第4章 实数全章复习与测试（原卷版）-八年级数学

第4章实数全章复习与测试1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.一．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．二．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．三．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．四．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．五．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．六．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．七．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．八．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：实数：或实数：九．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．十．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．十一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．十二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．十三．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．一．近似数和有效数字（共4小题）1．（2022秋•丹徒区期末）小亮的体重为44.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为kg．2．（2022秋•邗江区校级期末）用四舍五入法得到的近似数为3.59万，精确到位．3．（2022秋•常州期末）用四舍五入法把圆周率π＝3.1415926…精确到千分位得到的近似值是（）A．3.141 B．3.142 C．3.1415 D．3.14164．（2022秋•宿豫区期末）已知小明的身高为1.74m，若精确到0.1m，则小明的身高为．二．平方根（共3小题）5．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±26．（2023•沛县三模）64的平方根是．7．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．三．算术平方根（共2小题）8．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是；9的算术平方根是．9．（2023•淮阴区模拟）计算：＝．四．非负数的性质：算术平方根（共2小题）10．（2022秋•高邮市期末）若与（ab+6）2互为相反数，则a﹣b的值为．11．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝．五．立方根（共6小题）12．（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．013．（2022秋•无锡期末）求下列各式中的x：（1）4x2＝25；（2）（x﹣1）3＝8．14．（2022秋•无锡期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．（1）求a的值，并求这个正数；（2）求10a+7的立方根．15．（2022秋•高新区校级月考）已知2x+3的算术平方根是5，5x+y+2的立方根是3，求x﹣2y+10的平方根．16．（2021秋•东台市月考）已知：3x+y+7的立方根是3，25的算术平方根是2x﹣y，求：（1）x、y的值；（2）x2+y2的平方根．17．（2022秋•亭湖区期末）（1）已知某数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根．（2）已知y＝+﹣8，求的值．六．无理数（共2小题）18．（2022秋•泗阳县期末）下列实数0，，π，，其中无理数共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（2022秋•溧水区期末）在实数0，，π，，，中，无理数有个．七．实数与数轴（共1小题）20．（2022秋•大丰区期末）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1八．实数大小比较（共2小题）21．（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a22．（2022秋•秦淮区期末）比较大小：．（填“＞”、“＜”或“＝”）．九．估算无理数的大小（共4小题）23．（2022秋•泗阳县期末）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为．24．（2022秋•苏州期末）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．225．（2022秋•溧水区期末）估计﹣1的值在（）A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间26．（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．根据以上材料，完成下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．一十．实数的运算（共3小题）27．（2023•苏州）计算：|﹣2|﹣+32．28．（2023•海州区二模）计算：．29．（2022秋•常州期末）计算：．一．选择题（共10小题，满分27分）1．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝；例如3※2＝＝．那么5※7等于（）A． B．﹣4 C． D．﹣32．（3分）在实数﹣，0，，﹣3.14，，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），（π﹣3.14）0这8个实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）下列线段中，a＝5，b＝6，c＝3，d＝4，选择其中的三条能构成直角三角形的是（）A．a，b，c B．b，c，d C．a，c，d D．a，b，d4．（3分）若a，b为实数，且|a+1|+＝0，则﹣（﹣ab）2018的值是（）A．1 B．2018 C．﹣1 D．﹣20185．（3分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根（）A．±2 B．2 C．4 D．6．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a＜﹣b D．|a|＞|b|7．（3分）的算术平方根是（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣28．（3分）如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA，PB，PC，PD，PE，其中长度是无理数的有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．（3分）将一根长为17cm的筷子，置于内径为6cm高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为xcm，则x的取值范围是（）A．6≤x≤8 B．7≤x≤9 C．8≤x≤10 D．9≤x≤1110．（3分）实数a，b在数轴上表示如图，则（）A．a﹣b＜0 B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．a2b＜0二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）8的立方根为x，4是y+1的一个平方根，则x﹣y＝．12．（3分）320000精确到千位应记为；1.02×105有个有效数字；5.204保留三个有效数字应记为．13．（3分）估计的大小约等于（误差小于1）．14．（3分）在下列数中：．有理数是；无理数是．15．（3分）数轴上有A、B、C三个点，B点表示的数是1，C点表示的数是，且AB＝BC，则A点表示的数是．16．（3分）数轴上，表示﹣的点与表示3的点之间的距离是．17．（3分）定义：如图，点P、Q把线段AB分割成线段AP、PQ和BQ，若以AP、PQ、BQ为边的三角形是一个直角三角形，则称点P、Q是线段AB的勾股分割点．已知点P、Q是线段AB的勾股分割点，如果AP＝8，PQ＝12（PQ＞BQ），那么BQ＝．18．（3分）附加题：已知等腰三角形腰长为10，一腰上的高为6，则以