2024-2025学年云南省长水教育集团高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省长水教育集团高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，若A∩B=B，则a∈A.{2} B.{1,−2} C.{−1,2} D.{−1,1,2}2.“∃x>0，(a−3)x−1=0”成立的充分必要条件是(

)A.a>1 B.a<1 C.a>3 D.a<33.国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩(单位：环)分别为10，7，8，10，x，10，8，6，其中x为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则x=(

)A.6 B.7 C.9 D.104.已知x>0，z>0，且y≥z−x，则yx+9xzA.3 B.5 C.7 D.85.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为(

)A.32 B.12 C.6.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ−bcosθ|，已知|a|=A.3 B.223 C.7.已知数列{an}的首项a1=13，且满足A.179 B.269 C.1788.设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点PA.57 B.63 C.2−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=−1+i10+i11i，A.z−=−1−2i B.|z2|=25

C.z的虚部为2 D.10.设ω为正实数，已知函数f(x)=4sin(ωx+π3)，则下列结论正确的是A.当ω=1时，函数f(x)的图象的一条对称轴为x=5π6

B.已知f(x1)=−4，f(x2)=4，且|x1−x2|的最小值为π2，则ω=2

C.当ω=2时，函数11.已知x=1函数f(x)=x3+3xA.x=1是f(x)的极小值点 B.f(x)有三个零点

C.f(12)+f(−e)<2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.sin(5π1213.已知抛物线y2=4x的焦点为F，若以x轴正方向的射线Fx绕焦点F逆时针旋转45°，与抛物线交于点N，过N作NP⊥y轴，交准线于点P，则△PFN的面积为______．14.已知一个圆台的侧面积为352π，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(b−a)(sinB+sinA)=c(sinC−sinA)．

(1)求B；

(2)若A=π4，a+b=2+6，求c．

(16.(本小题15分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.

(1)求证：17.(本小题15分)

已知函数f(x)=cosxex．

(1)讨论函数f(x)在区间(0,π)上的单调性；

(2)若存在x0∈[0,π218.(本小题17分)

设动点M到定点F(3,0)的距离与它到定直线l：x=43的距离之比为32．

(1)求点M的轨迹E的方程；

(2)过F的直线与曲线E交右支于P、Q两点(P在x轴上方)，曲线E与x轴左、右交点分别为A、B，设直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k19.(本小题17分)

现有n枚质地不同的游戏币a1，a2，⋯，an(n>3)，向上抛出游戏币am后，落下时正面朝上的概率为12m(m=1,2,⋯,n).甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏．

(1)甲将游戏币a2向上抛出10次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望E(X)，并写出当k为何值时，P(X=k)最大(直接写出结果，不用写过程)；

(2)甲将游戏币a1，a2，a3向上抛出，用Y参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.D

6.D

7.A

8.D

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.0

13.8+614.500315.解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=c(sinC−sinA)，

所以由正弦定理得：(b−a)(b+a)=c(c−a)，

即c2+a2−b2=ac，

所以由余弦定理得：cosB=c2+a2−b22ac=ac2ac=12，

因为B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由(1)可知：B=π3，A=π4，a+b=2+16.解：(1)证明：因为BC⊥平面ABB1A1，AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥BC，

又AE⊥A1B且A1B∩BC=B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AE⊥平面A1BC，

且A1C⊂平面A1BC，故AE⊥A1C，同理，AF⊥A1C，

AE，AF⊂平面AEF，AE∩AF=A，

所以A1C⊥平面AEF．

(2)以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：

则A1(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

在平面A1BD中，BD=(−1,1,0),A17.解：(1)f′(x)=−sinx+cosxex=−2exsin(x+π4)=0，

解得x=−π4+kπ,k∈Z，

因为x∈(0,π)，所以x=3π4，

当x∈(0,3π4),f′(x)<0，当x∈(3π4,π),f′(x)>0，

所以f(x)在(0,3π4)上单调递减，在(3π4,π)上单调递增；

(2)f(x0)−λx0≤0⇒f(18.解：(1)设M(x,y)，由题意可得|MF|d=32(d为M到定直线l的距离)，

即有(x−3)2+y2=32|x−43|，

两边平方，化简可得x24−y25=1，

即点M的轨迹E的方程为x24−y25=1；

(2)由双曲线的方程可得A(−2,0)，B(2,0)，又F(3,0)，

设直线PQ的方程为x=my+3，

与双曲线的方程519.解：(1)由题意可知，X∼B(14,10)，

E(X)=14×10=52，

当k=2时，P(X=k)最大；

(2)记事件Ak为“第ak枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，

则P(Ak)=12k,k=1,2,3，Y可取0，1，2，3，

则P(Y=0)=P(A1−A2Y0123P5