第07讲平面向量的应用与新定义（六种题型）-冲刺2025年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）

第07讲平面向量的应用与新定义（六种题型）题型一：用向量证明线段垂直一、单选题1．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知双曲线的焦距为，它的两条渐近线与直线的交点分别为A，B，若O是坐标原点，，且的面积为，则双曲线C的焦距为（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】直线过右焦点，，得，求出渐近线的斜率，得到关系，利用二倍角正切公式，求出，进而将用表示，结合面积求出，在中，得出、关系，求出即可.【详解】如图，设双曲线的右焦点为，则直线）过右焦点，由，得，直线的斜率为，所以，在中，，，，在中，，所以，所以，故选：A．2．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解.【详解】中，因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】C【解析】利用向量的等式关系，转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心．【详解】由得：，即，故，故，，又，，，即，同理，即，所以是的垂心．故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方，进行向量的灵活运算，才能证得垂直关系，突破难点.4．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心【答案】C【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上，同理证明即可求解.【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上，故是的内心.故选：C.二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（

）A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；B．若，则点为△的内心；C．若，则点为△的外心；D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.【答案】BC【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；【详解】A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误.B：若为△的内心，如下图示：，同理，，，∴，，故正确；C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设为△的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.6．（2020·全国·高三专题练习）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影为【答案】BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，设，∥，所以，解得：，即O是CE中点，，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，，所以选项A错误；，，在方向上的投影为，所以选项D正确.故选：BCD【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.三、填空题7．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）已知直线与抛物线交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若，则__________．【答案】2【分析】根据得出，联立方程根据韦达定理求出点A的坐标，即可根据垂直得到的斜率乘积为-1，列出式子代入求解即可.【详解】联立方程组，消去y得：，设，，则，，则点A的横坐标，则纵坐标为，即点A的坐标为，，，，，，即，，，，即，解得或（舍）故答案为：2.四、解答题8．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线，点到直线的距离为，若点满足，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为零的直线与交于两点，设，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设点，由点线距离、两点距离建立方程，化简整理即可；（2）设直线的方程为，可得，联立直线m及的方程，结合韦达定理通过证明垂直即可（1）设点，则，由得：，两边平方整理得，则所求曲线的方程为.（2）设直线的方程为，联立方程，消去并整理得，因为直线与交于两点，故，此时，所以，而.又，所以所以.9．（2021·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.【答案】（1）证明见解析；（2）m＝6.【分析】（1）由题设可得M(5,)，N(5,－)，利用向量数量积的坐标表示求，即可证△AMN为直角三角形；（2）由题意，设l：y＝2(x－m)，，联立抛物线方程应用韦达定理求y1＋y2、y1y2，再由垂直知，应用向量数量积的坐标表示得到关于m的方程，即可求得使AM⊥AN成立的m值.【详解】（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，不妨取M(5,)，N(5,－)，则，∴，∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，∵AM⊥AN，则，又，∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.10．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【答案】证明见解析【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.【详解】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.11．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．(1)求曲线C的方程；(2)求证：；(3)求△ABM的面积的最小值．【答案】(1)；(2)见解析；(3)4．【分析】（1）利用定义判断出曲线为抛物线；（2）设出点的坐标，利用导数分别求出过点的切线方程，求出交点的坐标为，联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理算出，从而得到，利用向量可以计算，所以；（3）利用焦半径公式和点到直线的距离可以求得，从而求得面积的最小值为．【详解】（1）解：由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．（2）证：设直线的方程为：，由得：，设，则，．由得：，，∴直线的方程为：①，直线的方程为：②，①－②消y得：，即，

