2024-2025学年上海市静安区风华中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

-2025学年上海市静安区风华中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共6小题，每题4分）.1．（4分）下列各组图形中，一定相似的是A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形2．（4分）如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是A．， B．， C．， D．，3．（4分）如果用线段、、，求作线段，使，那么下列作图正确的是A． B． C． D．4．（4分）若抛物线，、、是常数）经过、、、四点，则A． B． C． D．与的大小关系不能确定5．（4分）在△中，点、分别在边、的反向延长线上，且满足，联结，那么在下列结论中，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是A． B． C． D．6．（4分）四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得△与△相似的是A． B． C． D．二、填空题（共12小题，每题4分）7．（4分）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是．8．（4分）抛物线与轴的交点坐标是．9．（4分）已知抛物线在直线的左侧部分是下降的，那么常数的取值范围是．10．（4分）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是．11．（4分）在比例尺为的图上，图上距离为8厘米的实际距离约为千米．（用科学记数法表示）12．（4分）已知点把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么的值等于．13．（4分）在中，点、分别在线段、的延长线上，，，，，那么．14．（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是．15．（4分）一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”．16．（4分）如图，是的中线，是的中点，的延长线交于点，那么．17．（4分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，若与相似，则满足条件的点有个．18．（4分）对于一个二次函数、、是常数）中存在一点，，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为．三、解答题（共7小题，第19-22题每题10分，第23、24每题12分，第25题14分）19．（10分）已知：某个二次函数的一般式为：．（1）用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与轴的交点坐标．20．（10分）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为平方米．（1）求出关于的函数关系式（结果保留，并写出定义域；（2）当直道为米时，足球场的面积最大．21．（10分）已知：在△中，点是边上任意一点（不与点、重合）．（1）如图1，联结，；（用图中已有线段表示）（2）如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．22．（10分）已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，．（1）联结，如果，求证：；（2）在（1）的条件下，如果，，那么．（用含、的代数式表示）23．（12分）求证：三边成比例的两个三角形相似．如图：已知在△和△中，，求证：△△．24．（12分）回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图象，再结合函数图象研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究．（1）请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；012345683.502.544.542.503.58（2）观察图象，研究性质：①该函数图象关于对称；②当随的增大而增大时，的取值范围是；③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：；（3）深入思考，拓展探究：④若函数的图象与直线有4个交点，则常数的取值范围是；⑤不难发现，函数的图象可通过将函数图象的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图象不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图象可通过将函数在的图象（填“具体哪一部分”沿着（填“具体哪条直线”翻折得到（其余未翻折的剩余图象不动）．25．（14分）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）联结，如果与互补，求点的坐标．

参考答案一、选择题（共6小题，每题4分）1．（4分）下列各组图形中，一定相似的是A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形【解答】、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误；、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确；、两个等腰梯形不一定相似，故本选项错误．故选：．2．（4分）如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是A．， B．， C．， D．，解：由题意得，，如图所示，函数图象经过第一，二，三象限，抛物线开口向上，故，对称轴在轴的负半轴，．故选：．3．（4分）如果用线段、、，求作线段，使，那么下列作图正确的是A． B． C． D．解：、与已知不符合，故选项不正确；、与已知符合，故选项正确；、与已知不符合，故选项不正确；、与已知不符合，故选项不正确；故选：．4．（4分）若抛物线，、、是常数）经过、、、四点，则A． B． C． D．与的大小关系不能确定解：由条件可知：抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，，，故选：．5．（4分）在△中，点、分别在边、的反向延长线上，且满足，联结，那么在下列结论中，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是A． B． C． D．解：，，故选项不符合题意；证明，还需要证明△△，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到，选项符合题意；，点、分别在边、的反向延长线上，，选项不符合题意；，，选项不符合题意．故选：．6．