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文档简介

山东省济南市回民中学2025届高三3月份模拟考试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则()A. B. C. D.2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.3.已知复数,则的虚部为()A.-1 B. C.1 D.4.已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则()A.1 B.-1 C.2 D.-25.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为()A.3 B. C.6 D.7.已知且,函数,若,则()A.2 B. C. D.8.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.9.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.在中,,,,则在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-311.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.12.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数为自然对数的底数)在和两处取得极值,且,则实数的取值范围是______.14.已知向量,,,则_________.15.如图,四面体的一条棱长为,其余棱长均为1,记四面体的体积为,则函数的单调增区间是____;最大值为____.16.若,且,则的最小值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)若,求函数的值域;(2)设为的三个内角,若,求的值;18.(12分)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评,该公司随机调查了100颗芯片,并将所得统计数据分为五个小组(所调查的芯片得分均在内),得到如图所示的频率分布直方图,其中.(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分,则认定该芯片不合格;若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分,则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测,二测时,2个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立,并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元,每颗芯片若被认定为合格或不合格,将不再进行后续测试,现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.19.(12分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.20.(12分)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照,,,分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天,求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率;试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱瓶,批发成本元;小箱每箱瓶,批发成本元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为时看作销量为瓶).①设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,求和的分布列和数学期望;②以利润作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?注:销售额=销量×定价;利润=销售额-批发成本.21.(12分)在△ABC中,角所对的边分别为向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心为(2,),半径为1的圆.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点,求|MN|的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于零小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为,所以,所以是减函数,又因为,所以,,所以,,所以A,B两项均错;又,所以,所以C错;对于D,,所以,故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小,两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.2、D【解析】

用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.3、A【解析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】,故的虚部为.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生运算能力,是一道容易题.4、B【解析】

根据f(x)是R上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x∈[0,1]时,f(x)=2x-m及f(x)是奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,这样便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【详解】∵是定义在R上的奇函数,且;∴;∴;∴的周期为4;∵时,;∴由奇函数性质可得;∴;∴时,;∴.故选:B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值,此类问题一般根据条件先推导出周期,利用函数的周期变换来求解,考查理解能力和计算能力,属于中等题.5、C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.6、A【解析】

根据焦点到渐近线的距离,可得,然后根据,可得结果.【详解】由题可知:双曲线的渐近线方程为取右焦点,一条渐近线则点到的距离为,由所以,则又所以所以焦距为:故选:A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程,以及之间的关系,识记常用的结论:焦点到渐近线的距离为,属基础题.7、C【解析】

根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.【详解】由题意知:当时,且由于,则可知:,则,∴,则,则.即.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.8、D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高,再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.【详解】如图,正三棱锥中,是底面的中心,则是正棱锥的高,是侧棱与底面所成的角,即=60°,由底面边长为3得,∴.正三棱锥外接球球心必在上,设球半径为,则由得,解得,∴.故选:D.【点睛】本题考查球体积,考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.9、A【解析】

可将问题转化,求直线关于直线的对称直线,再分别讨论两函数的增减性,结合函数图像,分析临界点,进一步确定的取值范围即可【详解】可求得直线关于直线的对称直线为,当时,,,当时,,则当时,,单减,当时,,单增;当时,,,当,,当时,单减,当时,单增;根据题意画出函数大致图像,如图:当与()相切时,得,解得;当与()相切时,满足,解得,结合图像可知,即,故选:A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题,导数研究函数增减性,找准临界是解题的关键,属于中档题10、D【解析】分析:根据平面向量的数量积可得,再结合图形求出与方向上的投影即可.详解:如图所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故选D.点睛:本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题,也考查了数形结合思想的应用问题.11、B【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱,由此可求得体积.【详解】由题意原几何体是正三棱柱,.故选:B.【点睛】本题考查三视图,考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.12、D【解析】令,可得.在坐标系内画出函数的图象(如图所示).当时,.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点,则有,解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时,有,解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时,实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时,实数的取值范围是.选D.点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先将函数在和两处取得极值,转化为方程有两不等实根,且,再令,将问题转化为直线与曲线有两交点,且横坐标满足,用导数方法研究单调性,作出简图,求出时,的值,进而可得出结果.【详解】因为,所以,又函数在和两处取得极值,所以是方程的两不等实根,且,即有两不等实根,且,令,则直线与曲线有两交点,且交点横坐标满足,又,由得,所以,当时,,即函数在上单调递增;当,时,,即函数在和上单调递减;当时,由得,此时,因此,由得.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用,已知函数极值点间的关系求参数的问题,通常需要将函数极值点,转化为导函数对应方程的根,再转化为直线与曲线交点的问题来处理,属于常考题型.14、2【解析】

由得,算出,再代入算出即可.【详解】,,,,解得:,,则.故答案为:2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量垂直的性质,向量的模的计算.15、(或写成)【解析】试题分析:设,取中点则,因此,所以,因为在单调递增,最大值为所以单调增区间是,最大值为考点:函数最值,函数单调区间16、8【解析】

利用的代换,将写成,然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为(即取等号),所以最小值为.【点睛】已知,求解()的最小值的处理方法:利用,得到,展开后利用基本不等式求解,注意取等号的条件.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)将,利用三角恒等变换转化为:,,再根据正弦函数的性质求解,(2)根据,得,又为的内角,得到,再根据,利用两角和与差的余弦公式求解,【详解】(1),,,,即的值域为;(2)由,得,又为的内角,所以,又因为在中,,所以,所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题,18、(1)(2)预算经费不够测试完这100颗芯片,理由见解析【解析】

(1)先求出,再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数;(2)先求出每颗芯片的测试费用的数学期望,再比较得解.【详解】(1)依题意,,故.又因为.所以,所求平均数为(万分)(2)由题意可知,手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率.设每颗芯片的测试费用为X元,则X的可能取值为600,900,1200,1500,,,故每颗芯片的测试费用的数学期望为(元),因为,所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算,考查离散型随机变量的数学期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、(1);(2).【解析】

(1)根据抛物线的定义,结合已知条件,即可容易求得结果;(2)设出直线的方程,联立抛物线方程,根据直线与抛物线相交则,结合由得到的斜率关系,即可求得斜率的范围.【详解】(1)因为动圆与圆外切,并与直线相切,所以点到点的距离比点到直线的距离大.因为圆的半径为,所以点到点的距离等于点到直线的距离,所以圆心的轨迹为抛物线,且焦点坐标为.所以曲线的方程.(2)设,,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范围为.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程,涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围,属综合中档题.20、;①详见解析;②应该批发一大箱.【解析】

酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为,设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.①若早餐店批发一大箱,批发成本为元,依题意,销量有,,,四种情况,分别求出相应概率,列出分布列,求出的数学期望,若早餐店批发一小箱,批发成本为元,依题意,销量有,两种情况,分别求出相应概率,由此求出的分布列和数学期望;②根据①中的计算结果,,从而早餐应该批发一大箱.【详解】解:根据图中数据,酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为.设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批发一大箱,批发成本为元,依题意,销量有,,,四种情况.当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元;当销量为

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