新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第18题（教师版）

椭圆大题考点2年考题考情分析解析几何之椭圆大题2023年天津卷第18题2022年天津卷第19题近两年高考对于椭圆的考察整体难度中等，利用题干给的信息进行分析，得到需要的方程求解，分析难度整体不大，计算量较大。圆锥曲线椭圆大题的难度多来自联立方程之后的计算，往往需要考生有比较扎实的计算功底。题型一椭圆18．（15分）（2023•天津）设椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点SKIPIF1<0是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若△SKIPIF1<0的面积是△SKIPIF1<0面积的二倍，求直线SKIPIF1<0的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的值，再由隐含条件求解SKIPIF1<0，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意可知，直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为0，设直线方程为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，分别求出△SKIPIF1<0的面积与△SKIPIF1<0面积，再由已知列式求解SKIPIF1<0，则直线方程可求．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则椭圆方程为SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0；（Ⅱ）由题意可知，直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为0，当SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；同理求得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．19．（15分）（2022•天津）椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0、右顶点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求椭圆的离心率SKIPIF1<0；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆有唯一公共点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0异于SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求椭圆的标准方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根据SKIPIF1<0建立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等式，再转化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等式，从而得离心率SKIPIF1<0的值；（2）先由（1）将椭圆方程转化为SKIPIF1<0，再设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，联立椭圆方程求出点SKIPIF1<0的坐标，再由△SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0建立方程组，再解方程组即可得解．【解答】解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知椭圆为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0与椭圆只有一个公共点，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．1．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.2.常用结论已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(1)通径的长度为eq\f(2b2,a).(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则SKIPIF1<0.(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.3.做题技巧1若直线经过x轴上一点SKIPIF1<0时可以考虑解设直线方程为SKIPIF1<0。2如果直线不明确经过椭圆内一点时，需要考虑计算△。3直线与椭圆相切时△=0,此外切点的横坐标SKIPIF1<01．设椭圆SKIPIF1<0的离心率等于SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的一个顶点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆的左右顶点．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）动点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆上异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的两点，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0经过定点．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明过程见详解，定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点SKIPIF1<0的坐标，由椭圆的离心率的值和它的一个顶点，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线SKIPIF1<0的方程，与椭圆的方程联立，可得SKIPIF1<0的坐标，同理可得SKIPIF1<0的坐标，进而求出直线SKIPIF1<0的方程，可证得直线SKIPIF1<0恒过定点的坐标．【解答】（1）解：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为：SKIPIF1<0；（2）证明：由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可知，直线SKIPIF1<0的斜率存在，且不为0，设直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程，同理：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0也过点SKIPIF1<0，综上所述：直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．2．已知椭圆SKIPIF1<0的一个焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0重合，抛物线的准线被SKIPIF1<0截得的线段长为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问：在SKIPIF1<0轴上是否存在一个定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为定值？若存在，求出SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）存在，SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的焦点坐标公式、准线方程，结合椭圆中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系进行求解即可；（Ⅱ）先讨论直线斜率存在的情况，设直线方程，联立之后写出韦达定理，代入数量积公式表示SKIPIF1<0，化简计算之后得分子分母的比值关系，求解出SKIPIF1<0的横坐标，再将点SKIPIF1<0代入判断直线斜率不存在的情况是否成立．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，因为椭圆SKIPIF1<0的一个焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0重合，所以SKIPIF1<0，因为抛物线的准线被SKIPIF1<0截得的线段长为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（Ⅱ）假设存在符合条件的点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当直线SKIPIF1<0的斜率不为0时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，若对于任意的SKIPIF1<0值，上式为定值，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0为定值．②当直线SKIPIF1<0的斜率为0时，SKIPIF1<0，综合①②知，符合条件的点SKIPIF1<0存在，其坐标为SKIPIF1<0．3．已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，焦距是短半轴长的SKIPIF1<0倍．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的三个不同点，线段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0异于坐标原点SKIPIF1<0．且总有SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积相等，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）4．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程即可求解；（Ⅱ）因为SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积相等，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点关于SKIPIF1<0轴对称，设直线SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与椭圆方程，由韦达定理可得SKIPIF1<0，进一步可得直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【解答】解（Ⅰ）：设椭圆的半焦距SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，椭圆的方程SKIPIF1<0；（Ⅱ）因为SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积相等，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点关于SKIPIF1<0轴对称，由题意直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0存在且不为0，并且纵截距不为0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的左焦点为点SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）设不过原点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明见解答【分析】（Ⅰ）根据已知可得关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组，求解即可；（Ⅱ）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可得SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的坐标，进而可得直线SKIPIF1<0的方程，与椭圆方程联立，可得点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标，分别计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：依题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（Ⅱ）证明：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由韦达定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0在第二象限，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．5．