2024-2025学年黑龙江省哈尔滨113中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨113中八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列运算正确的是(

)A.(x3)2=x5 B.2.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有(

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.在−5x−3，ab25，−0.7xy+y3，A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4.如果把分式xyx+y中的x和y都扩大2倍，则分式的值(

)A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小2倍5.不改变分式的值，将分式x−0.02x20.2a+3b中各项系数均化为整数，结果为A.x−2x22a+3b B.50x−x210a+150b6.下列根式中，属于最简二次根式的是(

)A.8 B.2a C.57.一个长方形的面积为(6ab2−4a2b)A.3b2−2a B.3b−2a C.38.(x−2)(x−6)=x2−px+12，则pA.6 B.7 C.8 D.99.若xn=2，则x3n的值为A.6 B.8 C.9 D.1210.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°，则下列结论中正确的有(    )①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=CF．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.将0.000075用科学记数法表示为______．12.当x______时，式子8x2+3x−413.已知1a−1b=214.分解因式：ax2−4ay15.若a+b=5，ab=2，则a2+ab+b16.已知x2+2kx+9是完全平方式，则常数k的值是______．17.在△ABC中，AN是BC边上的高线，且∠BAN=60°，∠NAC=40°，AM平分∠BAC交BC于点M，则∠MAN的度数为______．18.观察下列各式：

1+112+122=1+11×2=1+(1−12)；19.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，点E在AC边上，AC=AD，∠B=2∠ADE，则∠EDC的大小为______°.

20.如图，△ABC中，∠ABC=2∠ACD，过点A作AD⊥AC交BC于D，若AB=3，则CD的长为______．三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题12分)

计算：

(1)(12)−2−23×0.125+20040+|−1|；22.(本小题6分)

如图的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)画出将△ABC平移后的△A2B2C2，使得A点在x23.(本小题6分)

先化简，再求值：(a+2a2−2a−24.(本小题6分)

如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE，

(1)求证：AB=AC．

(2)若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．25.(本小题10分)

问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．

小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是______；

探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由；

探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由；

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离．

26.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AB、AC边上，若∠DEC+∠ADE=90°，连接CD．

(1)若CD=CE，判断AB和CD的位置关系，并证明之；

(2)当BD=AE，连接DE，求证：BC=2DE；

(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线分别交CD、DE于F、G，若CD⊥AB，若DE=82+227.(本小题10分)

如图，点B、C分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，A为第一象限内一点，A(m,m)，∠ABC=45°，AB=AC.(1)求：∠AOC的度数；

(2)当m=6时，求：四边形ABOC的面积；

(3)点D，点E分别在AB，BC上，BF⊥DE于点H，交AC于点F，连接EF，DF，当∠BAD=∠AFE，∠BDE=∠ADC时，S△ADF=12，求AF的长．

参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.B

6.B

7.B

8.C

9.B

10.D

11.7.5×1012.≠−4或1

13.−2

14.a(x+2y)(x−2y)

15.23

16.±3

17.10°或50°

18.2023202319.45

20.6

21.解：(1)原式=4−8×18+1+1

=4−1+1+1

=5；

(2)原式=x2y−3x−3y3

=x−1

=1x；

(3)原式=−m2m−2+3−mm−2+m+1m−222.

