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文档简介
河南省南阳市达标名校2025届高三考前热身数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若直线的倾斜角为,则的值为()A. B. C. D.2.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为.2015年开始,全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加该项目户数占2019年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表:实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加用户比脱贫率那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的()A.倍 B.倍 C.倍 D.倍3.已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点,则的最大值为()A.3 B.6 C.9 D.124.已知,满足条件(为常数),若目标函数的最大值为9,则()A. B. C. D.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题;“三百七十八里关,初行健步不为难,次后脚痛递减半,六朝才得到其关,要见每朝行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走了378里路,第一天健步走行,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地,求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里6.已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为().A.16 B. C.5 D.47.集合,,则()A. B. C. D.8.某市政府决定派遣名干部(男女)分成两个小组,到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作,若要求每组至少人,且女干部不能单独成组,则不同的派遣方案共有()种A. B. C. D.9.已知变量的几组取值如下表:12347若与线性相关,且,则实数()A. B. C. D.10.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.411.如图所示,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A. B. C. D.12.若集合,则=()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.电影《厉害了,我的国》于2018年3月正式登陆全国院线,网友纷纷表示,看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲,我为我是中国人骄傲!”《厉害了,我的国》正在召唤我们每一个人,不忘初心,用奋斗书写无悔人生,小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了,我的国》,并把标识为的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同的盒子里,让四位好朋友进行猜测:甲说:第1个盒子里放的是,第3个盒子里放的是乙说:第2个盒子里放的是,第3个盒子里放的是丙说:第4个盒子里放的是,第2个盒子里放的是丁说:第4个盒子里放的是,第3个盒子里放的是小明说:“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测,第4个盒子里放的电影票为_________14.四面体中,底面,,,则四面体的外接球的表面积为______15.已知是抛物线上一点,是圆关于直线对称的曲线上任意一点,则的最小值为________.16.已知三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆过点,设椭圆的上顶点为,右顶点和右焦点分别为,,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线交椭圆于,两点,设直线与直线的斜率分别为,,若,试判断直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.18.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数.(1)若函数在区间上是单调函数,试求的取值范围;(2)若函数在区间上恰有3个零点,且,求的取值范围.19.(12分)设数阵,其中、、、.设,其中,且.定义变换为“对于数阵的每一行,若其中有或,则将这一行中每个数都乘以;若其中没有且没有,则这一行中所有数均保持不变”(、、、).表示“将经过变换得到,再将经过变换得到、,以此类推,最后将经过变换得到”,记数阵中四个数的和为.(1)若,写出经过变换后得到的数阵;(2)若,,求的值;(3)对任意确定的一个数阵,证明:的所有可能取值的和不超过.20.(12分)在创建“全国文明卫生城”过程中,运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次),通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示:.组别频数(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求;(2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.附:参考数据与公式:,若,则,,21.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(ⅰ)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;(2)若射线与曲线C交于点A(不同于极点O),与直线l交于点B,求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据题意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将代入计算即可求出值.【详解】由于直线的倾斜角为,所以,则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及直线倾斜角与斜率之间的关系,熟练掌握公式是解本题的关键.2、B【解析】
设贫困户总数为,利用表中数据可得脱贫率,进而可求解.【详解】设贫困户总数为,脱贫率,所以.故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.故选:B【点睛】本题考查了概率与统计,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.3、C【解析】
分析:先画出满足约束条件对应的平面区域,利用平面区域的面积为9求出,然后分析平面区域多边形的各个顶点,即求出边界线的交点坐标,代入目标函数求得最大值.详解:作出不等式组对应的平面区域如图所示:则,所以平面区域的面积,解得,此时,由图可得当过点时,取得最大值9,故选C.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.4、B【解析】
由目标函数的最大值为9,我们可以画出满足条件件为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数的方程组,消参后即可得到的取值.【详解】画出,满足的为常数)可行域如下图:由于目标函数的最大值为9,可得直线与直线的交点,使目标函数取得最大值,将,代入得:.故选:.【点睛】如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组,代入另一条直线方程,消去,后,即可求出参数的值.5、C【解析】
设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得,求出(里,由此能求出该人第四天走的路程.【详解】设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得:,解得(里,(里.故选:C.【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法,考查等比数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.6、D【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,当且仅当时,等号成立.故选:D.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题,涉及到等比数列的知识,是一道中档题.7、A【解析】
解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.8、C【解析】
