC的中点，∴，，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，∴CE＝＝＝5（cm）．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．18．（2022秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF＝AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论．【解答】证明：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．19．（2022秋•镇江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（）A．118° B．108° C．120° D．116°【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝116°．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，∴EA＝EB＝EC＝DE，∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×58°＝116°，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．20．（2022秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝4cm．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，∴AB＝2CD，∵CD＝2cm，∴AB＝4cm故答案为：4．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线21．（2022秋•徐州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）当∠BAD＝30°时，△BED是等边三角形．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，进而得出答案；（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点（已知），∴BE＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．同理，DE＝AC，∴BE＝DE（等量代换），∴△BED是等腰三角形（等腰三角形的定义）；（2）∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠EDA，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，∠EAB+∠EBA＝∠BEC，∴∠DAB＝∠DEB，∵△BED是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠BAD＝30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出∠DEB＝∠DAB是解题关键．22．（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．（1）求证：DE＝CE；（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝AB和CE＝AB即可；（2）求出∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，求出∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，根据三角形内角和定理求出∠DEA和∠CEB，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB，CE＝AB，∴DE＝CE；（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，能熟记直角三角形斜边上中线性质是解此题的关键，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．23．（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．（1）求证：DF＝EF；（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．①判断△DEF的形状，并说明理由；②＝．【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证DF＝EF；（2）①由（1）EF、DF求出长度都为1，由等边三角形的定义即可证明；②利用等边对等角、三角形内角和定理可求∠B＝60°，在用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”可求出比值．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AEC＝90°，∠ADC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，F是AC中点，∴，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，F是AC中点，∴，∴EF＝DF；（2）解：①等边三角形，理由如下：连接DE，由（1）知，，∵ED＝1，∴ED＝EF＝DF，∴△DEF是等边三角形；②由（1）得EF＝AF，∴∠AEF＝∠EAF，同理可证：∠CDF＝∠DCF，∵△DEF是等边三角形，∴∠BED+∠AEF＝120°，∠BDE+∠CDF＝120°，∴∠BED+∠EAF＝120°，∠BDE+∠DCF＝120°，∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF＝240°，∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，∵∠B+∠EAF+∠DCF＝180°，∵∠EAF+∠DCF＝180°﹣∠B，∴180°﹣∠B+180°﹣∠B＝240°，∴∠B＝60°，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．一．选择题（共7小题）1．（2022春•清江浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根据直角三角形的性质得CD＝，再由三角形的性质得到∠DCA＝∠A＝20°，再由∠BCA＝90°，即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝，∴∠DCA＝∠A＝20°，∴∠BCD＝90°﹣∠DCA＝70°，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．2．（2021秋•惠山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（）A．24 B．25 C．30 D．36【分析】利用在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝12，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：∵CE是斜边AB上的中线，∴AB＝2CE＝2×6＝12，∴S△ABC＝×CD×AB＝×5×12＝30，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）3．（2022秋•玄武区校级月考）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣2＝3．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．4．（2022秋•宿城区期中）如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．5．（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（）A．12 B．30 C．27 D．32【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26，∴DF＝CF＝AB＝×26＝13，∴△CDF是等腰三角形．∵点E是CD的中点，CD＝24，∴EF⊥CD，DE＝CD＝12．在Rt△DEF中，DE＝＝＝5，∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．6．（2022秋•淮安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝2.5，AB的长为（）A．2.5 B．4 C．5 D．6【分析】根据直角三角形的性质（直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）解决此题．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝．∴AB＝2CD＝2×2.5＝5．故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．7．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是（）A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，可得OP＝AB，即可解答．【解答】解：∵P是AB的中点，∠AOB＝90°，∴OP＝AB，∵木杆AB的长固定，∴OP的长度不变，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．