23.解：原式=[a+2a(a−2)−a−1(a−2)2]⋅aa−4

=(a+2)(a−2)−a(a−1)a(a−2)24.证明：(1)过点A作AF⊥BC于点F，

∵AD=AE，

∴DF=EF，

∵BD=CE，

∴BF=CF，

∴AF是BC的垂直平分线，

∴AB=AC．

(2)∵∠BAC=108°，AB=AC，

∴∠B=∠C=36°，

∵∠DAE=36°，AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=72°，

∴∠BAD=∠CAE=36°，

∴∠BAE=72°=∠BEA，∠CAD=72°=∠ADC，

则∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，∠BAE=∠BEA，∠ADC=∠DAC，

∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．

25.解：问题背景：

如图1，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；

故答案为：EF=AE+CF；

探究延伸1：

如图2，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF；

探究延伸2：

上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由：

如图3，延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，

∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，

∴∠BCH=∠BAE，

∵BA=BC，CH=AE，

∴△BCH≌△BAE(SAS)，

∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，

∴∠HBM=∠ABC，

又∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠EBF=∠HBF，

∵BF=BF，

∴△HBF≌△EBF(SAS)，

∴EF=HF=HC+CF=AE+CF；

实际应用：

如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，

∵舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，

∴∠AOB=140°，

∵指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，

∴∠EOF=70°，

∴∠AOB=2∠EOF．

∵OA=OB，∠A=60°，∠B=120°，

∴∠A+∠B=180°，

因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：

在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．

根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF，

根据题意得，AE=75×1.2=90(海里)，BF=100×1.2=120(海里)，

∴EF=90+120=210(海里)．

答：此时两舰艇之间的距离为210海里．

26.(1)解：AB⊥CD，理由如下：

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

∵∠DEC+∠ADE=90°，

∴∠ADE+∠CDE=90°，

即∠ADC=90°，

∴AB⊥CD；

(2)证明：∵AB=AC，BD=AE，

∴AD=CE，

如图1，过点E作EP⊥DE于E，截取EP=DE，连接DP，CP，

∴△DEP是等腰直角三角形，

∴PD=2DE，

∴∠DEC+∠CEP=90°，

∵∠DEC+∠ADE=90°，

∴∠CEP=∠ADE，

∴△ADE≌△CEP(SAS)，

∴AE=CP，∠A=∠ECP，

∴BD=CP，

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠ECP+∠ACB+∠B=180°，

∴BD//CP，

∴∠BDC=∠DCP，

∵DC=CD，

∴△BDC≌△PCD(SAS)，

∴BC=DP=2DE；

(3)解：如图3，过点F作FM⊥AC于M，

由(2)知：AD=EC，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°，

∵∠DEC+∠ADE=90°，

∴∠CDE=∠DEC，

∴CD=CE，

∴AD=CD，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴∠DAC=∠ACD=45°，

∵AF平分∠BAC，FD⊥AB，FM⊥AC，

∴FD=FM，∠FMC=∠BDC=∠ADF=90°，

∴△FMC是等腰直角三角形，

∴FM=CM=DF，

∵AF=AF，∠ADF=∠AMF=90°，

∴Rt△ADF≌Rt△AMF(HL)，

∴AD=AM，

∵AB=AC，

∴BD=CM=DF，

设CM=a，则CF=2a，DF=BD=a，

∴AD=CD=DF+CF=2a+a，

∵DE=82+23，BD=2DE，

∴BC=16+26，

在Rt△BDC中，BD2+C27.解：(1)如图，过A作AG⊥x轴于点G，

∵A(m,m)，

∴AG=m，OG=m，

∴AG=OG，

∴∠AOC=45°；

(2)如图，过A作AM⊥x轴于点M，作AN⊥y轴于点N，则∠ANB=∠AMC=90°，

∵m=6，

∴AM=AN=6，

在Rt△ABN和Rt△ACM中，

AB=ACAN=AM，

∴Rt△ABN≌Rt△ACM(HL)，

∴S四边形ABOC=S四边形AMON=AM⋅AN=36；

(3)延长FA到Q使AQ=AF，连接BQ、EQ，设EF和AD交于点P，

∵AB=AC，∠ABC=45°，

∴∠ACB=45°，∠BAC=90°，

∴BA垂直平分线段FQ，

∴BQ=BF，∠ABF=∠ABQ，

设∠ABF=∠ABQ=∠α，则∠DBQ=∠ABC+∠ABQ=45°+α，∠BED=90°−α，

∵∠BAD=∠AFE，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠AFE+∠CAD=90°，即∠APF=90°，

∵∠BDE=∠ADC，∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠BED=∠DAC=90°−α，

∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=α=∠AFE，

过D作DN⊥AC于点N，则△DCN为等