《线性代数》课件第4章

4.1线性方程组的消元解法4.2齐次方程组

4.3非齐次方程组

4.4线性方程组的应用

4.1.1线性方程组的矩阵表示

形如

(4.1.1)4.1线性方程组的消元解法的方程组，称为线性方程组，若令其中A称为系数矩阵，X称为未知向量，b称为常数向量，则方程组可用矩阵表示为称为增广矩阵。4.1.2线性方程组的消元解法——高斯消元法

例4.1.1

解线性方程组(每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵)对应的增广矩阵为B=(A

b)=

解对线性方程组做消元法(2)+(1)×-2，(3)+(1)×-3后，线性方程组及其增广矩阵变例4.1.2

解下列线性方程组

解对增广矩阵做初等行变换对应的同解方程组为

这就是原方程组的解。

例4.1.3

求解齐次线性方程组

解对系数矩阵A施行初等行变换即得与原方程组同解的方程组

(x3，x4可任意取值)

令x3=c1，x4=c2，把它写成向量形式为4.2.1齐次方程组的解的判定

对于齐次线性方程组

(4.2.1)4.2齐次方程组

定理4.2.1

齐次线性方程组(4.2.2)有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R(A)<n。

证先证必要性.设方程组(4.2.2)有非零解，要证R(A)<n.用反证法，设R(A)=n，则在A中应有一个n阶非零子式Dn，从而Dn所对应的n个方程只有零解(根据克莱姆定理)，这与原方程组有非零解矛盾，因此R(A)=n不成立，即R(A)<n。

例4.2.1

求解齐次线性方程组解对系数矩阵A施以初等行变换，得因R(A)=2<4(方程组中未知数的个数)，所以齐次线性方程组有无穷多个解.而它的同解线性方程组为选取x2，x4为自由未知量，令x2=k1，x4=7k2，得从而得4.2.2齐次线性方程组的解的结构

若x1=ξ11，x2=ξ21，…，xn=ξn1是齐次方程组(4.2.1)的解，那么定义4.2.1

设ξ1，ξ2，…，ξt是齐次线性方程组(4.2.1)的t个解，如果

(1)ξ1，ξ2，…，ξt线性无关；

(2)齐次线性方程组任一个解都可由ξ1，ξ2，…，ξt线性表示；

则称ξ1，ξ2，…，ξt为齐次线性方程组(4.2.1)的一个基础解系。

表达式

X=k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt(k1，k2，…，kt∈R)

称为齐次线性方程组(4.2.1)的通解。

例4.2.2

求齐次线性方程组

的基础解系。解对系数矩阵A做初等行变换知R(A)=2<4.原方程组的同解线性方程组为其中，x3，x4是自由未知数，取x3=2k1，x4=k2，得原线性方程组的通解为所以，原线性方程组的基础解系为

其通解可由基础解系表示为

x=k1ξ1+k2ξ2(k1，k2∈R)

例4.2.3

设ξ1，ξ2是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，证明ξ1+ξ2，kξ2也是这个方程组的基础解系，其中k≠0。

定理4.2.2

设n元齐次线性方程组(4.2.1)有非零解(即其系数矩阵的秩R(A)=r<n)，则它必有基础解系，且基础解系所含线性无关的解的个数等于n-r(这里n-r也是齐次线性方程组(4.2.1)的自由未知量的个数)。

证不妨设齐次线性方程组(4.2.1)的系数矩阵A的前r个列线性无关，则A可以经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵，从而得齐次线性方程组(4.2.1)的同解线性方程组为(4.2.3)其中，xr+1，xr+2，…，xn是n-r个自由未知数，取xr+1=k1，xr+2=k2，…，xn=kn-r，得若令得齐次线性方程组(4.2.1)的通解为

x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r(k1，k2，…，kn-r∈R)(4.2.4)

(1)当自由未知数xr+1，xr+2，…，xn分别取

(2)因为ξ1，ξ2，…，ξn-r后n-r个分量组成了n-r个n-r维的向量，这n-r个向量是线性无关的，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r也线性无关；

(3)齐次线性方程组(4.2.1)任一解都可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，这是因为

设

例4.2.4

求齐次线性方程组的基础解系与通解.

解对系数矩阵A做初等行变换，化为行最简矩阵:得到原方程组的同解方程组

令，即得基础解系并由此得到通解

例4.2.5

用基础解系表示如下线性方程组的通解:

解

m=4，n=5，m<n，因此所给方程组有无穷多个解.对系数矩阵[WTHX]A施以初等行变换:即原方程组与下面方程组同解

其中x3，x4，x5为自由未知量.令自由未知量取

值，，，分别得方程组的解为

η1=(-2，1，1，0，0)T，η2=(-1，-3，0，1，0)T，

η3=(2，1，0，0，1)T

η1，η2，η3就是所给方程组的一个基础解系。因此，方程组的通解为

η=c1η1+c2η2+c3

η3(c1，c2，c3为任意常数)

例4.2.6

证明:若Am×nBn×l=O，则R(A)+R(B≤n。

证设B=(b1，b2，…，bl)，则

A(b1，b2，…，bl)=(0，0，…，0)