在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况,再将这两组分配,利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是人,则分组中两组的人数分别为、或、,
又因为名女干部不能单独成一组,则不同的派遣方案种数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题,涉及分组分配问题,考查计算能力,属于中等题.9、B【解析】
求出,把坐标代入方程可求得.【详解】据题意,得,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值.10、C【解析】
设直线AB的方程为,代入得:,由根与系数的关系得,,从而得到,同理可得,再利用求得的值,当Q,P,M三点共线时,即可得答案.【详解】根据题意,可知抛物线的焦点为,则直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,代入得:.由根与系数的关系得,,所以.又直线CD的方程为,同理,所以,所以.故.过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得.所以,当Q,P,M三点共线时,等号成立.故选:C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.11、B【解析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥,且是有三条棱互相垂直的三棱锥,根据几何体的各面面积可得最大面的面积.【详解】解:分析题意可知,如下图所示,该几何体为一个正方体中的三棱锥,最大面的表面边长为的等边三角形,故其面积为,故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题.12、C【解析】
求出集合,然后与集合取交集即可.【详解】由题意,,,则,故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、A或D【解析】
分别假设每一个人一半是对的,然后分别进行验证即可.【详解】解:假设甲说:第1个盒子里面放的是是对的,则乙说:第3个盒子里面放的是是对的,丙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第4个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是;假设甲说:第3个盒子里面放的是是对的,则丙说:第4个盒子里面放的是是对的,乙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第3个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是.故第4个盒子里面放的电影票为或.故答案为:或【点睛】本题考查简单的合情推理,考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力,属于中档题.14、【解析】
由题意画出图形,补形为长方体,求其对角线长,可得四面体外接球的半径,则表面积可求.【详解】解:如图,在四面体中,底面,,,可得,补形为长方体,则过一个顶点的三条棱长分别为1,1,,则长方体的对角线长为,则三棱锥的外接球的半径为1.其表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,补形是关键,属于中档题.15、【解析】
由题意求出圆的对称圆的圆心坐标,求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值,减去半径即可得到的最小值.【详解】假设圆心关于直线对称的点为,则有,解方程组可得,所以曲线的方程为,圆心为,设,则,又,所以,,即,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题,涉及到的知识点有点关于直线的对称点,点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径,属于中档题目.16、【解析】
将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,求得的值,然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,则,由勾股定理可得,上述三个等式全部相加得,,因此,三棱锥的外接球面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键,考查推理能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)直线过定点,该定点的坐标为.【解析】
(1)因为椭圆过点,所以①,设为坐标原点,因为,所以,又,所以②,将①②联立解得(负值舍去),所以椭圆的标准方程为.(2)由(1)可知,设,.将代入,消去可得,则,,,所以,所以,此时,所以,此时直线的方程为,即,令,可得,所以直线过定点,该定点的坐标为.18、(1);(2).【解析】
(1)求出,再求恒成立,以及恒成立时,的取值范围;(2)由已知,在区间内恰有一个零点,转化为在区间内恰有两个零点,由(1)的结论对分类讨论,根据单调性,结合零点存在性定理,即可求出结论.【详解】(1)由题意得,则,当函数在区间上单调递增时,在区间上恒成立.∴(其中),解得.当函数在区间上单调递减时,在区间上恒成立,∴(其中),解得.综上所述,实数的取值范围是.(2).由,知在区间内恰有一个零点,设该零点为,则在区间内不单调.∴在区间内存在零点,同理在区间内存在零点.∴在区间内恰有两个零点.由(1)易知,当时,在区间上单调递增,故在区间内至多有一个零点,不合题意.当时,在区间上单调递减,故在区间内至多有一个零点,不合题意,∴.令,得,∴函数在区间上单凋递减,在区间上单调递增.记的两个零点为,∴,必有.由,得.∴又∵,∴.综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到函数的单调性、零点问题,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.19、(1);(2);(3)见解析.【解析】
(1)由,能求出经过变换后得到的数阵;(2)由,,求出数阵经过变化后的矩阵,进而可求得的值;(3)分和两种情况讨论,推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和,由此能证明的所有可能取值的和不超过.【详解】(1),经过变换后得到的数阵;(2)经变换后得,故;(3)若,在的所有非空子集中,含有且不含的子集共个,经过变换后第一行均变为、;含有且不含的子集共个,经过变换后第一行均变为、;同时含有和的子集共个,经过变换后第一行仍为、;不含也不含的子集共个,经过变换后第一行仍为、.所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为.若,则的所有非空子集中,含有的子集共个,经过变换后第一行均变为、;不含有的子集共个,经过变换后第一行仍为、.所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为.同理,经过变换后所有的第二行的所有数的和为.所以的所有可能取值的和为,又因为、、、,所以的所有可能取值的和不超过.【点睛】本题考查数阵变换的求法,考查数阵中四个数的和不超过的证明,考查类比推理、数阵变换等基础知识,考查运算求解能力,综合性强,难度大.20、(1)(2)详见解析【解析】
由题意,根据平均数公式求得,再根据,参照数据求解.由题意得,获赠话费的可能取值为,求得相应的概率,列出分布列求期望.【详解】由题意得综上,由题意得,获赠话费的可能取值为,,的分布列为:【点睛】本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望,还考查了运算求解的能力,属于中档题.21、(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表见解析;(2)理由见解析【解析】
(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,家长的排序有种等可能结果,利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,由此能求出他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率.
(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,由此能求出X的分布列.
(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为,这个结果发生的可能性很小,从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【详解】(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,先考虑小孩的排序为xA,x
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