二．填空题（共7小题）8．（2022秋•通州区校级月考）如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝16．【分析】过点B作BD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD＝AB＝4，利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，∵AB＝AC＝8，∠A＝30°，∴BD＝AB＝4，∴S△ABC＝AC•BD＝×8×4＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．9．（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm．以点A为圆心、AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为8cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求得AB，利用同圆的半径相等求得AD＝AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm，∴AB＝2BC＝8cm．∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，∴AD＝AB＝8cm，故答案为：8．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，同圆的半径相等，正确利用上述性质解答是解题的关键．10．（2022秋•兴化市月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝4．【分析】利用含30°角的直角三角形性质可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．11．（2020秋•盐都区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，若AB＝10，则CD＝5．【分析】根据直角三角形的斜边上的中线性质得出CD＝AB，再求出答案即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，∴CD＝AB，∵AB＝10，∴CD＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形的斜边上的中线性质，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．（2021秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝1，则BC的长为3．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出∠CAD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AD＝2CD，求出AD即可．【解答】解：∵边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝60°，∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝2CD＝BD，∵CD＝1，∴BD＝2，∴BC＝1+2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能根据定理求出AD＝BD和AD＝2CD是解此题的关键．13．（2022秋•玄武区校级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是12或3秒秒时，△ABC是直角三角形．【分析】需要分类讨论：∠ABC＝90°和∠ACB＝90°两种情况解答．【解答】解：当∠ABC＝90°时，∠CAB＝∠MAN＝60°，则∠ACB＝90°﹣60°＝30°．∵AB＝6，∴AC＝2AB＝12．∴t＝12÷1＝12（秒）；当∠ACB＝90°时，∠CAB＝∠MAN＝60°，则∠ABC＝90°﹣60°＝30°．∵AB＝6，∴AC＝AB＝3．∴t＝3÷1＝3（秒）；综上所述，当t＝12或3秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：12或3秒．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．14．（2022秋•海安市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD＝1．【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出DE＝EC＝CD＝2．由含30度角的直角三角形的性质求出BE＝AB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝1．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝EC＝CD＝2．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BE＝AB＝×6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．三．解答题（共7小题）15．（2022秋•扬州期中）如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝3，求CD的长．【分析】过点E作EF⊥CD于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出BE＝2，∠ABC＝60°，根据直角三角形的性质得出∠BEF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质推出BF＝BE＝1，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可．【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，∵△ABC是等边三角形，边长为1，AE＝3，∴BE＝AE﹣AB＝2，∠ABC＝60°，∵EF⊥CD，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BF＝BE＝1，∴CF＝BF+BC＝2，∵ED＝EC，EF⊥CD，∴DF＝CF＝2，∴CD＝DF+CF＝4．【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．16．（2022秋•泗阳县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．（1）求证：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得DE＝AB＝BE＝AE，利用线段垂直平分线的性质可得DE＝DC，进而可证明结论；（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，∴DE＝AB＝BE＝AE，∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∴CD＝AE；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝25°．【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，掌握相关的性质是解题的关键．17．（2022秋•淮阴区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于E，D为垂足，连接BE．（1）若∠ABC＝75°，求∠AED的度数；（2）若AB＝6cm，△BCE的周长是11cm，求BC的长度．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC＝75°，再根据三角形内角和定理得出∠A的度数，由DE垂直平分AB，得出∠ADE＝90°，即可得出∠AED的度数；（2）由线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，根据△BCE的周长是11cm可得BC+AC＝11cm，然后根据AB＝AC＝6cm可得BC的长度．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠ABC＝75°，∴∠C＝∠ABC＝75°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°；（2）解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴△BCE的周长为：BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝11cm，∵AB＝AC＝6cm，∴BC＝11﹣6＝5cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．18．（2022秋•秦淮区校级月考）证明：直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半．【分析】由命题写出已知，求证；延长BC到E，使BE＝AB，连接AE，证明△ABE是等边三角形，应用等边三角形的性质，即可解决问题．【解答】已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．求证：．证明：延长BC到E，使BE＝AB，连接AE，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∵AC⊥BE，∴EC＝BC，∴BC＝BE，∴，∴直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半．