即

Abi=0(i=1，2，…，l)例4.2.7

求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成:

解设所求的齐次线性方程组为Ax=0，矩阵A的行向量形如αT=(a1，a2，a3，a4)，根据题意,有

αTξ1=0，αTξ2=0

即

设这个方程组系数矩阵为B，对B进行初等行变换，得

这个方程组的同解方程组为

其基础解系为，故可取矩阵A的行向量为

那么，所求齐次线性方程组的系数矩阵

所求齐次线性方程组为4.3.1非齐次方程组的解的判定

对于线性方程组

(4.3.1)

它的矩阵记法为

Ax=b(4.3.2)4.3非齐次方程组定理4.3.1

n元非齐次线性方程组(4.3.1)有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(Ab)的秩。

证先证必要性。

设方程组Ax=b有解，要证R(A)=R(B).用反证法，设R(A)<R(B)，则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，这与方程组有解相矛盾.因此，R(A)=R(B)。例4.3.1

下面非齐次线性方程组

是否有解？

解对增广矩阵B施行初等行变换可见R(A)=2，R(B)=3，故方程组无解。

例4.3.2

解线性方程组

解对线性方程组的增广矩阵B施行初等变换:矩阵R对应的线性方程组为将x3看成自由未知数，取x3=2k，k为任意实数，得

可写成下列的解向量形式:即得

例4.3.3

设有线性方程组

解对增广矩阵B=(Ab)做初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有当λ=-3时，

由此便得通解

(x3可任意取值)

即

例4.3.4

已知试讨

论λ取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷多组解？解

4.3.2非齐次线性方程组解的结构

对非齐次线性方程组(4.3.2)

Ax=b

称齐次线性方程组

Ax=0

(4.3.3)定理4.3.2

设η是非齐次线性方程组(4.3.2)的一个解(通常称为特解)，ξ1，ξ2，…，ξn-r是其导出组(4.3.3)的一个基础解系，则

x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η(k1，k2，…，kn-rR

是方程组(4.3.2)的解，又称之为非齐次线性方程组(4.3.2)的通解。

例4.3.5

求解线性方程组

解对增广矩阵做初等行变换可见R(A)=R(A

b)=2，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为

取x2，x4为自由未知数，并令x2=0，x4=0，代入上面方程组，得方程组的一个特解:原方程组的导出组的同解方程组为

令x2=k1，x4=k2，得导出组的通解为其中

是其导出组的一个基础解系.所以原非齐次线性方程组的通解为

x=k1ξ1+k2ξ2+η

(k1，k2∈R)例4.3.6

已知α0，α1，α2，…，αn-r是Ax=b(b≠0)

的一组n-r+1个线性无关的解向量组，且R(A)=r，证明:α1-α0，α2-α0，…，αn-r-α0为Ax=0的基础解系。

例4.3.7

设四元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，已知它的三个解向量为η1，η2，η3，其中

解依题意，方程组Ax=b的导出组的基础解系含4-3=1个向量，于是导出组的任何一个非零解都可作为其基础解系。

显然是导出组的非零解，可作为其基础解系。故方程组Ax=b的通解为例4.3.8

设四元齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，其中η1=(2，0，5，-1)T，η2+η3=(1，9，8，7)T，求该线性方程组的通解。解本题需要求出对应的齐次线性方程组的基础解系(它含有4-R(A)=1个解向量),以及非齐次方程组的一个特解(已经给出η1)。

由性质1可知，任意两个不同的非齐次线性方程组的解的差都是对应齐次线性方程组的非零解，所以

η2+η3-2η1=(η2-η1)+(η3-η1)=(-3，9，-2，9)T

是对应齐次线性方程组的一个非零解，故所求非齐次线性方程组的通解为4.4.1网络流模型

网络流模型广泛应用于交通、运输、通信、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时，线性方程组就自然产生了。4.4线性方程组的应用图4.1(a)、(b)分别说明了流量从一个或两个分支流入联结点。x1，x2和x3分别表示从其他分支流出的流量，x4和x5

表示从其他分支流入的流量。因为流量在每个联结点守恒，所以有x1+x2=60和x4+x5=x3+80.在类似的网络模式中，每个联结点的流量都可以用一个线性方程来表示。图4.1网络流模型

例4.4.1

图4.2的网络给出了在下午一两点钟，某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式。图4.2交通流量网络流模型

解根据网络流模型的基本假设，在节点(交叉口)A，B，C，D处，我们可以分别得到下列方程:

A:x1+20=30+x2

B:x2+30=x3+x4

C:x4=40+x5

D:x5+50=10+x1

此外，该网络的总流入量(20+30+50)等于网络的总流出量(30+x3+40+10)，化简得x3=20.把这个方程与整理后的前四个方程联立，得如下方程组:4.4.2物资调运问题

例4.4.2

有三个生产同一产品的工厂A1，A2和A3，其年产量分别为40(吨)，20(吨)和10(吨)，该产品每年有两个用户B1和B2，其用量分别为45(吨)和25(吨)，由各产地Ai到各用户Bj的距离Cij(公里)如表4.1所示(i=1，2，3；j=1，2)，各厂的产品如