将代入①得：，，故，，．（3）解：由（2）知，点到的距离，，，∴当时，的面积有最小值4．【点睛】形如的抛物线，考虑其切线时可以利用导数去讨论．题型二：用向量解决夹角问题一、单选题1．（2020·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为A． B． C． D．【答案】D【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由，可得，即.又，所以．因为，所以点为的重心，所以，所以，两边平方得．因为，所以，于是，所以，的面积为.因为的面积是面积的倍.故的面积为．【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.2．（2022·全国·高三专题练习）在△中，“”是“△为钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由，即，又，所以，不能推出△为钝角三角形，充分性不成立；△为钝角三角形时，若，则，不能推出，必要性不成立.所以“”是“△为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D二、填空题3．（2021秋·山东泰安·高三校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．【详解】向量，，，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，即，且，求得，且．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．4．（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______．【答案】【分析】利用向量的数量积计算向量夹角的余弦值.【详解】解：由题意得：，即，，均为单位向量，即故答案为：三、解答题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分别在和，求得和，结合和互补，求得，再在中，求得，即可求解；解法2、由题意，求得，根据，结合的面积为面积的，列出方程，即可求解；（2）解法1、由余弦定理求得，得到，，在中，由余弦定理求得，即可求解；又由，所以．解法2、由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得，在中，由余弦定理，得，因为，所以．解法2、由题意可得，，由AM为边BC上的中线，则，两边同时平方得，，故，因为M为BC边中点，则的面积为面积的，所以，即，化简得，．（2）解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因为BN为边AC上的中线，所以，，，即．所以．题型三：用向量解决线段的长度问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（

）A．49 B．7 C． D．【答案】D【分析】根据面积公式结合已知数据，即可求得，根据余弦定理即可求得，结合中线的向量表达即可求得中线长度.【详解】因为，故可得，根据余弦定理可得，故，不妨取中点为，故，故.即边上的中线长为.故选：.2．（2021·全国·高三专题练习）设数列{xn}的各项都为正数且x1=1．△ABC内的点Pn（n∈N*）均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2：1，若+xn+1+（2xn+1）=，则x4的值为A．15 B．17 C．29 D．31【答案】A【分析】将条件变形为，设，画出图形后利用三角形面积的关系得到数列递推式，然后构造等比数列得答案．【详解】由，得，设，延长至B1，使，则与的面积相等，以线段为邻边作出平行四边形，如图，则，∴，∴，又，∴，则，即，∴，∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴．故选A．【点睛】解答本题的关键是根据条件构造平行四边形，从形的角度考虑向量问题，然后根据三角形的面积得到数列的递推公式，进而求得通项公式．题目有一定的难度，考查分析问题、解决问题和转化能力，较好地考查学生的综合素质．3．（2021·云南·统考模拟预测）已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为A． B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】作出平面向量的几何表示，用表示出即可得出结论．【详解】解：设，，，以，为邻边作平行四边形，由题意可知，，，，，过作，则的最小值为，设，，则，，故选：B．二、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．【答案】

3

【分析】连接AG并延长，交BC于F，可得，变形可得，根据D、G、E三点共线，即可得答案；设的边长为1，设与周长之比，可得，根据余弦定理，可求得表达式，代入可得，根据的范围，可得的范围，利用导数，结合的范围，即可得答案.【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以，所以，即，因为D、G、E三点共线，所以，即.设的边长为1，设与周长之比，则，在中，由余弦定理得，所以，即，所以，由（1）可得，即代入上式，可得由题意得，所以，又，所以，又，所以，因为，所以，令，则，令，则，所以在上为增函数，所以，所以与周长之比的取值范围为【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则，三点共线定理等知识，并灵活应用，难点在于将周长比转化为的表达式，利用二次函数的性质，结合导数，即可得答案，属中档题.5．（2022·全国·高三专题练习）如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____.【答案】【解析】根据条件便可得到，然后两边平方即可得出，而由条件，代入上式即可得出，从而配方即可求出的最小值，进而得出的最小值．【详解】解：；，，代入上式得：；；时，取最小值；的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．三、解答题6．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）在中，内角的对边分别为，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以，所以边上的中线的长为：.7．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个角，，的对边分别是，，，而且满足.(1)求角的值；(2)若，，边AB上的中点为D，求CD的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理、余弦定理及同角三角函数的关系可求解；（2）由题意可得，再两边平方运用向量知识可求解.(1)由正弦定理及余弦定理有，又因为，∴.(2)∵CD是AB边上的中线，∴∴.∴.8．（2023·广东梅州·统考一模）在中，内角的对边分别为，，，已知.(1)求内角；(2)点是边上的中点，已知，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，根据辅助角公式即可求得内角；（2）根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用数量积公式和基本不等式即可求得面积的最大值.【详解】（1）在中，因为，由正弦定理得，因为，所以，于是有，所以，即，因为，所以，所以，即.（2）因为点是边上的中点，所以，对上式两边平分得：，因为，所以，即，而，有，所以，当且仅当时，等号成立.因此.即面积的最大值为.9．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，，，边上一点，这里异于．由引边的垂线是垂足，再由引边的垂线是垂足，又由引边的垂线是垂足．同样的操作连续进行，得到点，，．设，如图所示.（1）求的值；（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：，问该同学这个结论是否正确并说明理由；（3）用和表示．【答案】（1）（2）结论正确，证明见解析；（3），．【分析】（1），根据向量数量积公式，求出，即可求解；（2）只需在中，求出，判断是否成立即可，在中，由余弦定理求出，根据已知得出，进而求出，即可得到；（3）由已知可得，，分别通过，，，将用表示，结合，得到递推关系，进而求出的通项公式.【详解】（1）∵，∴．∴．（2）该同学的结论正确，证明如下：由（1）及已知，得，，．由余弦定理知．又，则．∴．即．（3）由已知．∵，∴．∴．即，也即．∴，，是以为首项，公比为的等比数列，，∴，．【点睛】本题以三角形为背景，考查了向量的几何运算及向量与数列的综合应用，考查数形结合思想以及计算求解能力，综合性较强，属于较难题．题型四：向量与几何最值一、单选题1．（2022秋·山东烟台·高三校考阶段练习）如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（

