新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第20题 导数解答题 （解析版）

导数解答题核心考点考情统计考向预测备考策略切线方程，单调性，极值2023·北京卷T20可以预测2024年新高考命题方向将继续以几何意义，导数综合问题之单调性、极值最值、求解及证明问题为背景展开命题．导数大题难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要极值最值、用导数研究函数单调性问题及参数范围求解、不等式证明问题、零点及恒成立问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。切线方程，单调性，证明问题2022·北京卷T20切线方程，极值、单调性、最值2021·北京卷T91.（2023·北京卷T20）设函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)设函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；(3)求SKIPIF1<0的极值点个数．【解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0恒成立，所以令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（3）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极小值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极大值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极小值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无极值点；综上：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一个极小值点，在SKIPIF1<0上有一个极大值点，共有SKIPIF1<0个极值点.2.（2022·北京卷T20）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)设SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；(3)证明：对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【解】（1）解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即切点坐标为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴切线斜率SKIPIF1<0∴切线方程为：SKIPIF1<0（2）解：因为SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.（3）解：原不等式等价于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又因为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以命题得证.3.（2021·北京卷T19）已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，求SKIPIF1<0的单调区间，以及其最大值与最小值．【解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增极大值减极小值增所以，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.1.导函数与原函数的关系SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减2.极值极值的定义SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处先↗后↘，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处先↘后↗，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值3.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.4.利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.5.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点.(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可得极值点.6.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.7.两招破解不等式的恒成立问题(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．8.常用函数不等式：①SKIPIF1<0，其加强不等式SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，其加强不等式SKIPIF1<0.③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0放缩SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<09.利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）转化为证明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），进而构造辅助函数SKIPIF1<0；（2）转化为证不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），进而转化为证明SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），因此只需在所给区间内判断SKIPIF1<0的符号，从而得到函数SKIPIF1<0的单调性，并求出函数SKIPIF1<0的最小值即可.1．已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)设SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最小值；(3)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.【解】（1）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0；（3）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（2）得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0不恒成立，故SKIPIF1<0不符题意；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由上可知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0①，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由上可知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0②，由①②可得SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.2．已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的斜率；(2)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(3)若集合SKIPIF1<0有且只有一个元素，求SKIPIF1<0的值．【解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的斜率为SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0；单调递减区间为SKIPIF1<0．（3）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0；单调递增区间为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0有且只有一个元素时SKIPIF1<0．3．已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)讨论SKIPIF1<0的单调区间；(3)若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.（参考数据：SKIPIF1<0）【解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减.综上所述：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，单调减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，没有单调增区间；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0.（3）若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值SKIPIF1<0；由（2）可知，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，也即当SKIPIF1<0时，对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.4．已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值；(3)当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0零点个数，并说明理由．【解】（1）当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.（2）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0，无极小值.（3）令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以判断SKIPIF1<0的零点个数，即判断SKIPIF1<0的零点个数，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有一个零点，即SKIPIF1<0有一个零点，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0无零点，即SKIPIF1<0无零点，综上可得当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有一个零点，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0无零点.5．已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值与最小值；(3)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．【解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0小于0，函数SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0大于0，函数SKIPIF1<0单调递增，所以函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，综上可知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0；（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即证明不等式SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，并且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.6．设函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为1．(1)求a的值；(2)设函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；(3)求证：SKIPIF1<0．【解】（1）由题意得SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的情况如下：xSKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0-0+SKIPIF1<0递减极小递增所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；（3）证明：由（2）得，在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值1，所以SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，又因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0.7．已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的斜率为1的切线方程；(2)证明：SKIPIF1<0；(3)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值.【解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，切线的斜率SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值即最小值，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，在SKIPIF1<0处取得极大值，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8．已知函数SKIPIF1<0；(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若正数a使得SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立.求a的取值范围；(3)设函数SKIPIF1<0，讨论其在定义域内的零点个数．【解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0处的切线方程是：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）令函数SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，则对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，不符合题意，所以SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0.（3）依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无零点；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，因为SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有1个零点；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递减，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有1个零点，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0无零点，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1个零点.9．已知函数SKIPIF1<0(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为SKIPIF1<0，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数a的取值范围并证明SKIPIF1<0.【解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0..（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以SKIPIF1<0在（0，+∞）上恒成立.即SKIPIF1<0恒成立.SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在（0，+∞）上单调递减，不合题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在（0，SKIPIF1<0）上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0存在两个零点的必要条件是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在（1，SKIPIF1<0）上存在一个零点（SKIPIF1<0）.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在（SKIPIF1<0，+∞）上存在一个零点，综上函数SKIPIF1<0有两个零点，实数a的取值范围是SKIPIF1<0.不妨设两个零点SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0成立.10．已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，求SKIPIF1