已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）若动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0中点，再过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0．证明：直线SKIPIF1<0恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】SKIPIF1<0【分析】（Ⅰ）点SKIPIF1<0在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为SKIPIF1<0，解方程组得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则可得SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率存在时设斜率为SKIPIF1<0，得到直线SKIPIF1<0中点，根据点SKIPIF1<0的横坐标解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得直线SKIPIF1<0的斜率及其含参数SKIPIF1<0的方程，分析得直线是否恒过定点，注意还要讨论直线SKIPIF1<0的斜率不存在的情况．【解答】（Ⅰ）解：SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在椭圆上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（Ⅱ）证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，也过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上所述，直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．已知椭圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的离心率，椭圆SKIPIF1<0焦点在SKIPIF1<0轴上且经过点SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点，经过原点的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一个交点分别为点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0取值范围．【分析】（1）由题意，根据椭圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的离心率，得到椭圆SKIPIF1<0的离心率，设出椭圆SKIPIF1<0的方程，将点SKIPIF1<0代入方程中，结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的关系，进而可得椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限和SKIPIF1<0轴正半轴上，根据椭圆方程得到SKIPIF1<0，设出直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程，将其与椭圆方程联立，得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的表达式，进而可得SKIPIF1<0的表达式，结合SKIPIF1<0再进行求解即可．【解答】解：（1）易知椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，因为椭圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的离心率，所以SKIPIF1<0，①不妨设椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因为椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③联立①②③，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，不妨设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限和SKIPIF1<0轴正半轴上，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为点在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，易知直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率存在且不为0，不妨设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，不妨设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．7．已知椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，左焦点为SKIPIF1<0，定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间），直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，进而求出SKIPIF1<0的值，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线SKIPIF1<0的方程，与椭圆的方程联立，可得点SKIPIF1<0的坐标，由题意求出点SKIPIF1<0的横坐标，求出直线SKIPIF1<0的斜率，由题意可得SKIPIF1<0的坐标，由SKIPIF1<0的比值，可得SKIPIF1<0的表达式，由题意可得SKIPIF1<0的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为：SKIPIF1<0；（Ⅱ）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与椭圆SKIPIF1<0的方程联立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．8．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一动点，且直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点），证明：直线SKIPIF1<0恒过一定点．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明过程见解析．【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）由题意设SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与椭圆方程，利用韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，上式恒成立，列出关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组，求出SKIPIF1<0得值即可得到直线SKIPIF1<0过定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意设SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，上式恒成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．9．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到椭圆右焦点距离等于焦距．（1）求椭圆方程；（2）过点SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴分别交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）椭圆的右焦点坐标为SKIPIF1<0，由已知及两点间的距离公式可求出SKIPIF1<0，由离心率可求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系求出SKIPIF1<0，从而可得椭圆方程；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，求出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标，由三角形面积公式及已知条件即可求出SKIPIF1<0的值．【解答】解：（1）椭圆的右焦点的坐标为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0到椭圆右焦点距离等于焦距，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．设椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0一点（不与顶点重合），直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0的面积是△SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0倍，求直线SKIPIF1<0的斜率．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的关系，列出等式再进行求解即可；（Ⅱ）设出直线SKIPIF1<0的方程，将直线SKIPIF1<0的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）易得直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为0，不妨设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，由韦达定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，因为△SKIPIF1<0的面积是△SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0倍，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同号，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0．11．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是坐标平面内一点，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求弦SKIPIF1<0的垂直平分线在SKIPIF1<0轴上截距的最大值．【分析】（1）根据离心率公式及，两点之间的距离公式和向量的坐标运算，即可求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，求得椭圆方程；（2）设直线SKIPIF1<0的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，当直线的斜率存在时，利用直线的点斜式方程，求得SKIPIF1<0的垂直平分线方程，令SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求得弦SKIPIF1<0的垂直平分线在SKIPIF1<0轴上截距的最大值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆方程SKIPIF1<0；（2）设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，显然△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0为0时，SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴，横截距为0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0垂直平分线的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，弦SKIPIF1<0的垂直平分线在SKIPIF1<0轴上的纵截距的最大值为SKIPIF1<0．12．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左，右顶点和坐标原点，点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一动点，SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，过线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的取值范围；②求证：SKIPIF1<0为定值．【答案】（1）SKIPIF1<0．（2）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②定值为SKIPIF1<0．【分析】（1）由题意知SKIPIF1<0