专题5.7 三角函数的应用（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.7三角函数的应用TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：几何中的三角函数模型】 1【考点2：三角函数在实际生活中的应用】 6【考点3：三角函数在物理学中的应用】 11【考点4：数学文化及新定义】 15【考点1：几何中的三角函数模型】【知识点：几何中的三角函数模型】1．（广东省清远市2023届高三上学期期末数学试题）如图，已知OAB是半径为2km的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH=2OD，则该风景区面积的最大值为（

）A．52km2 B．114km2【答案】A【分析】设∠COA=θ，其中θ∈0,π2【详解】设∠COA=θ，其中θ∈0,π2又OH=2OD，则OD=cos则风景区面积S=1又cos2则2cos当且仅当sinθ=12故选：A2．（2021秋·北京·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为12,3【答案】−【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点M所处位置M'【详解】解：由题意可得图：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312点M的初始位置坐标为12,32，若角的始边为x轴的非负半轴，此时角α运动到3分钟时，形成的角度为α+π所以sin动点M所处位置M'的坐标是−故答案为：−33．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l等于表高h与天顶距θ正切值的乘积，即l=ℎtanθ．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为θ1和θ2，则A．−1 B．−17 C．1【答案】B【分析】根据已知条件得出tanθ【详解】由题意知tanθ1故选：B.4．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的A，B两点间的距离，现在旁边取两点C，D测得CD=300米，∠ADB=3π4，∠BDC=∠DCA=π12，∠ACB=2π3（假设A，B【答案】300【分析】画出图形，在三角形中，结合正余弦定理即可解决.【详解】如图所示：在△BCD中，CD=300，∠BDC=π∠BCD=∠ACB+∠DCA=2π3+由正弦定理得：BDsin135∘=300sin30∘，解得BD=3002∠CAD=180∘−15∘AB2=AD所以AB两点的距离为3005故答案为：3005．（2022春·广西桂林·高一校考期中）要把半径为10的半圆形木料截成矩形，应该怎么截取，才能使矩形面积达到最大？【答案】当α=π【分析】得出长方形截面面积表达式，转化为求函数最值问题【详解】易得OB=Rcos∴S=2OB⋅AB=2Rcos∴sin2α=1,α=即当α=π6．（2022·上海宝山·统考一模）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC【答案】60°##π【分析】遮阴影面ABC'面积达到最大即是点C'到AB的距离最大，根据正弦定理表示出点C【详解】如图，过点C作CD⊥AB交AB于D，连接C'D因此∠C'DC就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为C'D⊥AB，所以求遮阴影面ABC设∠DCC'=θ，当θ=90°时遮阴影面ABC'故答案为：60°7．（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF、FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，点F在线段CD上（不含线段端点C，D），已知道路AE，FC的造价为每千米20万元，道路EF造价为每千米70万元，设∠APE＝θ，观光道路的总造价为y万元．(1)试求y与θ的函数关系式y＝f（θ），并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路的总造价y最小．【答案】(1)y=20θ+90+(2)θ=【分析】（1）过点F作FO⊥AB，垂足为O，利用三角函数求出FP,FC，由弧长公式求出AE，即可求解；（2）由导数正负研究原函数增减，确定最值，进而求出总造价y取最小值时的θ．【详解】（1）由题意可知∠APE＝θ，过点F作FO⊥AB，垂足为O，则∠FPB＝θ，所以EF＝1+1sinθ，FC＝1−=20θ+90+70−20（2）由（1）得y'=20+20令y'=40−20cos2cosθ=12或cosθπππy'﹣0+y↘极大值↗所以θ=π3时，y最小，即当【考点2：三角函数在实际生活中的应用】【知识点：三角函数在实际生活中的应用】1．（2022秋·广东广州·高三校联考期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A1,−3出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为x,y，其纵坐标满足y=ft=RsinA．y=sinπ4C．y=2sinπ4【答案】D【分析】由点A坐标，可求得R.由题可知ft的最小正周期为8，据此可求得ω.又由题,有f0=−3，结合【详解】因点A1,−3在水车上，所以由题可知ft的最小正周期为8，则2πω=8，又因f0=−3，则2sinφ=−综上：ft故选：D2．