）A．13 B． C．5 D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案.【详解】建立如图所示坐标系，则点，设点，且，则

故当时，有最大值为13故选：A.3．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.【详解】由可知,，故，如图建立坐标系，，，设，由可得：，所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，所以，几何意义为到距离的2倍，由儿何意义可知，故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为0 B．的最小值为C．的最大值为1 D．的最小值为0【答案】BCD【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，，设，则，求出，利用的范围可判断A；求出、的坐标，由，利用的范围可判断B；设，可得，求出、，由，利用、、，的范围可判断CD.【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系，所以，，设，则，，，所以，因为，所以，所以，所以，的最小值为，故A错误；，，所以，因为，所以，所以，所以，，的最小值为，故B正确；设，又，所以，可得，，，所以，其中，又，所以，所以，，，，所以，的最小值为0，故CD正确.故选：BCD.6．（2023·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1C．若为锐角三角形且外心为，且，则D．若，则动点的轨迹经过的外心【答案】ACD【分析】A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断.【详解】A：如下图，，则为垂心，易知：，所以，则，根据向量数量积的几何意义知：，同理，所以，正确；B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，所以，，由，则，当时的最小值为，错误；C：由题设，则，所以，若为中点，则，故，故共线，又，即垂直平分，所以，正确；D：由题设，，则，所以，若为中点，则，故，所以的轨迹经过的外心，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：A根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到；B构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判断；C、D根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断.三、双空题7．（2022秋·广东佛山·高三统考期末）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则___________，的最小值为___________.【答案】

0

##-0.25【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，；因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为故答案为：0，【点睛】建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的.四、填空题8．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．【答案】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．9．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．【答案】【分析】根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.【详解】由题意知，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，则，又，所以，有，则，其中，当时，取得最大值，且最大值为.故答案为：10．（2022秋·辽宁大连·高三育明高中校考期中）已知向量与的夹角为，，，向量的夹角为，，则的最大值是___________.【答案】25【分析】根据题意作出图形，根据正弦定理可求出.记线段的中点为M，的中点，在中，可求出，从而可求出，然后在中，根据余弦定理求出，从而可求出.【详解】如图，作圆P，使得，且点O在优弧上，点C满足，则，符合题意.记线段的中点为M，在中，由正弦定理，得，取的中点，连接，在中，，，所以，所以，在中，由余弦定理，得，且，因为，，所以，所以，当且仅当点P在线段上时，等号成立所以的最大值是.故答案为：.11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是_________．【答案】【分析】将转化为，结合三角函数的有界性得到取值范围.【详解】如图，连接，设为和的夹角．则，且，，由，当时，有最小值；当时，有最大值为10．所以的取值范围为.故答案为：【点睛】向量的数量积问题，通常处理思路：（1）建立平面直角坐标系，利用坐标进行求解；（2）利用向量基本定理对向量进行转化求解；（3）利用极化恒等式求解12．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.【答案】##【分析】设出向量，根据题干条件得到关于的不等式问题，由根的判别式得到不等关系，求出，从而求出的模的最大值.【详解】设，，满足，即满足①，都存在，使得恒成立，即存在，使得②，由①②可知：存在，使得成立即，即，化简得：③，即③式恒成立，则必须满足，解得：，即，所以的最大值为.故答案为：【点睛】有关于向量模长的取值问题或最值问题，坐标化处理是一种重要方法和思路，结合题目特征，合理设出向量，利用向量的坐标运算公式，二次函数根的分布或基本不等式，导函数等进行求解.题型五：向量在物理中的应用一、单选题1．（2021·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为，河水流速度的大小为.设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（