（4分）四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得△与△相似的是A． B． C． D．解：．，，△△，，，又，△△，故选项不符合题意；．，，△△，故选项不符合题意；．，，△△，故选项不符合题意；．条件，，无法证明△△，故选项符合题意．故选：．二、填空题（共12小题，每题4分）7．（4分）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是．解：函数是常数）是二次函数，，解得．故答案为：．8．（4分）抛物线与轴的交点坐标是．解：令，得，故与轴的交点坐标是：．故答案为：．9．（4分）已知抛物线在直线的左侧部分是下降的，那么常数的取值范围是．解：该函数在的左侧是下降的，该函数的开口向上，，．10．（4分）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是．解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是，故答案为：．11．（4分）在比例尺为的图上，图上距离为8厘米的实际距离约为千米．（用科学记数法表示）解：根据题意，比例尺为，图上距离为8厘米的实际距离为：，千米千米．故答案为：．12．（4分）已知点把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么的值等于．解：点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，点是线段的黄金分割点，，，故答案为：．13．（4分）在中，点、分别在线段、的延长线上，，，，，那么8．解：，，，，，，，．故答案为：8．14．（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是．解：直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边的长度为，这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是．故答案为：．15．（4分）一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形一定相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”．解：一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，，这两个直角三角形一定相似．故答案为：一定．16．（4分）如图，是的中线，是的中点，的延长线交于点，那么．解：作交于，，是的中线，，，是中点，，，，故答案为：．17．（4分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，若与相似，则满足条件的点有3个．解：设为，，，①和是对应边时，与相似，，即，整理得，，解得，，②和是对应边时，与相似，，即，解得，所以，当、4、时，与相似，满足条件的点有3个．故答案为：3．18．（4分）对于一个二次函数、、是常数）中存在一点，，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为．解：将解析式化为顶点式：，，设，，则，由可得：，解得，或（不合题意，舍去），抛物线的“开口大小”为，故答案为：．三、解答题（共7小题，第19-22题每题10分，第23、24每题12分，第25题14分）19．（10分）已知：某个二次函数的一般式为：．（1）用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与轴的交点坐标．解：（1）把二次函数的一般式改写成顶点式，对称轴为直线，顶点坐标为；（2）令，即，，，函数与轴的交点坐标为和．20．（10分）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为平方米．（1）求出关于的函数关系式（结果保留，并写出定义域；（2）当直道为100米时，足球场的面积最大．解：（1）由题意得：；，；；（2）由（1）可得：，，当直道为100米时，足球场的面积最大．21．（10分）已知：在△中，点是边上任意一点（不与点、重合）．（1）如图1，联结，；（用图中已有线段表示）（2）如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．解：（1）如图所示，作于点，，，，故答案为：；（2），作于点，作于点，，，，由题意可得：，△△，，．22．（10分）已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，．（1）联结，如果，求证：；（2）在（1）的条件下，如果，，那么．（用含、的代数式表示）【解答】（1）证明：如图所示：延长，交于点，，，即：，，，，，，即：，（2）解：，△△，，即：，，，，，△△，，即：，，故答案为：．23．（12分）求证：三边成比例的两个三角形相似．如图：已知在△和△中，，求证：△△．【解答】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图：，△△，，，，，，，，在△和△中，△△，△△．24．（12分）回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图象，再结合函数图象研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究．（1）请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；012345683.502.544.542.503.58（2）观察图象，研究性质：①该函数图象关于直线对称；②当随的增大而增大时，的取值范围是；③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：；（3）深入思考，拓展探究：④若函数的图象与直线有4个交点，则常数的取值范围是；⑤不难发现，函数的图象可通过将函数图象的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图象不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图象可通过将函数在的图象（填“具体哪一部分”沿着（填“具体哪条直线”翻折得到（其余未翻折的剩余图象不动）．解：（1）描点、连线、画图形如下：（2）由图象可知：①该函数图象关于直线对称；②满足条件的取值范围是：或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为0；故答案为：①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为0；（3）由图象可知：④由表格数据可知：当时，；满足条件的常数的取值范围是：；⑤函数的图象可通过将函数在轴下方的图象沿着轴翻折得到，故答案为：④；⑤轴下方，轴．25．（14分）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）联结，如果与互补，求点的坐标．解：（1）抛物线经过点和点，，解得：，抛物线的表达式