（2023·高一课时练习）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每π min转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：m）（在水面下，d则为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：min）之间的关系d=Asin(1)求A、ω、φ、K的值；(2)求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？【答案】(1)A=4，ω=2，φ=−π6(2)π【分析】（1）根据题意可确定A,K的值，根据周期确定ω=2，由t=0时，d=0即可求得φ=−π（2）由（1）可得d=4sin【详解】（1）由图可知d的最大值为6，最小值为−2，即A+K=6−A+K=−2解得A=4因为每π min转1圈，所以函数的最小正周期T=2πω则d=4sin(2t+φ)+2,因为当t=0时，d=0，即所以sinφ=−12，由−（2）由（1）可得d=4sin2t−π6+2则2t−π6=π2+2kπ,故至少经过π33．（2023·高一单元测试）某港口其水深度y（单位：m）与时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=ftt/h3691215182124y/m12.015.018.114.912.015.018.015.0经长期观察，y=ft的曲线可近似地看作函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象，其中A＞0，ω>0(1)试根据以上数据，求出函数y=ft(2)一般情况下，该港口船底离海底的距离为3m或3m以上时认为是安全的（船停靠时，近似认为海底是平面）．某船计划靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12m．如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？【答案】(1)ft=3(2)18h【分析】（1）根据表格数据可得A+B=18−A+B=12，求得A=3，B=15，T=12，进而求得ω，φ，得到函数y=f（2）由题意得3sinπ6【详解】（1）根据表格数据可得A+B=18−A+B=12，则A=3，B=15，T=12由T=2πω=12当t=9时函数取最大值，即π6⋅9+φ=2kπ+π2，又因为φ∈−π,π，所以φ=−π所以函数y=ft的近似表达式为ft=3（2）由题意得3sinπ6因为0≤t≤24，所以π6通过正弦函数图象可知，当π6t−π∈0,π∪2π,3π由于停泊时的要求3sin它至多能在港内停留24−6=18h4．（2021春·山东·高一阶段练习）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结大会上庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，创造了人间奇迹．某贫困地在脱贫期间为方便无线网络的全覆盖，在该地区某条河的一侧修建大型信号塔AB，河的另一侧是以点O为圆心，803米为半径的扇形扶贫农作物种植区域OCD，假设扇形OCD与点B处于同一水平面上，记OB交弧CD于点E，若在点C，O，E处看点A的仰角分别为45°，30°和60°(1)求信号塔高度；(2)如果在CE间修一条直路，求直路CE长度．【答案】(1)120米(2)80米．【分析】(1)根据条件找出其中的几何关系即可求解；(2)运用余弦定理建立方程即可求解.【详解】（1）由题意，∠EAO=∠AEB−∠AOE=30°，所以AE=OE=803，在△AEB中，AB=AE（2）由（1）知，AB=120，在Rt△ABE中，BE=ABtan60°=403，在Rt△ABCcos∠BOC=在△EOC中，cos∠BOC=所以(1203)2所以公路长度为80米；综上，信号塔高度AB为120米，公路长度CE为80米5．（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期末）在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交直线AC,BC于M,N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：(1)若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB=θ,0<θ<π2，试将平板面的长AB表示为θ(2)若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?【答案】(1)fθ=(2)长度不能超过42【分析】（1）由题意分别表示出DM=2sinθ，DN=2cosθ，（2）由题意可知对任意角0<θ<π2，平板车的长度≤fθmin，记【详解】（1）DM=DPsinθ=2EN=BEtanθ=AB=EF=DM+DN−MF−EN===所以fθ=（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角0<θ<π2，平板车的长度记t=sinθ+cosθ=2又0<θ<π2则所以22<sinθ+π则f记4t−2=m，2<m=4t−2≤42−2，则函数f因为y=m,y=−12m在所以y=m−12m+4所以fθ=y=16m当m=42−2时取得最小值所以长度不能超过42【考点3：三角函数在物理学中的应用】【知识点：三角函数在物理学中的应用】1．（2023·高一课时练习）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式ℎ=2sin(t+πA．小球的最高点和最低点相距2cm B．小球在t=0时的高度ℎ=1C．每秒钟小球往复运动的次数为2π D．