）A．在东侧 B．在西侧C．恰好与重合 D．无法确定【答案】A【解析】建立如图如示的坐标系，则，从而可求出的值，进而可得游船的位置【详解】解：建立如图如示的坐标系，由题意可得，所以，说明船有轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到达北岸的位置应在东侧，故选：A2．（2020·山东济南·统考一模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为）A．63 B．69 C．75 D．81【答案】B【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重,利用余弦定理即可求出得解.【详解】如图，设该学生的体重为,则.由余弦定理得.所以.故选：B【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（

）A．6 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可．【详解】由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以∴|F3|＝2.故选：C.4．（2021·全国·高三专题练习）空间作用在同一点的三个力两两夹角为，大小分别为，设它们的合力为，则（

）A．，且与夹角余弦为B．，且与夹角余弦为C．，且与夹角余弦为D．，且与夹角余弦为【答案】C【分析】设三个力对应的向量分别为、、，以、、为过同一个顶点的三条棱，作平行六面体如图，再以平面为平面，为原点、为轴建立如图空间直角坐标系．分别算出点、、的坐标，运用向量的加法法则，可得，，．最后利用向量模的公式算出，并且利用向量夹角公式算出与夹角余弦，即得解.【详解】设向量，，以、、为过同一个顶点的三条棱，作平行六面体，如图所示则可得向量，以平面为平面，为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示可得，0，，，1，，，3，设，，，可得，解之得，，．，，，结合，1，，，3，，可得，，设与所成的角为，可得即与所成角的余弦之值为.故选：C．【点睛】方法点睛：求向量的夹角常用的公式：，要根据已知条件灵活选择方法求解.二、多选题5．（2021·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，若与的夹角为，则以下结论正确的是（）A．的最小值为 B．的范围为C．当时， D．当时，【答案】ACD【分析】根据与的夹角为，结合受力分析图象，逐一检验答案，得出选项．【详解】根据受力分析，如图所示：对于A，当行李包处于平衡状态时，，正确；对于B，当时，没有向上的分力，错误；对于C，当时，，正确；对于D，当时，，正确；故选：ACD6．（2021·全国·高三专题练习）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（

）A．这艘船航行速度的大小为B．这艘船航行速度的大小为C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为【答案】BD【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.【详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，根据向量的平行四边形法则可知：，设船的航行方向和水流方向的夹角为，所以，所以，故选：BD.三、填空题7．（2022·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.【答案】N【分析】物体处于平衡状态，则重力沿斜面上的分量与方向相反，大小相同，即可求值.【详解】由题设，N，故答案为：N.8．（2022·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．【答案】【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0所以，所以故答案为：四、解答题9．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为和物体，另在两滑轮中间的一段绳子的点O处悬挂质量为m的另一物体，已知，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证：（1）为定值；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据物体在水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为零列方程组，再根据正弦定理及二倍角的正弦公式可证结论成立；（2）根据，将（1）中的两个方程两边平方相加，再由不等式知识可证结论成立.【详解】（1）证明：如图，设，根据平行四边形法则，得即在中，由正弦定理，得．将代入①，得，即．，，得．，即．（2）证明：由，得．将①②两边平方相加，得.，．．【点睛】本题考查了向量在物理中的应用，考查了正弦定理，考查了二倍角的正弦公式，属于中档题.题型六：向量中的新定义一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．长方体的体积【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，且，所以选项A错误；根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；因为，且与同向共线；又因为，且与同向共线，，与同向共线，所以，且与同向共线，，故选项C正确；因为长方体的体积为．又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；故选：C．解法二：如图建立空间直角坐标系：，，，则，所以选项A错误；，则，故选项D错误；，故选项B错误；，则，，，则．所以，故选项C正确；故选：C．2．（2022·全国·高三专题练习）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.【详解】，，又，，.故选：D.二、多选题3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（

）A．线段A，B的中点的广义坐标为B．A，B两点间的距离为C．若向量平行于向量，则D．若向量垂直于向量，则【答案】AC【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.【详解】根据题意得，设A，B的中点为，则，故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确；，故，当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，则，即，，，所以，故C正确；，当