专题54 证明及探索性问题原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

试卷第=page22页，共=sectionpages22页Page专题54证明及探索性问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点1】证明问题 3【考点2】探索性问题 5【分层检测】 7【基础篇】 7【能力篇】 9【培优篇】 10真题自测真题自测一、解答题1．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.(1)若点的横坐标为2，求的长;(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.2．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．4．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.6．（2023·全国·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．考点突破考点突破【考点1】证明问题一、解答题1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的方程；(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．3．（2024·云南大理·模拟预测）已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)设为坐标原点，若直线过点0,2，与的左、右两支交于，两点，且的面积为，求直线的方程．4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为(1)求的标准方程；(2)若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点.①求直线斜率的取值范围；②求的取值范围.5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．(1)求的方程．(2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．(3)证明：点H在直线上．6．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．反思提升：圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.【考点2】探索性问题一、解答题1．（2025·安徽·一模）椭圆的上顶点为，圆在椭圆内．(1)求的取值范围；(2)过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由．2．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的标准方程(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.3．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知双曲线C：的中心为O，离心率，点A在x轴上，，点P是C上一定点，P到x轴的距离为1，且．(1)求双曲线C的方程；(2)求C上任一点和A的距离的最小值；(3)若C上的点M，N满足，求证：在C上存在定点Q（异于P）使得P，M，N，Q在同一个圆上．4．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．(1)求的方程；(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．5．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围；(3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值.6．（2024·广东·三模）已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点.(1)求的方程；(2)已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.反思提升：此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.分层分层检测【基础篇】一、解答题1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．2．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为．(1)求的方程．(2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值．3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上．(1)求的标准方程(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．4．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值.5．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．(1)求抛物线的方程及点M的坐标；(2)证明：为定值；6．（21-22高二上·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.(1)求动点的轨迹方程；(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值.7．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．8．（23-24高二上·江苏盐城·期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.9．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上.(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)设直线与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：直线过定点，并求出这个定点的坐标.【能力篇】一、解答题1．（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）已知椭圆的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，.证明：为定值，并求出此定值.2．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点．(1)求双曲线C的方程；(2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．3．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．(1)求抛物线的方程；(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．【培优篇】一、解答题1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的方程；(2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称．（i）证明：直线l过定点；（ⅱ）求面积的最大值．2．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知双曲线C:x2a2-(1)求双曲线的标准