从t=1到t=3【答案】D【分析】根据函数解析式可判断小球的最高点和最低点相距4cm，判断A;将t=0代入ℎ=2sin(t+π【详解】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平衡位置的高度由关系式ℎ=2sin则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是2cm，故小球的最高点和最低点相距4cm小球在t=0时的高度ℎ=2sin由ℎ=2sin(t+π3)则每秒钟小球往复运动的次数为12由题意知当t∈[π6,7π6因为(1,3)⊆[π6,7π6]且t=1时，小球在平衡位置以上位置，t=3时，小球在平衡位置以下位置，即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，D正确，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sinωt+φω>0,φ<π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2A．13s B．23s C．【答案】D【分析】由条件确定函数y=sinωt+φ的周期，再由周期公式求【详解】因为t1+t2所以T=4，又T=2πω，所以所以y=sin由y>0.5可得sinπ所以2kπ+π6<π2所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为43故选：D.3．（2021春·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63【答案】6【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可.【详解】记轮船的初始位置为A，灯塔位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示：由题意得：AC=18×1∠CAB=180BC=63在△ABC中，由余弦定理得：cos=6所以解得AB=6或AB=−12（舍去），灯塔与轮船原来的距离为6海里，故答案为：6.4．（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）台风中心从A地以40km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东【答案】1【分析】求出台风路径上距离B30km【详解】设台风运动到C处和D处距离B点30km，过B作BE⊥AD于E∵∠BAD=45°，AB=40，∴BE=AB∴CD=2CE=2B∴B处于危险区的时间为2040故答案为：125．（2023·全国·高一专题练习）某种波的传播是由曲线y=Asinωx+φA>0来实现的，我们把函数解析式y=Asinωx+φ(1)若y=Asin12(2)将两个“1类波”f1x=sinx+π6【答案】(1)−1,2.(2)2+【分析】（1）由题意可知A=2,确定12（2）利用两角和的正弦公式化简f1x+f2【详解】（1）由题意知y=2sin12故sin1则函数y=2sin12（2）由题意得f=2故A=2【考点4：数学文化及新定义】【知识点：数学文化及新定义】1．（2022秋·江西·高三校联考开学考试）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高GT=ℎ（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得∠OTI=α．由此可以算得地球的半径r=（

）A．ℎsinα1−sinα B．ℎcos【答案】A【分析】根据解直角三角形，结合正弦函数的概念即可求得答案.【详解】由图可知，OI⊥TI,故OIOT=r故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）约为33.65°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）约为80.51∘.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD的长）为7米，则表高（即AC的长）约为（

）（已知tan33.65°≈2A．4.36米 B．4.83米 C．5.27米 D．5.41米【答案】C【分析】由题意可求出BC=32AC，CD=529AC，再由【详解】由图可知tan33.65∘=所以BC=32AC得BD=32−故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若(sinα−cosα)2=2sinA．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出α，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为(sin即sin2即4sinαcosα=1，所以sin2α=解得α=π12对于A：密位制12−50对应的角为12506000对于B：密位制2−50对应的角为2506000对于C：密位制13−50对应的角为13506000对于D：密位制32−50对应的角为32506000故选：C4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆AE与BF，AC与BD分别为标杆AE与BF在地面的影长，再按影长AC与BD的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记∠CEA=α,∠BDF=ββ<π2−α，则按照“寸影千里”的原则，A，A．1000asin(α+β)sinαsinC．1000acos(α+β)sinβcos【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出BD−AC，再由同角三角函数及两角和的余弦公式化简，最后根据“寸影千里”的原则