【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，关键是延长BC到E，使BE＝AB，连接AE，构造等边三角形，注意写出已知，求证．19．（2022秋•江都区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数；（3）猜想∠DME与∠A之间的关系，并证明你的猜想．【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形性质、平角的定义求解即可；（3）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°；（3）解：∠DME＝180°﹣2∠A，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，熟记直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．20．（2022秋•建邺区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD＝BD＝AD，再证明△BCD是等边三角形，即可证明结论．【解答】证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝BD＝AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．BC＝BD＝CD．∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝AB．【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．21．（2022秋•鼓楼区期中）证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；求证：BC＝AB；证明过程：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB．．【分析】延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，求出△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出BD＝AB，即可得出答案．【解答】已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB，证明：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB，故答案为：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；BC＝AB；延长BC到D，使CD＝BC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．一．选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则A．无法确定 B．12 C．1 【分析】利用三角形的面积公式求出GC，再根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∴CG=12BG∴点G到AB的距离等于GC，∴GP的最小值为12故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出DE＝EC=12CD＝2．由含30度角的直角三角形的性质求出BE=12AB＝3，那么BD＝【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝EC=12在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BE=12AB∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝23，则CE的长为（）A．3 B．2 C．52 【分析】由角平分线的性质推出∠CBD＝∠DBA＝30°，然后在Rt△BCD中，CE=12BD，即可求出【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∵BC＝23，∴CD＝2∴BD＝2CD＝4，∵E点是BD的中点，∴CE=12故选：B．【点评】本题主要考查角平分线的性质、30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．4．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH=12∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH=12∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．5．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．【解答】解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．【点评】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（）A．80° B．100° C．130° D．发生变化，无法确定【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MC＝MB＝ME，MF＝MB＝ME，得到MB＝MC＝ME＝MF，证明结论，于是得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，点M为线段BE的中点，∴MC＝BF，即MC＝MB＝ME，∵EF⊥AB，点M为线段BE的中点，∴MF＝BF，即MF＝MB＝ME，∴MB＝MC＝ME＝MF，∴点B、C、E、F在以点M为圆心的同一个圆上；∴∠CMF＝2∠CBA＝100°，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．3【分析】根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AD＝3，∴AC＝2AD＝6，∴AB＝2AC＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，故选：B．【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．8．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M点是AB的中点，AB＝3.6km，∴CM=12AB＝1.8故选：A．【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．二．填空题9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝．【分析】由直角三角形的性质得出AB＝10，由三角形中位线定理得出BC＝2BE＝8，由勾股定理求出AC＝6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵点D是AB的中点，∴E是BC的中点，AB＝2CD＝10，∴BC＝2BE＝8，∴AC=AB故答案为6．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．10．一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝°．【分析】由直角三角形的性质得出AB＝10，由三角形中位线定理得出BC＝2BE＝8，由勾股定理求出AC＝6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵点D是AB的中点，∴E是BC的中点，AB＝2CD＝10，∴BC＝2BE＝8，∴AC=AB故答案为6．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，∴AB＝2CD＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝．【分析】连接AM、AN，由等腰三角形的性质得∠B＝∠C＝30°，再由线段垂直平分线的性质得BM＝AM，CN＝AN，然后由等腰三角形的在得∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，证△AMN是等边三角形，得MN＝AM＝AN，则MN＝BM＝CN，即可求解．【解答】解：连接AM、AN，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C=1∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴∠AMN＝∠ANM，∴△AMN是等边三角形，∴MN＝AM＝AN，∴MN＝BM＝CN，∴MN=13故答案为：4．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明△AMN为等边三角形是解题的关键．13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为．【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ACB＝∠A＝30°，再证明△BCD为等边三角形，可求得∠ACD＝90°，利用含30°角的直角三角形的性质可得AD＝2CD，再利用勾股定理可求解CD的长．【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝60°，∵BD＝BC，∴△BCD为等边三角形，∴∠D＝∠BCD＝60°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